新高考数学三轮冲刺考前大题技巧训练专题02 四类数列题型（2份，原卷版+解析版）

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类型2：裂项相消求和 ；
类型3：分组求和 ；
类型4：含类进行求和 。
下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.
数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：
①当高考数列大题出现《与 》或《与》递推关系且关系式中系数为1时，应遵循以下步骤 第一步：作差 第二步：列举 第三步：求和 →简称《知差求和》
注意：列举时最后一项必须是
②当高考数列大题出现《与 》或《与》递推关系且关系式中系数不为1时，应遵循以下步骤 第一步：秒求所配系数 第二步：寻找新的等比数列 第三步：求新数列的通项 第四步 反解→简称《构造法》
③当高考数列大题出现《与 》或《与》递推关系，关系式中出现倍数关系时，应分为两种情况，第一种情况：若是常数时，可归为等比数列，第二种情况：若可求积，应遵循以下步骤 第一步：出现商的形式 第二步：列举 第三步：求积出现 →简称《知商求积》
类型1：错位相减；
第一步：求和（求和公比）
①式-②式得
错位相减专项训练
1．已知等差数列前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求和：.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为等差数列前项和为，
所以，
又，所以，
又，所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以的通项公式为.
（2）因为，
所以，
两式相减得：，
又满足上式，所以，
又，所以.
所以，
，
两式相减得：
.
2．数列中，，记，是公差为1的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，
所以
所以
当时，
所以
又符合
所以.
（2）由（1）得
所以①
所以②
①-②得
所以.
3．已知数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为数列满足，且，
在等式两边同时乘以可得，且，
所以，数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以，.
（2）解：由（1）可得，所以，，①
可得，②
①②可得，
因此，.
4．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）令时
，...①
时，，...②
由①-②得.
.
（2）由（1）知.
令，则
...③
...④
③-④得：
令...⑤
...⑥
⑤-⑥得：
5．已知等差数列的公差不为零，其前n项和为，且是和的等比中项，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
又是和的等比中项，得，即，
即，①
又，取时，，即，②
将①②联立解得，，
，
（2）由题意可知，，，
，
，
，
类型2：裂项相消求和
① ②
③ ④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨⑩
裂项相消求和专项训练
6．已知在等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公差为.由，可得.
因为，所以，所以.因为，所以，
故.
（2）因为，所以，
所以
.
7．已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
当时，，，即，
，，，
是首项为2，公差为1的等差数列，
，，
，
综上，
（2），,（）,，
记数列的前n项和为，
.
8．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求满足条件的的最小值.
【答案】(1)
(2)4
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，因为成等比，所以，
可得，整理得，
又因为，所以，
因为，所以，
可得，解得或者，
当时， ，不合题意舍去；
当时， ，则，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由，可得，
所以，
当时，
，
令，可得，
即，解得，所以的最小值为.
9．从①，②，③前项和满足中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.
已知数列的首项，且__________.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选①：
由，
可得.
因为，所以
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以
选②：
由，得，
所以，所以，
故数列是常数列，
所以，故.
选③：
由，得，则，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，则.
当时，，
易知也满足上式，
故的通项公式为.
（2）由（1）可得，
则
10．已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项的积为，证明：．
【答案】(1)证明见解析，；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由，得，显然，，否则，矛盾，
，即，
因此数列是首项为，公差为1的等差数列，
则，整理得，
所以数列是等差数列，数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，，
于是，
所以.
类型3：分组求和
①等差数列求和公式：
②等比数列求和公式：
③ ④
⑤
类型3：分组求和专项训练
11．已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足：，记的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）①
当时，②
①－②得：即
，数列是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）.
所以的前项和.
12．已知数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)且
【详解】（1），
当时
，检验知：当时上式也成立，
故．
（2）．
当为偶数时，；
当为奇数时，且，
又时满足上式，此时；
且.
13．在等比数列中，，，分别是下表第一，第二，第三列中的某一个数，且，，中的任何两个数不在下表的同一行．
(1)写出，，，并求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据等比数列的定义和表格中数据，得到，，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，故.
（2）因为，
数列是首项为2，公比为的等比数列，是首项为2，公差为2的等差数列，所以
14．已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
当时，，所以，
当时，也适合，
故.
（2），
所以数列的前n项和为
.
15．已知数列的前项和，等比数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）解：当时，，
又时，也成立，
所以，，
所以，，，
所以，等比数列的公比为，，
所以，
（2）解：因为，即，
所以
所以，数列的前项和
类型4：含类进行求和
我们估且把这种求和的方法称为“并项 法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通项公式为的摆动数列前项和的步骤如下：
第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当为奇数时，的表达式；
第二步：然后对分奇、偶进行讨论，即当为偶数时，由
求出 ；
第三步：当为奇数且时，由求出，特别注意对时要单独讨论，即要单独求出.
第四步：将代入当为奇数且时的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示
含类进行求和专项训练
16．设为数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知①，
当时，.
当时，②
①-②得：，
即.
又，所以，.
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
所以.
（2）设
.
.
17．数列的前项的和为，已知，，当时，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前项和
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：当时，由可得，
即，因为，，所以时也满足，
当时，，
所以，，
当时，，也满足上式，所以.
（2）解：，对任意的，，
所以，.
18．设正项数列的前n项和为，已知，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）因为，所以①，
所以时，②．
由，得，即．
因为各项均为正数，所以，即，
因为，所以，，解得，，，
所以数列是公差为2的等差数列，
所以．
（2）由（1）得．
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
．
所以
19．正项数列的前n项和为，已知．
(1)求证：数列为等差数列，并求出，；
(2)若，求数列的前2023项和．
【答案】(1)；；
(2).
【详解】（1）由可得，，
又因为为正项数列的前n项和，所以，
因为，所以，
所以，数列为等差数列，
所以 ，，，所以.
（2），
.
20．已知正项等比数列的前n项和为，且满足，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，；
(2)．
【详解】（1）设数列的公比为q，由已知得，
因为，所以，得，
又．所以，
所以，
对于数列，因为 ①
当时，，则，
当时， ②，
由①②得，即，
又，也适合上式，故，
当时，又，
所以；
（2）由（1）可得：，
则，
则数列的前项和为：
，
所以：
．
第一列
第二列
第三列
第一行
16
第二行
2
第三行
5
12
8