中考数学——相似三角形及其应用(练习)(含答案)

这是一份中考数学——相似三角形及其应用(练习)(含答案)，共333页。试卷主要包含了阅读与思考等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc187744682"
\l "_Tc187744683" ?题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似
\l "_Tc187744684" ?题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似
\l "_Tc187744685" ?题型03 补全判定相似三角形的证明过程
\l "_Tc187744686" ?题型04 以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程
\l "_Tc187744687" ?题型05 利用相似三角形的性质求解
\l "_Tc187744688" ?题型06 利用相似的性质求坐标
\l "_Tc187744689" ?题型07 相似三角形在网格中的应用
\l "_Tc187744690" ?题型08 相似三角形的性质与判定综合
\l "_Tc187744691" ?题型09 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题
\l "_Tc187744692" ?题型10 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象
\l "_Tc187744693" ?题型11 利用相似三角形的性质与判定求线段比值
\l "_Tc187744694" ?题型12 利用相似三角形的性质与判定求最值
\l "_Tc187744695" ?题型13 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题
\l "_Tc187744696" ?题型14 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题
\l "_Tc187744697" ?题型15 利用相似三角形列函数关系式
\l "_Tc187744698" ?题型16 利用三点定形法证明比例式或等积式
\l "_Tc187744699" ?题型17 尺规作图与相似三角形综合应用
\l "_Tc187744700" ?题型18 三角板与相似三角形综合应用
\l "_Tc187744701" ?题型19 平移与相似三角形综合应用
\l "_Tc187744702" ?题型20 利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc187744703" ?题型21 与相似三角形有关的新考法问题
\l "_Tc187744704" ?题型22 利用相似测量物体的高度
\l "_Tc187744705" ?题型23 利用相似测量物体（不易测量）的宽度
\l "_Tc187744706" ?题型24 其它问题
\l "_Tc187744707"
\l "_Tc187744708"
?题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，△ADE与△ABC有公共顶点A，∠BAD=∠CAE．请添加一个条件：______，使得△ADE∽△ABC，然后再加以证明．
2．（2024·云南昆明·三模）如图，在△ABC中，点E在AB边上，已知AC∥BD，添加一个条件，使△BDE∽△ABC．你添加的条件是 ．
3．（2024·福建福州·一模）如图，△ABC中，点D是边AB上一点，DE∥BC，连接BE．从下列条件中，选择一个作为附加条件①∠E＝∠ABC；②DEBA=DBBC；③DEAB=BEAC，求证：△EDB∽△ABC．
4．（2023·湖南永州·二模）如图，四边形ABCD是正方形， E是CD的中点，P是BC边上的一点．

(1)给出一个条件，使得△ABP与△ECP相似并写出证明；
(2)在（1）的条件下，已知AB=2，求sin∠BAP的值．
?题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似
5．（2024·广西柳州·三模）如图，△ABC为边长等于4的等边三角形，点F是BC边上的一个动点（不与点B、C重合），FD⊥AB，FE⊥AC，垂足分别是D、E．

(1)求证：△BDF∽△CEF；
(2)若CF=a，四边形ADFE面积为S，求出S与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围．
6．（2020·四川成都·一模）如图，在△ABC与△EBD中，∠ABC=∠EBD=90°，AB=6，BC=3，EB=25， BD=5，射线AE与直线CD交于点P．
(1)求证：△ABE∽△CBD；
(2)若AB∥ED，求tan∠PAC的值；
(3)若△EBD绕点B逆时针旋转一周，直接写出线段AP的最大值与最小值．
7．（2023·湖北武汉·二模）如图，在⊙O中，AB为直径，EF为弦，连接AF，BE交于点P，且F为BE的中点．

(1)求证：△FBP∽△FAB；
(2)若tan∠BEF=34，求sin∠ABE的值．
8．（2023·浙江宁波·三模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，CD=2，BC=m，P为线段BC上一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．

(1)请找出一对相似三角形，并说明理由；
(2)若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．
?题型03 补全判定相似三角形的证明过程
9．（2024·广西·三模）【探究与证明】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记△COD的面积为S1，△AOB的面积为S2．
(1)【问题解决】如图①，若AB∥CD，求证：S1S2=OC⋅ODOA⋅OB
小红同学展示出如下正确的证明办法，请在横线上将内容补充完整．
证明：过点D作DE⊥AC交AC于点E，过点B作BF⊥AC交AC于点F，如图①所示：则∠DEO=∠BFO=90°
∴DE____________BF（填写位置关系）∴△DOE∼△____________；∴DEBF=____________；
∵S1=12OC⋅DE；S2=12OA⋅BF；∴S1S2=12OC⋅DE12OA⋅BF=OC⋅DEOA⋅BF=OC⋅ODOA⋅OB．
(2)【探索推广】如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】如图③，在OA上取一点E，使OE=OC．过点E作EF∥CD交OD于点F，点H为AB的中点，OH交EF于点G，且OG=2GH，若OEOA=56，求S1S2值．
10．（2024·山西临汾·一模）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：(1)材料中横线部分应填写的结论为________；材料中“依据”的定理内容是________．
(2)请将材料中的证明过程补充完整．
(3)如图2，在△MNH中，点K，L分别在MN,MH边上，连接HK,NL交于点F．若MK=13MN，ML=13MH，则KF与HF的数量关系为_________________．

11．（2024·湖北武汉·模拟预测）阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，，AB是⊙O的切线，直线AD为⊙O的割线，则AB2=AC⋅AD．下面是切割线定理的证明过程（不完整）：
证明：如图1所示，连接BD，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE、BC．
∵AB是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，
∴∠ABC+∠CBE=90°．
∵BE是⊙O的直径，∴∠BCE=90°（____________）．
∴∠E+∠CBE=90°．∴____________，
∵∠E=∠CDB（____________），∴____________，
∵∠BAC=∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴ABAD=ACAB．∴AB2=AC⋅AD．
任务：(1)请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据；
(2)如图2，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，割线CF与AB于点E，且满足CD:DE:EF=1:2:1，AC=8，求AB的长．
12．（2023·青海西宁·二模）【问题背景】数学综合实践课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论：如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证ABAC=BDCD．
请将小慧的证明过程补充完整：
证明：过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E∴∠BAD=∠E
又∵∠_____=∠______（ ）∴△__________∽△_________（ ）∴ABCE=BDCD（相似三角形的对应边成比例）
∵AD平分∠BAC ， ∴∠BAD=∠CAD，又∵∠BAD=∠E ， ∴∠________=∠__________，
∴AC=CE（等角对等边），∴ABAC=BDCD；
【解决问题】如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，连结AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在AB边上的点E处．若AC=1，AB=2，求DE的长．
?题型04 以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程
13．（2021·江苏南京·一模）在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，D是线段AB上一点，且DB＝4，过点D作DE与线段AC相交于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长．请根据下列两位同学的交流回答问题：
甲：过点D作DE∥BC，交AC于点E，则△ADE∽△ABC∴DEBC=ADDB∴DE=ADDB·BC=AD−DBDB·BC=52
乙：这个解答中有两个错误，其中一个是：比例式写错了！
（1）写出正确的比例式及后续解答；
（2）指出另一个错误，并给予正确解答．
14．（2024·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）
已知：如图，在△ABC中，点D, E, F分别在边AB, AC, BC上，且DE∥BC,DF∥AC，求证：△ADE∽△DBF．
证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴∠ADE=∠B，∴△ADE∽△DBF．
A．③②④①B．②④①③C．③①④②D．②③④①
15．（2024·河北张家口·一模）如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（ ）

A．天翼的做法证明过程没有问题B．往琛的做法证明过程没有问题
C．天翼的做法添加的条件没有问题D．往琛的做法添加的条件有问题
?题型05 利用相似三角形的性质求解
16．（2024·上海杨浦·一模）如图，在△ABC中，点G是重心，过点G作GD∥BC，交边AC于点D，联结BG，如果S△ABC=36，那么S四边形BGDC= ．
17．（2024·江西·模拟预测）将一把直尺与△ABC按如图所示的方式摆放，AB与直尺的一边重合，AC，BC分别与直尺的另一边交于点D，E．若点A，B，D，E分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，直尺的宽为1cm，则点C到边AB的距离为 cm．
18．（2024·福建福州·模拟预测）为推进青少年近视的防控工作，教育部等十五部门发布了《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021—2025年）》．方案中明确强调了校园视力筛查的重要性．视力筛查使用的视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表等．
【素材1】国际通用的视力表以5米为检测距离．如图1，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b mm，在平面直角坐标系中描点．
【素材2】图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ．视力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n=1θ0．5≤θ≤10．
【素材3】如图3，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“E”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
【探究活动】(1)当检测距离为5米时，
①猜想n与b满足______函数关系（填：一次或二次或反比例）；
②直接写出n与b的函数关系式为______；
③求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
(2)当n≥1．0时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角θ的范围．
(3)在某次视力检测中，小何同学发现视力值1.2所对应行的“E”形图边长为3.6 mm，设置的检测距离为3.5米．请问，设置的检测距离与该视力表是否匹配？若匹配，请说明理由；若不匹配，小何同学该如何调整自己的位置？
19．（2020·湖北襄阳·中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D在边BC上，DE⊥DA且DE=DA，AE交边BC于点F，连接CE．
（1）特例发现：如图1，当AD=AF时，①求证：BD=CF；②推断：∠ACE=_________．；
（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当EFAF=13时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK=163，求DF的长．
?题型06 利用相似的性质求坐标
20．（2021·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y=1xx>0的图象上，点C在函数y=−4xx0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE
(1)求△BDE的面积
(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求点F坐标．
?题型07 相似三角形在网格中的应用
23．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．
(1)在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC．
(2)在图2中找一点F，使∠AFC=2∠ABC．
24．（2023·湖北荆州·一模）小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形叫做格点图形。如图，在7×7的正方形网格中，画出符合要求的格点三角形.

(1)在图1中画出以C为旋转中心顺时针旋转90°的三角形；
(2)在图2中画出以BC为边的三角形，且与△ABC相似（不全等）.
25．（2023·江苏宿迁·二模）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A1,8,B3,8,C4,7
(1)若D2,3，请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2∶1；
(2)∠D的正弦值是______．
26．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求作图．
(1)在图①中，在边AB上找一点D，使BD=BC．
(2)在图②中，在边AC上找一点E，在BC上找一点F，使EF∥AB，且AB=3EF．
(3)在图③中，在△ABC内找一点M，分别连结AM，CM，使△ABM、△ACM、△BCM的面积相等．
?题型08 相似三角形的性质与判定综合
27．（2024·四川乐山·一模）如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴负半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴正半轴于点E，双曲线y = kx（xOC，进行解方程，即可作答．
（2）根据平行四边形的性质，得AD=BC=6，再得出xM=−3，结合直线y=−x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，得F0,b,OF=b；Eb,0,OE=b；然后得出△EOF，△MDF是等腰直角三角形，得出yM=OD=3+b，再证明△DOC∽△NKC，则OC=NK:CK=3+b:2，再证明△NEK是等腰直角三角形， 得N2+CK,−3+b2CK，再运用勾股定理列式解得EH=2−b2，再结合tan∠MND=13，得EH∶EN=1∶4，代入数计算，即可作答．
（3）根据点P在直线EF上，使△NCE与△NCP相似，第一种是△NCE∽△NPC，第二种是△NCE∽△NCP，然后根据相似三角形的性质列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：由x2−6x+8=0，得x−2x−4=0
∴x−2=0,或x−4=0
∴x1=4，x2=2，
∵OB>OC，
∴OB=4，OC=2，
∵B在x轴的负半轴，
∴B(−4,0)；
（2）解：∵OB=4，OC=2，
∴BC=6，
∵平行四边形ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，
∴AD=BC=6，AD∥BC，∠ADO=∠COD=90°，
∵M是AD的中点，
∴MD=3，
则xM=−3，
∵直线y=−x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，
∴令x=0时，则y=b；即F0,b,OF=b；
∴令y=0时，则x=b；即Eb,0,OE=b；
∵OE=OF=b，∠EOF=90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠DFM=∠OFE=∠FEO=∠NEC=45°，
∵∠ADO=90°，
∴△MDF是等腰直角三角形，MD=DF，
∴把xM=−3代入y=−x+b，得y=3+b
即yM=OD=3+b，
过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，
∵∠DOC=∠NKC=90°，∠DCO=∠NCK，
∴△DOC∽△NKC，
∴DO:OC=NK:CK=3+b:2，
∴NK=3+b2CK，xN=OC+CK=2+CK，
∵∠NKC=90°,∠NEC=45°，
∴△NEK是等腰直角三角形，EK=NK=3+b2CK，EN=EK2+NK2=2EK=223+bCK，
∴N2+CK,−3+b2CK，
∵点N在直线y=−x+b，
∴−3+b2CK=−2+CK+b，
解得CK=4−2b1+b，
∴EN=223+b×4−2b1+b，
同理证明△ECH是等腰直角三角形，EH=HC，
∴EH2+HC2=EC2，2EH=EC=2−b，
即EH=2−b2，
∵tan∠MND=13，
∴CHHN=13，
∵EH=HC，
∴EHEN=11+3=14，
∴EH∶EN=1∶4，
即2−b2∶223+b×4−2b1+b=1∶4，
整理得222−b=23+b2−b1+b，
∴22−b=3+b2−b1+b，
∵OE