2025年重庆市大渡口区中考数学一诊模拟试卷（原卷版+解析版）

这是一份2025年重庆市大渡口区中考数学一诊模拟试卷（原卷版+解析版），共42页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是（ ）

A. B.
C. D.
3. 若反比例函数的图象经过点，那么的值为（ ）
A. 3B. C. 6D.
4. 如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为（ ）
A. B. C. D.
5. 在一个不透明的袋子里装有若干个白球和6个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有（ ）
A 2个B. 4个C. 14个D. 18个
6. 已知，则实数范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ）
A. 48B. 36C. 40D. 24
8. 春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，已知菱形中，过中点E作，交对角线于点M，交的延长线于点F．连接，若，，则的长是（ ）
A. B. C. 4D.
10. 已知关于x的多项式：，．
①若，则代数式的值为；
②若，当y随着x增加而增加时，n的取值范围为；
③当时，若，则或．
以上结论正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二.填空题（4*8＝32）
11. 已知是方程的一个根，那么另一个根为________．
12. 已知，则的值是__________．
13. 为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为________．
14. 如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，若平行四边形的面积为11，则k的值为 _____．
15. 如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则长为______．
16. 若关于x的一元一次不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解是整数解，则所有满足条件的整数m的值之和为______．
17. 如图，在正方形中，，M为边上任意一点，连接AM，将沿AM翻折得到，连接并延长交于点N，若点N为的中点，则点到的距离为______．
18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为，且满足，那么称这个四位数为“增长数”．例如：四位数，∵，∴是“增长数”：又如：四位数，，不是“增长数”，若一个“增长数”为，则的值为______；若一个“增长数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，结果能被整除，则满足条件的的最大值为______．
三.解答题（19题8分，其余题均为10分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
20. 如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
21. 四组：A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息．
抽取的对A款人工智能软件的所有评分数据：
64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
抽取的对B款人工智能软件的评分数据中C组包含的所有数据：85，86，87，88，88，88，90，90．
抽取的对A、B两款人工智能软件的评分统计表
抽取的对B款人工智能软件的评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若本次调查有600名用户对A款人工智能软件进行了评分，有800名用户对B款人工智能软件进行了评分，估计其中对A、B两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数．
22. 在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，分别取，的中点，，连接，交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形．
（1）用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）．
（2）根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程．
证明：∵四边形是正方形，∴，，．又∵，分别为，中点，∴，，∴ ① ，在与中，
∴．∴ ② ．又∵，∴，
∴，又∵，∴，∴ ③ ．又∵
∴四边形是平行四边形．
进一步思考，智慧小组发现任取，的上点，（不与，重合），，连接，，过作的垂线，交于点，则四边形是 ④ ．
23. 据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同．
（1）求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？
（2）后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价．
24. 如图，在中，于点D，动点P从点D出发，以每秒钟1个单位的速度沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P运动x秒，的面积为，面积与点P运动路程之比．
（1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过）
25. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且．
（1）求的值并直接写出点的坐标；
（2）点、是轴上的动点(在上方)且满足，连接，，求的最小值；
（3）点是双曲线上一个动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标．
26. 如图，中，，，点D是射线上一点，连接，过点C作于点E，过点A作交于点F．
（1）如图1，点D在线段上，，，求的面积；
（2）如图2，点D在延长线上，若，过点F作于点H，连接，求证：；
（3）如图3，点D在延长线上，，，点N在的延长线上，点M在的延长线上，且，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积．
2025年重庆市大渡口区中考数学一诊模拟试卷
一、选择题（每小题4分，40分）
1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、不是整式方程，故不合题意；
C、当时，不是一元二次方程，故不合题意；
D、是一元二次方程，故符合题意；
故选：D．
2. 鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了立体图形的三视图，掌握立体图形的特点，三视图的特点是解题的关键．
根据立体图形的特点进行判定即可求解，在立体图形中存在的线条，三视图中能看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
【详解】解：如图所示的鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是 ，
故选：D ．
3. 若反比例函数的图象经过点，那么的值为（ ）
A. 3B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例系数，掌握待定系数法是解题的关键．
根据题意，把点代入计算即可．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
故选：D ．
4. 如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了位似图形的性质，根据相似比等于位似比可得四边形的周长四边形的周长，据此解答即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形与四边形位似，位似中心是，
∴四边形与四边形的相似比为，
∴四边形的周长四边形的周长，
∵四边形的周长为，
∴四边形的周长为，
故选：．
5. 在一个不透明的袋子里装有若干个白球和6个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有（ ）
A. 2个B. 4个C. 14个D. 18个
【答案】A
【解析】
【分析】设袋中白球有x个，根据题意用黄球数除以白球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式即可求出白球数．
【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意，得
=0.75，
解得x=2，
经检验x=2是列方程的解，
所以袋中白球有2个．
故选：A．
【点睛】本题考查了频率与频数，弄清题意，熟练掌握频数、频率、总数间的关系是解决本题的关键．
6. 已知，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减和乘法运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，再根据即可求出实数的范围．
【详解】解：，
∵，
∴，
故选：B．
7. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ）
A. 48B. 36C. 40D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵的周长为40，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：A
8. 春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用．由题意，第一轮过后有个人，第二轮又传染了个人，根据经过两轮传染后，共49人患流感，列出方程即可．找准等量关系，正确的列式，是解题的关键．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x人，由题意，得：，
即：；
故选C．
9. 如图，已知菱形中，过中点E作，交对角线于点M，交的延长线于点F．连接，若，，则的长是（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】设与的交点为H，过点D作，垂足为G，根据菱形的性质可得，，证明，可得，易证，可得，进而可得的长，由菱形的性质可证是等边三角形，得到，进而得到，利用勾股定理求出，在中，利用狗定理即可求解．
【详解】解：设与的交点为H，过点D作，垂足为G，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵点E是中点，
∴，
∵，交对角线于点M，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
10. 已知关于x的多项式：，．
①若，则代数式的值为；
②若，当y随着x的增加而增加时，n的取值范围为；
③当时，若，则或．
以上结论正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，代数式求值和整式的运算．把，分别代入各个选项，再依据选项结论进行分析计算即可．
【详解】解：①当时，，
∴，
∴，
所以①正确；
②∵，
当y随着x的增加而增加时，
∴，
解得，所以②错误；
③当时，，
若，则或，
即或，
对于方程，，
∴此方程没有实数解；
对于方程，因式分解得，
解得，
综上所述，若，则或，所以③错误．
故选：B．
二.填空题（4*8＝32）
11. 已知是方程的一个根，那么另一个根为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系，先设方程的另一个根是，根据根与系数的关系，易得，从而易求,解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两根之间的关系：，．
【详解】解：设方程的另一个根是，
则可得，
，
即另一个根为，
故答案为：．
12. 已知，则的值是__________．
【答案】2
【解析】
【分析】设=k，用k分别表示a、b、c，再代入计算即可得到答案.
【详解】设=k，则a=3k，b=5k，c=7k，
=，
故答案为：2.
【点睛】此题考查分式的化简计算，利用同一个字母表示分式中的所有字母由此化简分式.
13. 为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：用、、、分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊，
画树状图如图，
共有种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为，
所以他们两人恰好选修同一门课程的概率为：．
14. 如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，若平行四边形的面积为11，则k的值为 _____．
【答案】6
【解析】
【分析】过点作轴，过点作轴，可证得，得出，然后根据的几何意义求解．
【详解】解：过点作轴，过点作轴，则，
四边形为平行四边形，
，，
，
在和中
，
，
，
又，
，
．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何含义，平行四边形的性质．需要我们熟练掌握把已知图形转化为模型图形（与相关的矩形或三角形）的能力．
15. 如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形，勾股定理可得，可证，得到，则点是线段的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，设，则，在中，由勾股定理得到，则，根据题意可得是等腰三角形，，在中，由勾股定理得到，由，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点是线段中点，
如图所示，连接，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，即，
解得，，
∴，则，
∵，
∴是等腰三角形，，
在中，，
∴，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
16. 若关于x的一元一次不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解是整数解，则所有满足条件的整数m的值之和为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程，掌握一元一次不等式组和分式方程的解法是解决问题的前提．
根据关于x的一元一次不等式组的解的情况求出m的取值范围，根据关于y的方程的解的情况求出m的取值范围，然后求出满足条件的m的值，即可得出答案．
【详解】解：解关于x的一元一次不等式组得，
∵关于x的一元一次不等式组有解且至多有4个整数解，
，
，
解关于y的分式方程得，
∵分式方程解为整数，且，
∴满足条件的整数m的值为，，
∴所有满足条件的整数m的值之和是．
故答案为：．
17. 如图，在正方形中，，M为边上任意一点，连接AM，将沿AM翻折得到，连接并延长交于点N，若点N为的中点，则点到的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】由正方形的性质得，，，由翻折得，作于点，于点，由，证明，得，则，设，则，，，，最后由列方程求得符合题意的值，再代入求出的值即可．
【详解】解：∵四边形中，，点N为的中点，
∴，，，
由翻折得，
作于点，于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得（不符合题意，舍去），
∴，
∴点到的距离为，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为，且满足，那么称这个四位数为“增长数”．例如：四位数，∵，∴是“增长数”：又如：四位数，，不是“增长数”，若一个“增长数”为，则的值为______；若一个“增长数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，结果能被整除，则满足条件的的最大值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是根据题意，则，解出；根据题意，找到满足的最大值，即可．
【详解】解：∵“增长数”满足，
∴“增长数”满足
∴；
∵一个四位自然数的各数位上的数字均不为，且满足，那么称这个四位数为“增长数”
∴，
∴，
∵一个“增长数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，
∴，
，
，
，
，
∵“增长数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，能被整除，
∴是的倍数，
∴是的倍数，
当最大时，最大，
∵，，，均不为，
∴最大为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：①；②．
三.解答题（19题8分，其余题均为10分）
19 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）先求出，再由求根公式，即可求解；
（2）对方程左边进行因式分解，由的形式可得或，即可求解；
选用恰当的方法解方程是解题的关键．
【小问1详解】
解：，，，
，
，
，；
【小问2详解】
解：，
或，
，．
20. 如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见详解
（2）的长为
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意可证平行四边形是菱形，则，由垂直的定义可得，由同角的余角相等可得，由此即可求解；
（2）根据菱形的性质得到，由勾股定理得到，由（1）中的相似得到，即，由此即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵平行四边形是菱形，
∴，，
在中，，
由（1）可知，
∴，
∴，
解得，，
∴的长为．
21. 四组：A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息．
抽取的对A款人工智能软件的所有评分数据：
64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
抽取的对B款人工智能软件的评分数据中C组包含的所有数据：85，86，87，88，88，88，90，90．
抽取的对A、B两款人工智能软件的评分统计表
抽取的对B款人工智能软件的评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若本次调查有600名用户对A款人工智能软件进行了评分，有800名用户对B款人工智能软件进行了评分，估计其中对A、B两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数．
【答案】（1），，
（2）B款更受用户欢迎，理由见详解
（3）对A、B两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数约为人
【解析】
【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握中位数，众数，百分比的计算，根据样本估算总体数量的方法，由调查数据作决策的方法是解题的关键．
（1）根据中位数，众数，百分比的计算方法即可求解；
（2）根据调查数据作决策即可；
（3）根据样本百分比估算总体数量即可．
【小问1详解】
解：对A款人工智能软件的所有评分数据中，共有20个评分，其中出现的次数最多，
∴，
为保证对A款人工智能软件和对B款人工智能软件的公平性，B款抽取的样本容量为20，
∴对B款人工智能软件评分在A组的数据为，在B组的数据为，在C组的数据为8，在D组的数据为，
∴中位数是第10和11的平均数，即，
∴，
∴，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：B款更受用户欢迎，理由如下，
A款与B款的平均数相同，A款的中位数，众数均小于B款，且A款的方差大于B款的方差，
∴B款人工智能软件更好，更稳定，
∴B款更受用户欢迎；
【小问3详解】
解：（人），
∴对A、B两款人工智能软件非常满意（）用户总人数约为人．
22. 在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，分别取，的中点，，连接，交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形．
（1）用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）．
（2）根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程．
证明：∵四边形是正方形，∴，，．又∵，分别为，的中点，∴，，∴ ① ，在与中，
∴．∴ ② ．又∵，∴，
∴，又∵，∴，∴ ③ ．又∵
∴四边形是平行四边形．
进一步思考，智慧小组发现任取，的上点，（不与，重合），，连接，，过作的垂线，交于点，则四边形是 ④ ．
【答案】（1）见解析 （2）；；；进一步思考：四边形是平行四边形
【解析】
【分析】（1）利用尺规基本作图——经过直线外一点作已知直线的第一线作法作出图形即可；
（2）先证明，得到．从而证得，即可得到．又由正方形的性质得，即可得出结论；
进一步思考：证明，得到，再证明，又由正方形的性质得，即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示，就是所求作的经过点B垂直于于Q，交于P的直线，
【小问2详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，．
又∵，分别为，的中点，
∴，，
∴，
在与中，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵
∴四边形是平行四边形．
进一步思考：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，．
在与中，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵
∴四边形是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，尺规基本作图—作垂线，平行四边形的判定．熟练掌握正方形的性质，和平行四边形的判定是解题的关键．
23. 据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同．
（1）求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？
（2）后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价．
【答案】（1）该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元
（2）降价后每份毛肚的实际售价为元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用；
（1）设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据两次购进的数量相等建立分式方程，解方程并检验，即可求解；
（2）设降价元，依题意得，，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据题意，得
，
解得：，
经检验，是原方程的解；
答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元；
【小问2详解】
解：设降价元，依题意得，
，
解得：或（舍去），
∴降价后每份毛肚的实际售价为（元），
答：降价后每份毛肚的实际售价为元．
24. 如图，在中，于点D，动点P从点D出发，以每秒钟1个单位的速度沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P运动x秒，的面积为，面积与点P运动路程之比．
（1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过）
【答案】（1）
（2）图象见解析；当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一定理，掌握一次函数与反比例函数综合应用是解题的关键．
（1）由三线合一得到，则由勾股定理得到，进而可得；当点P在上时，过点D作于E，根据等面积法求出，则；
（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可；
（3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象下方时自变量的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵在中，，
∴，
由勾股定理得，，
如图，当点P在上时，
∴
即
如图，点P在上时，过点D作于E，
，
∴，
∵
∴，
综上所述，；
【小问2详解】
解：画的图象：
列表：
描点连线得：如图，
画的图象：
列表：
描点连线得：如图，不包含和这两点
画的图象：
列表：
描点连线得：如图，
由函数图象可知，当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小．
【小问3详解】
解：由图象得，当时，或．
25. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且．
（1）求的值并直接写出点的坐标；
（2）点、是轴上的动点(在上方)且满足，连接，，求的最小值；
（3）点是双曲线上一个动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标．
【答案】（1），；
（2）；
（3）点P的横坐标为：，，
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，相似三角形的性质与判定；
（1）运用一次函数与反比例函数的交点坐标即可求解；
（2）根据，求得点的坐标，再把将军饮马模型在坐标系中直接运用，根据勾股定理求解即可；
（3）根据题意画图分析，根据平行求相关函数关系式，再求两条线的交点解方程组，即可得解．
【小问1详解】
解：根据题意可知点，在直线和双曲线的图象上，
，解得，
点的坐标为，代入双曲线得：
，
由图象可知点与点关于原点对称，
∴；
【小问2详解】
过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，作点关于轴的对称点点，并向下平移一个单位记为，连接，
则，，
，
，
，，，，
，，
，即点的纵坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，，
的最小值即为；
【小问3详解】
当时，当在轴下方时，，
设直线的解析式为，
由（2）可知：，，
解得，
，
当时，，解得，
，
，直线的解析式为，
设直线的解析式为，
把代入得：，
，
，
由是直线与反比例函数的交点可得：
解得，
此时点在第三象限，不符合题意，
当在轴上方时，则与下方的关于轴对称，
可得直线的解析式为：，
联立得，
此时点在第一象限，两个都符合题意，
点的横坐标为：．
26. 如图，中，，，点D是射线上一点，连接，过点C作于点E，过点A作交于点F．
（1）如图1，点D在线段上，，，求的面积；
（2）如图2，点D在延长线上，若，过点F作于点H，连接，求证：；
（3）如图3，点D在的延长线上，，，点N在的延长线上，点M在的延长线上，且，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题干条件可推出，，再利用特殊角求解即可；
（2）过点作交延长线于点，分别证出和，即可将所证线段进行转化；
（3）如图，取，作，，证出，转化到，当重合时取最小值，此时，
由可得，则，再由，得到，，，过作于点， ，最后根据计算即可．
【小问1详解】
解：如图1，过点作于点，
∵，，
，
，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，
∴；
【小问2详解】
证明：如图2，过点作交延长线于点，
∵，，
，
，
，
，
，，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
，
∵，
∵，，
∴，
，
，
∴，
，，
∵，
∴，
，
即．
【小问3详解】
解：如图3，取，作，．
，
，
，，
∴，
，，，
，
，
，
，
，
，
如图4，当，重合时，取最小值，
此时，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
过作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，直角三角形的性质，熟记等腰直角三角形和直角三角形三边比时解题的关键．
软件
平均数
中位数
众数
方差
A
86
85.5
b
96.6
B
86
a
88
69.8
软件
平均数
中位数
众数
方差
A
86
855
b
96.6
B
86
a
88
69.8
x
⋯
1
3
⋯
y
⋯
2
6
⋯
x
⋯
3
8
⋯
y
⋯
6
0
⋯
x
⋯
1
2
3
6
⋯
y
⋯
6
3
2
1
⋯