重庆市渝北区2025年中考一模考试数学试卷（解析版）

这是一份重庆市渝北区2025年中考一模考试数学试卷（解析版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】的相反数是；
故选B．
2. 在悠久的数学发展历程中，诞生了许多杰出的数学成果．下列与数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
3. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当用电器可变电阻为时，其电流为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设电流I与电阻R的反比例函数关系为，将点代入，得
，解得，
∴反比例函数关系为，
当时，（A）．故选A．
4. 小明同学在学习过程中善于动手实践，以加深对知识的理解和掌握．在学习了相交线与平行线的相关内容后，他又开始了新的探索：将直角三角板按图示方式放置在直尺上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过点M作，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
故选：D．
5. 估计的值应在（ ）
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
【答案】C
【解析】，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
6. 如图，蜜蜂是自然界神奇的“建筑师”，它能造成牢固的“蜜蜂窝”，“蜜蜂窝”的表面是多个小正六边形．可从中抽象出如下规律：第1个图中有4个小正六边形，第2个图中有7个小正六边形，第3个图中有10个小正六边形，…，按此规律，第10个图中小正六边形的个数是（ ）
A. 30B. 31C. 32D. 40
【答案】B
【解析】根据题意，第1个图形中有个小正六边形，
第2个图形中有个小正六边形，
第3个图形中有个小正六边形，
⋯
第n个图形中有个小正六边形，
∴第10个图形中小正六边形的个数是，
故选：B．
7. 如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．蜡烛的像为，测量得到物距与像距之比为，若像的长为，则蜡烛的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，
∵，
∴
∴
即()．
故选B
8. 如图，，，分别与相切于，，三点，若，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，
∵，，
∴，
∵，，分别与相切于，，三点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积
，
故选A．
9. 如图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线，分别交正方形的四边于点，，，，直线，交于点，记的面积为，四边形的面积为．若，则用含的式子表示的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，过点D作交的延长线于点R．过点O作于点T，于点V．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵O是正方形的中点，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积=正方形的面积正方形的面积，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：D．
10. 无论为何值，都有恒成立，下列说法：
①；
②若，则；
③若，则．
其中正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵无论为何值，恒成立，
∴无论为何值，恒成立，
∴，
解得：，
①中，，
故①错误；
②中，∵，即，
∴，
∴
，
故②错误；
③中，∵，
∴当时，，
∴
，
故③错误；
综上，正确的个数是，
故选：A．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）．
11. 计算：________．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
12. 如图在正六边形，连接，，则________．
【答案】30
【解析】在正六边形中，，
∴，，
∴，
故答案为：30．
13. 某班准备毕业晚会节目，在两名男生和两名女生中随机抽取两名同学组成小合唱，则抽取两名女生组成小合唱的概率为________．
【答案】
【解析】根据画树状图如下：
∵所有等可能的情况有12种，其中两名女生有2种，
∴恰好抽中两名女生组成小合唱的概率为：，
故答案为：．
14. 若关于的不等式组有且只有3个奇数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为________．
【答案】
【解析】由不等式得，
∵不等式组有且只有3个奇数解，
∴不等式组的解为，奇数解为，
∴
∴．
解分式方程得，
∵该分式方程的解为正整数，
∴是2的倍数，即a是偶数．，
又当时，，即，
∴，
综上所述， a应满足且a是偶数且，
∴整数，它们的和为．
故答案为：
15. 如图，是的内接三角形，是直径，点在圆上，，连接，过点作的垂线，垂足为点，交于点，若，，则________，则的长为________．
【答案】①. ②.
【解析】∵是直径，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵,∴，
∴，
∵，∴；
如图，连接，过点作于点，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
16. 一个四位正整数，如果百位数字与个位数字之和等于千位数字与十位数字之和的两倍，则称为“倍数”，并规定，．若四位正整数是“倍数”，且的各数位上的数字之和为，则________；一个四位正整数（，，，且为整数）是一个“倍数”，且是的倍数，则满足条件的的值的和是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】设，
由“倍数”定义，得，
∵的各数位上的数字之和为，
∴，
∴，
解得：，
∵
，
∴；
∵（，，，且为整数）是一个“倍数”，
∴，且，
∴，
∴，，
∴，
，
∴，
∵是的倍数，
∴是的倍数，
∴是的倍数，
∵，，
∴，
∴或或或，
∴或或或，
①当时，，
得：或，
当时，，；
当时，，不合题意，舍；
②当时，，不是整数，舍；
③当时，，不是整数，舍；
②当时，，
得：，
则，；
综上，符合题意的为，，
和，
故答案为：；．
三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．
17. 计算：
（1）
（2）．
（1）解：
；
（2）解：
．
18. 为了纪念“遵义会议”90周年，某校开展了“红色长征”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用表示）进行整理、描述和分析，并将其分别分成四组：（A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：84，85，86，87，88，92，95，97，98，98．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，92，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）________，________，________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的“红色长征”知识竞赛成绩较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七年级有650名学生、八年级有700名学生参加了此次“红色长征”知识竞赛，请估计参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数是多少？
（1）解：八年级C组所占的百分比是：，
，即；
∵共有10个数，中位数是成绩从小到大排列第5、第6个数的平均数，
∴八年级中位数；
∵七年级10名学生的竞赛成绩98出现了2次，出现的次数最多，
∴众数，
故答案为：40；93；98；
（2）解：八年级学生的“红色长征”知识竞赛成绩较好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，而八年级的成绩的中位数，众数大于七年级，所以八年级学生的“红色长征”知识竞赛成绩较好；
（3）解：根据题意得：（人），
答：估计参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数是815人．
19. 在学习了平行四边形与特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一个顶点作邻角的角平分线的垂线，与平行四边形的边相交可以巧妙地构造菱形，根据他们的想法与思路，用直尺和圆规完成以下作图并填空：如图，平行四边形中，平分，过点作的垂线，垂足为，交线段于点，连接（保留作图痕迹）．

证明：四边形是平行四边形，
①________，
，
平分，
，
②________，
，
，，
又，
，
，
，，
垂直平分，
③________，
，
四边形是菱形．
进一步思考，如果四边形是矩形，请你模仿题中表述，可判定四边形是④________．
解：如图所示，即为所求：
证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，，
又，
，
，
，，
垂直平分，
，
，
四边形是菱形．
进一步思考，如果四边形是矩形，请你模仿题中表述，可判定四边形是正方形．
故答案为：；；；正方形．

20. 某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动．
（1）第一周，该食品加工厂花费7650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是60元、90元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？
（2）第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费2000元、4200元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？
（1）解：设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件，
，
解得：，
答∶食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件．
（2）解：设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
答：食品加工厂第二周采购A种食材40件．
21. 如图，在中，，，，点为线段上一点（不与点，重合），，的面积为，的面积与的面积之比为．
（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
（1）解：∵，，，
∴，∴，
∵，
∴，
（2）解：画出函数，图象如图，
由图象可知，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小．
（3）解：由图象可知与相交于点，
∴当时，的图象在的图象下方，
∴时x的取值范围为．
22. 如图，甲、乙两艘渔船同时从A港出发，前往位于港正北方向的捕鱼点捕鱼，甲渔船沿点的北偏西方向航行到观测点B，再沿B点的北偏东方向航行千米到达捕鱼点，乙渔船沿东北方向航行到观测点，再沿点的北偏西方向到达捕鱼点．
（1）求A港到捕鱼点的距离；（结果保留根号）
（2）若甲、乙两艘渔船的速度相同（在观测点B，观测的时间相同），哪艘渔船先到达捕鱼点？请通过计算说明．（参考数据：，，
（1）解：过点B作，垂足为E，则：
，，千米，
∴千米，
∴千米，
∴千米．
（2）解：过点作于点，如图，
∴
由题意可知，，千米，
∴千米，，
在中，千米，
千米，
∴千米，
∵，
∴，
∴，
在中，千米，
∴千米，千米，
∴千米，
∵
∴，
由甲、乙两艘渔船的速度相同，可得甲渔船先到达捕鱼点．
23. 如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．
（1）求抛物线解析式；
（2）点为直线下方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标及的最小值；
（3）将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：∵对称轴为直线，
∴，则，
将代入得：，
则，解得：，
∴，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D，
∵，对称轴为直线，
∴，
当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
将，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵面积，
∴当最大时，面积最大，
设，则，
∴，
当时，最大，面积最大，
∴，
∵点为抛物线对称轴上一动点，轴，
∴
将点向右平移个单位长度至点，连接，
则，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
做点关于抛物线对称轴的对称点，连接，
则，
∴，
当点，M，P三点共线时，，
此时，取最小值，
∵，，
∴，
∴．
综上：，最小值为．
（3）解：∵将抛物线沿射线方向平移后过点，
∴原抛物线向下平移2个单位长度，向左平移4个单位长度，
∴平移后的解析式为，
∵，
∴，
∴，
①当点Q在x轴下方时：
过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E，
∵，
∴，
∴，则，
∴，则点Q即为所求，
设，
∴，，
∴，
整理得：，
解得：（舍去），
∴，
②当点Q在x轴上方时：同理可得：
设，
∴，，
∴，
整理得：，
解得：（舍去），
∴（舍去），
综上：存在，．
24. 在中，，，点为直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得，连接．
（1）如图1，若点为线段上一点，且，求点到的距离．
（2）如图2，若点为线段上一点，连接并延长与的延长线交于点，连接，，求证：．
（3）如图3，点为上一点，连接，，把沿翻折，得到，连接，点为的中点，连接，当的长度最小时，请直接写出的值．
（1）解：作于，作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）证明∶，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：延长至，使，连接，，
将沿直线翻折，
，，
，
当三点共线时，，
此时最小，
是中点，
是的中位线，
，
当最小时，最小，如图所示：
作于，
由（1）知：， ，
设，
，，
，
，
，，
，
作于，作于，
平分，
，
，，
，
，
，
．
年级
七年级
八年级
平均数
91
91
中位数
90
众数
99