2025年重庆市中考数学模拟考试试卷（一）（原卷+解析卷）

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（本题4分）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．B．C．0D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，掌握0大于一切负数；正数大于0是解题的关键．
根据0大于一切负数、正数大于0解答即可．
【详解】解：∵，
∴最大的数是3．
故选：D．
2．（本题4分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选D．
3．（本题4分）下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点，解题关键是明确反比例函数图象上的点的横纵坐标乘积等于比例系数k，据此逐项判断即可．
【详解】解：∵，，，，
∴在反比例函数的图象上，
故选项B符合题意，
故选：B．
4．（本题4分）如图，点在射线上，直线，那么的度数为（ ）
A．B．60°C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
根据图示可得，结合得到，由此即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D ．
5．（本题4分）若两个相似三角形的周长比，则这两个三角形的面积比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．据此即可解答．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比，
∴这两个三角形的面积比是．
故选A．
6．（本题4分）如图所示，长方形的两边分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……依次类推，经过第2023次翻滚，点A的对应点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一循环，先求出的商和余数，从而解答本题．
【详解】解：如图所示：

观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，
，
∵点，长方形的周长为：，
∴经过2023次翻滚后点A对应点的坐标为，即．
故选：A．
【点睛】本题考查探究点的坐标的问题，关键是找到点的变化规律．
7．（本题4分）若在两个连续整数和之间，即，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】此题考查了无理数的估算，求代数式的值，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．根据无理数的估算方法得到，继而求出，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
8．（本题4分）如图，Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，∠ACB=90°，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积等于（ ）cm2
A．18B．24C．36D．48
【答案】B
【分析】阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积．
【详解】解：S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC-直径为AB的半圆的面积
=
=
=
=
= cm2，
故选：B．
【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算公式和勾股定理的应用，阴影部分可以看作是几个规则图形的面积的和或差，学会把不规则图形转化为规则图形是解题的关键．
9．（本题4分）如图，在正方形中，点E为边上一点，，连接，将线段绕点E顺时针旋转后，点A对应点为点F，连接、，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作，交的延长线于点，作于点，根据旋转的性质和正方形的性质得到，，再证明，得到，，设，则，，得到，，，再根据勾股定理求出，证明四边形为矩形，得到，，，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，作于点，则，
∵将线段绕点E顺时针旋转后，点A对应点为点F，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
在中，
，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
10．（本题4分）简单的规则可以涌现出丰富的代数结构，有依次排列的3个整式x，y，z，用任意两个整式的和减去剩下的整式，产生一个新整式串：，，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推，通过实际操作，下列结论：
①第3次操作后，得到的整式串为，，；
②第6次操作后，得到的整式串中，三个多项式的各项系数都是，，43；
③第2025次操作后，所有整式（包含前3个整式x，y，z）的和为．
其中正确的个数有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】本题考查了整式类规律探索、整式的加减的的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先分别求出第次操作后，得到的整式串，再归纳类推出一般规律，逐个判断即可得．
【详解】解：由题意得：第1次操作后，得到的整式串为，，，
∵，
，
，
∴第2次操作后，得到的整式串为，，，
∵，
，
，
∴第3次操作后，得到的整式串为，，，结论①正确；
∵，
，
，
∴第4次操作后，得到的整式串为，，，
归纳类推得：每次操作后，得到的整式串中，三个多项式的各项系数都相同，每个多项式的各项系数之和都等于1，而且有两项的系数相等，其中，不相等的系数依次为，
则第次操作后，得到的整式串中，不相等的系数为（其中为正整数），
∵，，
∴第6次操作后，得到的整式串中，三个多项式的各项系数都是，，43，结论②正确；
第1次操作后，得到的整式串的和为，
第2次操作后，得到的整式串的和为，
第3次操作后，得到的整式串的和为，
归纳类推得：每次操作后，得到的整式串的和都是，
则第2025次操作后，所有整式（包含前3个整式）的和为，结论③正确；
综上，正确的个数有3个，
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（本题4分）计算： ．
【答案】0
【分析】本题考查了实数的混合运算和零指数幂的运算，掌握运算原理是关键，根据实数的混合运算、零指数幂的运算，即可求得结果．
【详解】解：．
12．（本题4分）若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是 ．
【答案】八边形
【分析】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握任意n边形从一个顶点出发可以引条对角线是解决本题的关键．根据多边形的一个顶点引出的对角线的条数与边数的关系解决此题．
【详解】解：∵任意n边形从一个顶点出发可以引条对角线，
则该多边形的边数为：，
故答案为：八边形．
13．（本题4分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同．如果两枚卵全部成功孵化，则两只雏鸟都为雄鸟的概率是 ．
【答案】
【分析】用树状图法列举出所有情况，看所求的情况与总情况的比值即可得答案．
【详解】解：画树状图为：

共有4种等可能的结果，其中两只雏鸟都为雄鸟结果数为1，
故两只雏鸟都为雄鸟的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．（本题4分）暑假期间，小青同学和小彬同学相约进行社会实践活动，他们购进了某种卡片进行销售，第一天销售256张．第二、三天该卡片十分畅销，销售量持续走高，第三天的销售量达到400张．则第二、三天平均的增长率为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程求解是解答的关键．设第二、三天的平均增长率为x，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设第二、三天的平均增长率为x，根据题意得：
，
解得，（不符合题意，舍去），
答：第二、三天的平均增长率为．
故答案为：．
15．（本题4分）如图，在中，，将沿翻折得到与在同一平面内，点的对应点是点，交的延长线于点，则
【答案】30°/30度
【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．根据三角形外角的性质与内角和定理求得，，根据折叠的性质可得，由角的和差即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
，
将沿翻折得到，
∴，
∴．
故答案为：．
16．（本题4分）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组至少2个整数解，
∴，
∴；
得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7，
∴满足条件的整数之和是，
故答案为：．
17．（本题4分）如图，已知是的半径，弦，垂足为点，且，，过点作的切线，交的延长线于点，则的长为 ，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接，由与切于点，则，由垂径定理得，再由，设，，故，，由勾股定理可得，解出的值，则，根据余角性质得，则，然后代入求值即可．
【详解】解：连接，
∵与切于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
18．（本题4分）若一个四位数M各数位上的数字互不相等且均不为零，并满足千位数字与个位数字之差为1，百位数字与十位数字之和为9，则这个四位数M为“九九归一数”；若四位数M的千位数字和百位数字交换顺序，十位数字和个位数字交换顺序得到一个新的四位数字N，并规定．例如：，因为，，所以7456是“九九归一数”，则它对应的．计算 ；一个“九九归一数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，当，均是整数时，则满足条件的M的最大值为 ．
【答案】 7816
【分析】本题考查了因式分解的应用，理解新定义是解题的关键．由“九九归一数”的定义可直接求解；由题意可知，，，由是整数，可知是3的整数倍，再由为整数，可得为7的倍数，由此可得出的值．
【详解】解：由题意得：，，，
∴，
，
∴，
∵，均是整数，
∴是3的整数倍，为7的倍数，
∴是3的倍数，是7的倍数，
∴当时，，而是7的倍数，所以此时；
当时，，而是7的倍数，此时；
当时，，而是7的倍数，此时；
当时，，而是7的倍数，此时；
当时，，而是7的倍数，此时；
综上所述：满足条件的M的最大值为；
故答案为，7816．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题8分）化简：（1）；
（2）．
【答案】（1）﹣ab+3b2；（2）
【分析】（1）直接利用整式的乘法运算法则计算得出答案；
（2）首先将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：（1）（a﹣b）2﹣（a+b）（a﹣2b）；
＝a2﹣2ab+b2﹣（a2﹣ab﹣2b2）
＝﹣ab+3b2；

（2）
＝
＝
＝．
【点睛】此题主要考查了分式的混合运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．（本题10分）“父母在，人生尚有来处，父母去，人生只剩归途”，近几年涌现了很多缅怀母亲的文艺作品，其中贾玲的《你好，李焕英》和毛不易的《一荤一素》正是其中的优秀代表，为了解学生对这两部作品的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分（满分10分），并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
《你好，李焕英》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中a，b，c的值；
(2)你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校九年级1100名学生都对《你好，李焕英》进行打分，试估计所打分数中满分的个数？
【答案】(1)
(2)《你好，李焕英》，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据《一荤一素》调查得分为“8分”所占的百分比，即可求出“10分”所占的百分比，确定的值；根据中位数、众数的意义可求出的值；
（2）通过平均数、中位数、众数的比较即可求解；
（3）求出《你好，李焕英》满分人数所占的百分比即可求解．
【详解】（1）解：《一荤一素》调查得分为“分”所占的百分比为：，
∴；
《你好，李焕英》调查得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为：，
∴；
《一荤一素》调查得分出现次数最多的是分，因此众数是，
∴；
（2）解：《你好，李焕英》，理由：《你好，李焕英》调查得分的平均数、中位数、众数均比《一荤一素》高；
（3）解：
答：估计所打分数中满分的个数为人．
【点睛】本题考查了统计中的扇形统计图、各统计数据的意义及求解．旨在考查学生的数据处理能力．
21．（本题10分）如图，在平行四边形中，于．
(1)尺规作图：过点作于．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证：．
证明：四边形是平行四边形，
，，
_____①_____，
，，
_____②_____，
在、中，
，
，
_____④_____，
．
【答案】(1)作图见详解
(2)①，②，③，④
【分析】本题主要考查尺规作垂线，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据尺规作垂线的方法作图即可；
（2）根据平行四边形的性质可得，，由平行线的性质得到，可证明，得到，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，CF即为所求线段，
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
①，
，，
②，
在、中，
，
，
④，
．
故答案为：①；②；③；④．
22．（本题10分）在年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少万元．
(1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价；
(2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车辆，已知中级型汽车的售价为万元/辆，紧凑型汽车的售价为万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于辆，设购进a辆中级型汽车，辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？
【答案】(1)中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元
(2)该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，W最大为万元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用；根据题意建立等量关系是解题的关键．
（1）设中级型汽车进货单价为x元和紧凑型汽车进货单价为y元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）设中级型汽车进货单价为x元和紧凑型汽车进货单价为y元．
，
解得，
∴中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元．
（2）由题可得，
，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，W有最大值为，
∴该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，W最大为万元．
23．（本题10分）如图，在中，，，，点D为上的三等分点．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点D出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当其中任意一个动点到达终点时，两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的长度为，的面积为．
(1)请直接写出与分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数与的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
【答案】(1)，；
(2)图见解析，性质见解析；
(3)．
【分析】（1）根据题意得到，，则，，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意画出函数的图象，并根据函数的图象得到函数的性质；
（3）根据函数的图象即可得到不等式的解集．
【详解】（1）解：由题意得，
．
（2）函数，的图象如答图．
根据函数图象，函数的性质为：
抛物线与x轴的交点为，顶点为．或当时，随着x的增大而增大．或当时，随着x的增大而减小．或当时，函数有最大值9．
以上4条性质写出一条即可．
（3）由函数图象得，当时，．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形的面积，一次函数的图象，二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，正确作出函数的图象是解题的关键．
24．（本题10分）为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方向，；点C在点B的北偏东方向，在点D的北偏东方向，．
（参考数据：，）
(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？
【答案】(1)848米
(2)走点A经过点B到点C的路线较近
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；
（1）过点C作于点E，过点B作于点G，由题意易得，然后根据三角函数可进行求解；
（2）由（1）可知，进而问题可求解．
【详解】（1）解：如图，过点C作于点E，过点B作于点G，
则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
答：步道的长度约为848米．
（2）解：小王从点A经过点B到点C较近，理由如下：
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴小王从点A经过点B到点C较近．
25．（本题10分）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，的面积有最大值为1，此时
(3)存在，、、 、
【分析】本题综合考查了二次函数的解析式、二次函数与面积以及特殊四边形问题，掌握二次函数的相关性质是解题关键．
（1）将点和点代入即可求解；
（2）求出直线的解析式，设设点，则
，根据即可建立函数关系式求解；
（3）设，分类讨论为对角线时，为对角线时，为对角线时，三种情况即可求解；
【详解】（1）解：将点和点代入得：
，解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：过点作轴，如图所示：
由得点，
设直线的解析式为：，
将代入可得：
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点，则
∴当，即点时，有最大值，且最大值为；
（3）解：设，
为对角线时，
，
解得：（舍去的情况），
∴；
为对角线时，
，
解得：或
∴、；
为对角线时，
，
解得：（舍去的情况），
∴；
综上所述：符合条件的所有点的坐标为、、 、
26．（本题10分）如图，为等腰直角三角形，．
(1)如图1，点E为上一点，连接，在上找一点D，连接，过点E作交于点F，且，若，求的度数（用含的代数式表示）；
(2)如图，延长至点D，连接，过点B作，交于点G，延长至点E，使得，连接，试用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图，若，连接，过点A作，交延长线于点E．当取最大值时，请直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质得到，，然后求出，然后由垂直平分线的性质得到，利用三角形外角的性质得到，进而求解即可；
（2）过点B作，延长交于点H，连接，由为等腰直角三角形，得到，然后得到是等腰直角三角形，得到，证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可；
（3）首先得到点A，E，B，C四点共圆，即点E在以中点O为圆心，以为半径的圆上，由图可得，当时，取得最大值，连接，，过点B作交于点F，证明出，得到，设，，则，求出，然后利用勾股定理得到，进而求解即可．
【详解】（1）∵为等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴；
（2），理由如下：
如图所示，过点B作，延长交于点H，连接
∵，
∴
∴
∵为等腰直角三角形，
∴
∵
∴垂直平分
∴是等腰直角三角形
∴，
∴
又∵
∴
∴
又∵，
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴
∴；
（3）∵
∴点A，E，B，C四点共圆，即点E在以中点O为圆心，以为半径的圆上，
∵
∴由图可得，当时，取得最大值
如图所示，连接，，过点B作交于点F，
∴
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
又∵
∴
∴
设，，则
∴
∴
∵
∴
∴
整理得，
∴或（舍去）
∴
∴．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
平均数
众数
中位数
《你好，李焕英》
8.2
9
《一荤一素》
7.9
8