广西壮族自治区崇左市宁明县2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷（解析版）

这是一份广西壮族自治区崇左市宁明县2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12题，每题3分，共36分）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】抛物线的顶点坐标是，
故选：D．
2．的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】 ，故C正确．
故选：C.
3 .如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（ ）
A .2B .C .D .
【答案】B
【解析】∵∠C=90°，BC=1，AC=2，∴tanA= .
故选：B .
4 .在中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角A的余弦值（ ）
A .扩大4倍B .保持不变C .缩小4倍D .扩大2倍
【答案】B
【解析】 ∵在中，各边的长度都扩大4倍，
∴各角的大小不变，即大小不变 .
∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，
∴锐角A的余弦值保持不变 .
故选：B.
5 .抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ）
A .B .C .8D .
【答案】B
【解析】 依题意，中，，解得：
故选：B.
6 .如图，与是位似图形，点O为位似中心， .若的周长为2，则的周长是（ ）
A .4B .8C .12D .16
【答案】B
【解析】∵与是位似图形，点O为位似中心， .
∴，
根据位似图形的周长之比等于位似比，的周长为2，
∴，
解得，
故选：B.
7 .已知点，在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是（ ）.
A .B .C .D .
【答案】C
【解析】 ∵，
∴图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
又∵，
∴，在第四象限图象上，
∴，
故选：C.
8 .如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则csA的值为（ ）
A .B .C .2D .
【答案】D
【解析】过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，AB=，AD=，csA=
故选D.
9 .一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A .B .
C .D .
【答案】A
【解析】当时，，则一次函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数的图象分布在第一、三象限，选项A、B、C、D没有符合条件的；
当时，，则一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限，选项A符合条件，B、C、D不符合条件的；
故选：A.
10 .已知在中，，D，E分别是边上的点，且 .若和相似，则（ ）
A .5B .3C .D .3或
【答案】D
【解析】①如图所示，，

∴，，
∴；
②如图所示，，

∴，
∴，
综上所述，AE的长为3或，
故选：D.
11 .如图，过函数 的图像上两点 做轴的垂线，垂足分别为，与相交与，若图中三角形的面积记为 ，图中梯形形的面积记为，则和的大小关系是（ ）（图中阴影的面积）
A .B .C .D .不能确定
【答案】C
【解析】∵是函数的图象上两点，
∴根据比例系数几何意义得：，
∴，
∴，
∴，
故选：.
12 .如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截(即：FG∥BC)，若AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（ ）
A .B .C .D .
【答案】C
【解析】∵AB被截成三等分，
∴AB=3AE，AF=2AE，
∵EH∥FG∥BC，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∴S△AEH：S△AFG：S△ABC=AE2：AF2：AB2=AE2：（2AE）2：（3AE）2=1:4:9，
∴S△AEH= S△ABC, S△AFG=4 S△AEH，
S阴影= S△AFG- S△AEH=3 S△AEH=3× S△ABC=S△ABC .
故选择：C.
二、填空题（共6题，每题2分，共12分）
13 .在直角三角形中，，且，则 .
【答案】
【解析】 ，
，
，
.
故答案为：.
14 .平面直角坐标系内有一点，那么与x轴正半轴的夹角为， .
【答案】2
【解析】 过点P作轴于点A，如图：
∵点，
∴，，
∴ .
故答案为：2 .
15 .若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则该等腰三角形顶角的度数为 .
【答案】30°或150°
【解析】当该三角形为锐角三角形时，如图1，
∵sin∠A=，
∴∠A=30°，即△ABC的顶角为30°；
当该三角形为钝角三角形时，如图2，
在Rt△ABD中，∵sin∠BAD=，
∴∠BAD=30°，
∴∠BAC=150°，即△ABC的顶角为150°；
故答案为30°或150°，
16 .已知中，，都是锐角，且，则 度.
【答案】
【解析】 ∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴ .
故答案为：.
17 .如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点 .若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点 ，则的长的最大值是 .
【答案】
【解析】 由，令得，
∴，
令得或，
∴，
设直线直线解析式为，
，解得：，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，取最大值，
故答案为：.
18 .如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点C是线段的黄金分割点（）则有 已知 ，那么= .
【答案】2
【解析】 ∵五角星是正五角星
∴
∵
∴
解得：
故答案为：2 .
三、解答题（共8题，共72分）
19 .计算：
(1)
(2)
解：（1）
；
（2）
20 .如图， 已知直线分别截直线于点，，，截直线于点，，， 且，若，，求的长 .
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为 .
21 .如图， 已知正方形 的边长为4， 点 M， N分别是 ， 上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直 .
(1)求证：；
(2)当M为中点时， 求的面积 .
（1）证明：在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）解： ∵正方形 的边长为4，
∴，，
∵M为中点时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为 .
22 .小明利用所学三角函数知识对小区洋房的高度进行测量 .他们在地面的A点处用测角仪测得楼房顶端D点的仰角为，向楼房前行在B点处测得楼房顶端D点的仰角为，已知测角仪的高度是（点A，B，C在同一条直线上），根据以上数据求楼房CD的高度 .（，结果取整数）
解：由题意得：，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴,
在中，，
∴ .
答：楼房的高度约为 .
23 .在三角形中，，
(1)求三角形的面积 .
(2)求角A的对边a的长 .
解：（1） 作于点H，
在中，，
，
，
；
（2） 由（1）知：在中，，，
，
，
，
在中，
.
24 .如图，一次函数的图象交反比例函数图象于，两点 .
(1)求，的值；
(2)请你根据图象直接写出不等式 的解集 .
解：（1） ∵一次函数的图象交反比例函数图象于，两点，
∴，，
∴,；
（2） 根据图象可知，不等式 的解集为或 .
25 .如图， 已知抛物线 与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已知点 的坐标是，
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标 .
解：（1） 抛物线与轴交于点，又当时，，
点的坐标为，
，
，
，
即点的坐标为，
又点，
，解得，
抛物线的函数表达式是；
（2）如图，
设点的坐标为，
∵，，
∴为的锐角三角形，所以也是锐角三角形，，
点在点的上方，
，
，
，，，
①如果，则，
，即点，
②如果则，
，
即点，
综上所述：符合条件的点D的坐标为或 .
26 .如图，在菱形中，，点 E是边的中点， 连接 .

(1)求的长；（结果保留根号）
(2)点F 为边上的一点， 连接， 交于点G， 连接， .
①求证：；
②求的长 .
（1）解：四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
，
∵点 E是边的中点，
，，
.
（2）证明：，
，
，
又，
；
作于H .

，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
∴，
在中，，
，
.