江苏省常州市2024-2025学年高一上册10月月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份江苏省常州市2024-2025学年高一上册10月月考数学学情检测试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A B.
C. D.
2. 如图中是全集，，是的两个子集，则图中阴影部分表示为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知命题，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ， D. ，
4. 设a，b，m都是正数，且，记，则（ ）
A. B.
C. D. 与的大小与的取值有关
5. 若集合有6个非空真子集，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
7. 某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（ ）．
A. 36平方米B. 48平方米
C 64平方米D. 72平方米
8. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则有（ ）
A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知实数满足，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知集合，若，则实数的值可以是（ ）
A. B. 1C. D.
11. 1872年德国数学家戴德金从连续性要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.例如，取，则就是一个戴德金分割.已知有理数集与无理数集都具有“稠密性”，即任意两个不同的实数之间都有无穷多个有理数，也有无穷多个无理数.则下列说法中，正确的有（ ）
A. 若有最大元素，有最小元素，则可能是一个戴德金分割
B. 若没有最大元素，有最小元素，则可能是一个戴德金分割
C. 若有最大元素，没有最小元素，则可能是一个戴德金分割
D. 若没有最大元素，没有最小元素，则可能是一个戴德金分割
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 满足关系的集合有____________个.
13. 已知，则“”是“”的_____________条件.（请在“充分且不必要”、“必要且不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填写）
14. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是____________.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知非空集合，集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围.
16. 已知集合，集合，设集合.
（1）求；
（2）当时，求函数的最小值.
17. 已知，关于的一元二次不等式的解集为或.
（1）求的值；
（2）解关于的不等式.
18. 与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔AB的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如左图），已知.
（1）请计算天宁宝塔AB的高度（四舍五入保留整数）；
（2）为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高AB直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如右图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式）
【注】可能用到的基本事实有：对于锐角越大，则越大，反之亦然；对任意两个锐角，总有成立.
19. 已知有限集，若中的元素满足，则称为“完美集”.例如，集合的元素满足，故为“完美集”.
（1）已知是“完美集”，求的值;
（2）若是“完美集”，且，求证：中至少有一个大于2；
（3）试求出所有的每一个元素都为正整数的“完美集”.
江苏省常州市2024-2025学年高一上学期10月月考数学学情检测试题
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据并集的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：D
2. 如图中是全集，，是的两个子集，则图中阴影部分表示为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】分别表示出四个选项所表示的部分，得到答案.
【详解】A选项，表示的部分为②和④，A错误；
B选项，表示的部分为①和④，B错误；
C选项，表示的部分为①，③和④，C错误；
D选项，表示的部分为①，D正确.
故选：D
3. 已知命题，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ， D. ，
【正确答案】D
【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得：
命题的否定是．
故选：D
4. 设a，b，m都是正数，且，记，则（ ）
A. B.
C. D. 与的大小与的取值有关
【正确答案】A
【分析】根据题意通过作差比较大小，得出的大小关系，从而判断出正确答案.
【详解】由，且，即，
可得，即，
故选：A.
5. 若集合有6个非空真子集，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据给定条件，求出集合中元素，再列出不等式求解即得.
【详解】由集合有6个非空真子集，得集合中有3个元素，为，
因此，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
6. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】当时直接得解，当时原不等式等价于，再解分式不等式即可.
【详解】不等式，
当时，不等式显然成立；
当时，则原不等式等价于，
等价于，解得或，
综上可得原不等式的解集为.
故选：D
7. 某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（ ）．
A. 36平方米B. 48平方米
C. 64平方米D. 72平方米
【正确答案】C
【分析】设不靠墙的两个侧面的长度分别为，由题有，利用基本不等式可得答案.
【详解】设不靠墙两个侧面的长度分别为，由题有
.
令，则
，即，当且仅当时取等号.
故选：C
8. 已知关于一元二次不等式的解集为，则有（ ）
A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值
【正确答案】B
【分析】由题意先确定参数之间的关系式，从而可将表示成只含有的代数式，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为一元二次不等式ax2+bx+c>0a,b,c∈R的解集为，
所以当且仅当，即当且仅当，
所以
因为，所以上式，
当且仅当，即时取等.
所以有最大值.
故选：B.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知实数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】ACD
【分析】利用同向不等式的可加性和同向正数不等式的可乘性来推理，即可得到判断.
【详解】由，利用同向不等式的可加性得：，故A对，B错；
再由，平方可得：，
再利用同向正数不等式的可乘性得：，故C对；
又由，可得：，
再利用同向正数不等式的可乘性得：，
两边同除以正数得：，故D对，
故选：ACD.
10. 已知集合，若，则实数的值可以是（ ）
A. B. 1C. D.
【正确答案】CD
【分析】根据包含关系分或或三种情况讨论，运算求解即可.
【详解】，因为，所以，则有：
若，解得或，
当时，，，不符合集合元素的互异性；
当时，，，不符合集合元素的互异性；
若，解得或，
当时，，，不符合集合元素的互异性；
当时，，，符合题意；
若，解得或，
当时，，，不符合集合元素的互异性；
当时，，，符合题意；
综上所述：或.
故选：CD.
11. 1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.例如，取，则就是一个戴德金分割.已知有理数集与无理数集都具有“稠密性”，即任意两个不同的实数之间都有无穷多个有理数，也有无穷多个无理数.则下列说法中，正确的有（ ）
A. 若有最大元素，有最小元素，则可能是一个戴德金分割
B. 若没有最大元素，有最小元素，则可能是一个戴德金分割
C. 若有最大元素，没有最小元素，则可能是一个戴德金分割
D. 若没有最大元素，没有最小元素，则可能是一个戴德金分割
【正确答案】BCD
【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误.
【详解】对于A：若有最大元素，不妨设为，则，
要使，所以，此时中没有最小元素，
同理，若有最小元素，则中没有最大元素，
所以若有最大元素，有最小元素，则不可能是一个戴德金分割，故A错误；
对于B：设，
此时没有最大元素，有最小元素，满足是一个戴德金分割，故B正确；
对于C：设，
此时有最大元素，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故C正确；
对于D：设，，
此时没有最大元素，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故D正确；
故选：BCD
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 满足关系的集合有____________个.
【正确答案】4
【分析】由题意可得集合为的子集，且中必包含元素，写出满足条件的集合，即可得答案.
【详解】即集合为的子集，且中必包含元素，
又因为的含元素的子集为：,共4个.
故4.
13. 已知，则“”是“”的_____________条件.（请在“充分且不必要”、“必要且不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填写）
【正确答案】必要且不充分
【分析】根据对勾函数性质得到，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，所以，又对勾函数在上单调递增，
所以，
所以由推不出，故充分性不成立；
由推得出，故必要性成立；
所以“”是“”的必要且不充分条件.
故必要且不充分
14. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是____________.
【正确答案】
【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后将都表示成的形式即可得解.
【详解】因为不等式的解集为，
所以二次函数的对称轴为直线，
且需满足，即，解得，
所以，所以，
所以.
故答案为.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知非空集合，集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）或.
（2）
【分析】（1）代入求出集合P，解一元二次不等式求出集合Q，再根据集合的运算求解；
（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得⫋，分与讨论求解即可；
【小问1详解】
当时，P=x4≤x≤7，或，
解不等式得：，
即，
所以或.
【小问2详解】
若“”是“”的充分不必要条件，即⫋，
当时，即，即时，⫋；
当时，要使⫋，则，且等号不同时取得，
解得：，
∴满足⫋的实数a的取值范围是．
16. 已知集合，集合，设集合.
（1）求；
（2）当时，求函数的最小值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，解分式不等式求出集合，再进行集合补集、交集运算，即可得到答案；
（2）利用基本不等式求函数的最小值即可；
小问1详解】
由，即，解得，
所以，
由，等价于，解得，
所以，
所以，则；
【小问2详解】
当时，即，则，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，函数的最小值为.
17. 已知，关于的一元二次不等式的解集为或.
（1）求的值；
（2）解关于的不等式.
【正确答案】（1），
（2）答案见解析
【分析】（1）由题中条件，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解出即可；
（2）依题意可得，再分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【小问1详解】
因为关于的一元二次不等式的解集为或，
所以关于的一元二次方程的两解为和，
所以，解得；
【小问2详解】
由（1）得关于的不等式
即，因式分解得，
①当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为；
②当时，原不等式为，解得或，
所以不等式的解集为；
③当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为；
④当时，原不等式解得，即不等式的解集为；
⑤当时，原不等式解得，即不等式的解集为；
综上可得：当时不等式的解集为；
当时不等式的解集为；
当时不等式的解集为；
当时不等式的解集为；
当时不等式的解集为.
18. 与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔AB的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如左图），已知.
（1）请计算天宁宝塔AB的高度（四舍五入保留整数）；
（2）为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高AB直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如右图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式）
【注】可能用到的基本事实有：对于锐角越大，则越大，反之亦然；对任意两个锐角，总有成立.
【正确答案】（1）159米
（2）米
【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，结合图形列方程可求出结果.
（2）由图，将表示，设米，对取正切并化简，结合均值不等式可求得最大值.
【小问1详解】
在中，，得，
在中，，得，
因为，
所以，
解得米.
【小问2详解】
由图可知，设米，
则，，
，
当且仅当，即时等号成立.
根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然，
显然，可得最大时最大.
答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大.
19. 已知有限集，若中的元素满足，则称为“完美集”.例如，集合的元素满足，故为“完美集”.
（1）已知是“完美集”，求的值;
（2）若是“完美集”，且，求证：中至少有一个大于2；
（3）试求出所有的每一个元素都为正整数的“完美集”.
【正确答案】（1）； （2）证明见解析；
（3）.
【分析】（1）利用“完美集”的定义，到方程求解即可；
（2）利用反证法，结合不等式的性质来进行证明即可；
（3）利用分类讨论思想，把方程问题放缩转化为不等式问题进行变形讨论研究即可得解.
【小问1详解】
由是“完美集”可得：，解得：；
【小问2详解】
由是“完美集”可得：，
等式可变形为：，
又因为，假设都不大于2，则，
根据假设有，即，
而当且仅当或
又由中元素的互异性，可知，
故，这与已知的相矛盾，
所以假设不成立，即中至少有一个大于2；
【小问3详解】
不妨设中的元素满足的正整数，
结合得，，
即，再由于，
所以当时，有，由于是正整数，则，
再由“完美集”定义得：，显然无解，即当时，不存在“完美集”；
当时，结合上面结论可得：，又由于是不相等正整数，则只有，
再由“完美集”定义得：，解得，即当时，仅存在一个“完美集”为；
当时，由且这些元素都是正整数又可得：
，即有，
因为，由于，
所以n−2×n−1−n>0，即n−2×n−1>n，
这与相矛盾，所以当时，不存在“完美集”；
综合上述可得：每一个元素都为正整数的“完美集”仅有一个.
思路点睛：第二问结合反证法来进行推理证明；第三问利用分类讨论思想和正整数的特征来求解，其中会用到等式到不等式的放缩分析推理验证.