2024-2025学年江苏省常州市高一上册9月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省常州市高一上册9月月考数学检测试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 满足的集合A的个数（ ）
A. B. C. D.
2. 设x∈R，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要
3. 命题，否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A. B.
C. D.
5. 集合或，，若，则实数的范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
7. 已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知关于的不等式的解集恰好为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 若不等式对恒成立，则实数的值可能为（ ）
A. -2B. -1C. D. 2
10. 若，则下列说法不成立的有（ ）
A. 若且，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若且，则
11. 设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 是的环
B. 若，则存在一个环，含有8个元素
C. 若，则存在一个环，含有4个元素且
D. 若，则存在的一个环，含有7个元素且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知关于x的不等式的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为________
13. 已知集合，若，则的最小值为__________．
14. 若，，则的最小值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知命题“，方程有实根”是真命题.
（1）求实数的取值集合A；
（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
16. 已知全集，不等式的解集是，集合，.
（1）求实数的值；
（2）求；
（3）若，求的取值范围.
17. 已知函数.
（1）若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围；
（2）已知集合，，若，求取值范围.
18. 常州市某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本为280万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时（万元）.经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完.
（1）分别求年产量不足40台和年产量不少于40台时，年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
19. 已知关于的不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）解不等式；
（3）若在函数图象上，分别取横坐标时，其纵坐标之和为，证明.
2024-2025学年江苏省常州市高一上学期9月月考数学检测试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 满足的集合A的个数（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】分析可知满足条件的集合A的个数即为集合的子集个数，即可得结果.
【详解】因为，可知集合A必有元素2，可能含有元素，
可知满足条件的集合A的个数即为集合的子集个数，有个数.
故选：C.
2. 设x∈R，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要
【正确答案】B
【分析】由分析可知x∈R，根据包含关系分析充分、必要条件.
【详解】因为，可得恒成立，即x∈R，
因为是R的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
3. 命题，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】A
【分析】根据全称存在量词命题的否定形式，直接求解.
【详解】全称存在命题的否定是存在量词命题，并且否定结论，
所以命题，的否定是，.
故选：A
4. 已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】利用集合的交并补的定义，结合图即可求解.
【详解】因为或，或，
所以或或或，
或或或.
由题意可知阴影部分对于的集合为，
所以，
或.
故选：D.
5. 集合或，，若，则实数的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】考虑，，，确定集合，再根据集合的包含关系计算得到答案.
【详解】①当时，，，故，解得，
故；
②当时，，满足；
③当时，，，故，解得，
故；
综上所述.
故选：A
6. 某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【正确答案】C
【分析】根据题意可得该设备年平均费用，结合基本不等式分析运算.
【详解】由题意可得：该设备年平均费用，
∵，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该设备年平均费用最少时的年限为9.
故选：C.
7. 已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案.
【详解】解：因为命题“，”为真命题，
所以，命题“，”为真命题，
所以，时，，
因为，，
所以，当时，，当且仅当时取得等号.
所以，时，，即实数的取值范围是
故选：C
8. 已知关于的不等式的解集恰好为，则的值为（ ）
A B. C. D.
【正确答案】A
【分析】作出函数的图象，知，因此根据和分类讨论．
【详解】令，作出的图象，如图，
可知，则有：
若，则不等式的解集是两段区域，不合题意；
所以，此时恒成立，
因为不等式的解集为，可得，
且是方程的两根，则，
由得或4，
若，由，解得或，不合题意；
若，由，解得，符合题意；
综上所述：．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 若不等式对恒成立，则实数的值可能为（ ）
A. -2B. -1C. D. 2
【正确答案】BC
【分析】先求出不等式的解集为，根据不等式对恒成立，利用二次函数的性质，由求解.
【详解】不等式的解集是，
因为不等式对恒成立，
所以，
所以，
解得 ，
所以 实数的值可能为-1，
故选：BC
本题主要考查一元二次不等式的解法，二次函数的性质，集合的基本关系的应用以及恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
10. 若，则下列说法不成立的有（ ）
A. 若且，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若且，则
【正确答案】ACD
【分析】利用不等式的性质，结合特殊值法，判断选项.
【详解】解：A选项，时，结论不成立，故A错误
B选项，因为，所以，所以，即，故B正确
C选项，，时，结论不成立，故C错误
D选项，若则结论不成立，故D错误，
故选：ACD.
11. 设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 是的环
B. 若，则存在的一个环，含有8个元素
C. 若，则存在的一个环，含有4个元素且
D. 若，则存在的一个环，含有7个元素且
【正确答案】ABC
【分析】利用题设中信息，集合集合的交集、并集的运算，以及集合间的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意知：①，②若，则且，
对于A中，全集且，
满足且当时，可得且，所以A正确；
对于B中，由的所有子集共8个，
若是的子集构成的集合，所以集合有8个元素，所以B正确；
对于C中，若，可得，
所以是个环，其中中含有4个元素，所以C正确；
对于D中，若，
可得，， ，
，，且，
所以集合中至少有8个元素，所以D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知关于x的不等式的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为________
【正确答案】
【分析】根据一元二次不等式即可求解.
【详解】由题意可知:是不等式的解，所以，即，解得．
故
13. 已知集合，若，则的最小值为__________．
【正确答案】
【分析】由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得.
【详解】由，故，
由，得，
故有，即，即，
即的最小值为.
故答案为.
14. 若，，则的最小值为___________．
【正确答案】##
【分析】根据题意，得到，令，转化为，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，可得，则，
因为，可得，
令，则且
可得，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
所以最小值为.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知命题“，方程有实根”是真命题.
（1）求实数的取值集合A；
（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由题意可得，运算求解即可；
（2）由题意可知：集合是集合A的真子集，分和两种情况，结合包含关系列式求解.
【小问1详解】
由题可知：，解得，
所以.
【小问2详解】
若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合A的真子集，
①当时，，即，满足题意；
②当时，，即，满足题意；
综上所述：的取值范围为.
16. 已知全集，不等式的解集是，集合，.
（1）求实数的值；
（2）求；
（3）若，求的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据题意，结合三个二次式的关系，列出方程组，即可求解；
（2）求得，结合集合并集与补集运算，即可求解；
（3）根据集合交集的概念与运算，分别求得的取值范围，即可求解.
【小问1详解】
由不等式的解集是，
可得，解得
【小问2详解】
由不等式，可得，解得，即，
因为，可得或，
可得或.
【小问3详解】
由集合，，，
因为，可得，又因为，可得，
所以实数的取值范围为.
17. 已知函数.
（1）若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围；
（2）已知集合，，若，求的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）时函数为一次函数，可判断不符合题意，时，进而可得；
（2）将问题转化为使得有解，法1：转化为求在上的值域，进而可得；法2：求出方程的根，利用根的范围求解参数范围.
【小问1详解】
①，，不符合题意（舍） ，
②，（i）时，不恒在x轴上方(舍)，
（ii），若函数的图象恒在轴上方，
则，即，
综上所述：实数的取值范围为；
【小问2详解】
法1：使得有解，
，，
令，令，则，，
其对称轴为，故函数在上单调递增，故，
故实数的取值范围为.
法2：①时，（舍）；
②时，，，，
正根，解得.
③时，过，对称轴，
所以在内与轴无交点（舍）.
综上可知实数的取值范围为.
18. 常州市某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本为280万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时（万元）.经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完.
（1）分别求年产量不足40台和年产量不少于40台时，年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
【正确答案】（1）
（2）当年生产58（台）时，该企业年利润的最大值为892万元
【分析】（1）根据题意，分别求得和的函数关系式，进而得到答案；
（2）由（1）中的函数关系式，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分别求得其最大值，即可求解.
【小问1详解】
由题意，当时，
，
当时，
，
综上所得，
年利润关于年产量的函数关系式为.
【小问2详解】
当时，，
当时，，
当时，
当且仅当时，即时，上式取等号，即，
综上，即当年生产58（台）时，该企业年利润的最大值为892万元.
19. 已知关于的不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）解不等式；
（3）若在函数图象上，分别取横坐标为时，其纵坐标之和为，证明.
【正确答案】（1）
（2）或
（3）证明见解析
【分析】（1）根据绝对值不等式可得，且，结合题意即可得结果；
（2）由（1）可知：不等式化为，分三种情况，运算求解即可；
（3）根据题意分析可得，利用乘“1”法，结合基本不等式分析证明，注意等号成立的条件.
【小问1详解】
因为，则，即，
又因为解集为，则，且，
可得，解得.
【小问2详解】
由（1）可知：，则不等式化为，
则，或，或，
解得，或，或，
所以不等式的解集为或.
【小问3详解】
由（1）知，
因为，则，
可得，即，且，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
又因为，故等于号取不到，所以.