新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第06讲 函数及其表示（2份，原卷版+解析版）

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1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
考点1 函数的概念
[名师点睛]
（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.
（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同
[典例]
1．（2022·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
【解析】
根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足.
故选：C.
2．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，，是同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【解析】
解：对于A选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；
对于B选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；
对于C选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；
对于D选项，，的定义域均为，对应关系均为，故是同一函数.
故选：D
[举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（ ）
A．至少1个B．至多1个C．仅有1个D．有0个、1个或多个
【答案】B
【解析】
若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，
故选：B.
2．（2022·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．y=x-1和y=B．y=x0和y=1
C．f(x)=x2和g(x)=(x+1)2D．f(x)=和g(x)=
【答案】D
【解析】
对于A，函数y=x-1定义域是R，函数y=定义域是，A不是；
对于B，定义域是，函数y=1定义域是R，B不是；
对于C，和对应法则不同，C不是；
对于D，f(x)= 和g(x)=定义域都是，并且对应法则相同，D是.
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】D
【解析】
对于A：定义域为，定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项A不正确；
对于B：定义域为，的定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项B不正确；
对于C：的定义域为，定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项C不正确；
对于D：由可得，解得：，所以的定义域为，由可得，所以函数的定义域为且，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D正确，
故选：D.
考点2 函数的定义域
[名师点睛]
1．根据具体的函数解析式求定义域的策略
已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．
2．求抽象函数的定义域的策略
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
3．求函数定义域应注意的问题
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；
(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
4.已知函数的定义域求参数问题的解题步骤
(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题；
(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．
[典例]
1．（2022·北京·模拟预测）函数的定义域是_______．
【答案】
【解析】
由题意可得，，解之得
则函数的定义域是
故答案为：
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因为函数的定义域是，
所以.
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（ ）
A．(－1,0)B．(－2,0)C．(0,1)D．
【答案】C
【解析】
由题设，若，则，
∴对于有，故其定义域为.
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
∵的定义域为，
∴只需分母不为即可，即恒成立，
（1）当时，恒成立，满足题意，
（2）当时，，解得，
综上可得.
故选：B.
[举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）函数＋的定义域为（ ）
A．B．(－∞，3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞)D．(3，＋∞)
【答案】C
【解析】
要使函数＋有意义，则
所以，解得且，
所以函数＋的定义域为∪(3，＋∞).
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）函数()的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由题意，得，则，即，
∴.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由，得，
所以，所以．
故选：B．
4．（2022·全国·高三专题练习）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
由抽象函数的定义域可知，
，解得，
所以所求函数的定义域为.
故选A.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由题意得：在上恒成立.
即时，恒成立，符合题意，
时，只需，
解得：，
综上：，
故选：C.
6．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】解：由，得，所以，所以函数的定义域为，
故答案为：
7．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题意可得在上恒成立．
①当时，则恒成立，
符合题意；
②当时，
则，解得．
综上可得，
∴实数的取值范围为．
故答案为：.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．
【答案】
【解析】
当时，，即定义域为R；
当，要使的定义域为R，则在上恒成立，
∴，解得，
综上，有，
故答案为：
考点3 函数解析式
[名师点睛]
函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(4)联立方程组法：已知关于f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
[典例]
1.(1)已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，则f(x)的解析式为________________．
(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．
(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．
【答案】 (1)f(x)＝x2－1(x≥1)
(2)f(x)＝x2－x＋3 (3)f(x)＝2x
【解析】 (1)方法一(换元法)：令eq \r(x)＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二(配凑法)：f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)＝x＋2eq \r(x)＋1－1＝(eq \r(x)＋1)2－1.
因为eq \r(x)＋1≥1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
又f(0)＝c＝3，
所以f(x)＝ax2＋bx＋3，
所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＝4，,4a＋2b＝2，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，))
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
(3)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①
将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②
由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，
所以f(x)＝2x.
2．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数f(x)的解析式．
（1）f(x)是一次函数，且满足f(f(x))=4x－3；
（2）已知f(x)满足2f(x)+f()=3x，求f(x)的函数解析式．
（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．
【解】（1）因为f(x)是一次函数，所以设，
所以，
又因为f(f(x))=4x－3，所以，
故，解得或，所以或；
（2）将代入，得，因此，解得.
(3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y=，所以f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.
[举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
令，则 ，所以，
所以，故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x﹣1）＝x2+2x﹣3，则f（x）＝（ ）
A．x2+4xB．x2+4C．x2+4x﹣6D．x2﹣4x﹣1
【答案】A
【解析】，所以.
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令为，则，
与联立可解得，．
故选：D．
4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
设，
由题意可知，
所以，解得或，
所以或.
故选：AD.
5．（2022·山东济南·二模）已知函数，则______．
【答案】
【解析】
解：因为，所以，
.
故答案为：.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知，且为一次函数，求_________
【答案】或.
【解析】
因为为一次函数，所以设，
所以，
因为，所以恒成立，
所以，解得：或，
所以或，
故答案为：或.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为_______
【答案】
【解析】
令，则，且，
所以，
所以，
故答案为：.
8．（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)对x≠0的一切实数都有f(x)＋2f()＝3x，则f(x)＝_________.
【答案】
【解析】
因为，可得，
由 ，解得.
故答案为：.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，则___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
同除以2得，两式相加可得，即.
故答案为：.
10．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知是二次函数且，，求；
（2）已知，求.
【解】（1）∵f（x）为二次函数，
∴f（x）＝ax2+bx+c （a≠0），∵f（0）＝c＝2，
∵f（x+1）﹣f（x）＝x﹣1，∴2ax+a+b＝x﹣1，∴a，b，
∴f（x）x2x+2．
（2）∵，①，
∴f（）+2f（x），②
①-②×2得：﹣3f（x）＝x，
∴
考点4 分段函数
[名师点睛]
1．分段函数的求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后对讨论结果求并集．
[典例]
1．（2022·广东梅州·二模）设函数，则（ ）
A．2B．6C．8D．10
【答案】B
【解析】
解：因为，
所以，
所以.
故选：B.
2．（2022·山东潍坊·模拟预测）设函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
因为，则.
故选：C.
3．（2022·浙江省江山中学高三期中）已知，函数若，则_______.
【答案】或
【解析】
,
当时，，得，故；
当时，，故.
故答案为：或.
4．（2022·湖南湘潭·三模）已知，且，函数，若，则___________，的解集为___________.
【答案】
【解析】
①由题可知，，则，即，解得，故.
②当时，，解得；当时，恒成立.
故不等式的解集为.
故答案为：；.
[举一反三]
1．（2022·山东·济南一中高三阶段练习）已知函数,则（ ）
A．2B．9C．65D．513
【答案】A
【解析】
,
故选：A
2．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
因为，则，
所以，
故选：A.
3．（2022·安徽安庆·二模）已知函数且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
∵，∴,
由，知.
于是.
故选:A
4．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数，则___________.
【答案】-2
【解析】因为，所以
故答案为：-2
5．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
①当时，，在上单调递增，
，又，
恒成立；
②当时，，，
又，恒成立；
③当时，，，；
恒成立；
④当时，，，，
，解得：，；
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：.
6．（2022·浙江省临安中学模拟预测）设，若，则__________，__________.
【答案】 6
【解析】
若，则，由，得，即，
解得：（舍去）或；
若，由，得，该方程无解.
综上可知，，
故答案为：； 6
7．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）已知函数，则___________；方程的解集为___________．
【答案】 1 {1,e}
【解析】
，
，
，
故答案为：1；.
8．（2022·浙江·高三专题练习）已知则______；若，则的取值范围是______.
【答案】 3
【解析】
因为，
，
当时，，得，
当时，，得，
故的取值范围是
故答案为：3；.
9．（2022·浙江浙江·二模）设，函数．则________；若，则实数的取值范围是________．
【答案】 2
【解析】
，
由，则，所以
故答案为：2；