九年级上学期期末数学试题 (115)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (115)，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意；
、方程是一元二次方程，该选项符合题意；
、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：．
3. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1-x），第二次后的价格是168（1-x）2，据此即可列方程求解．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168（1-x）2=108．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
4. 某班女生与男生的人数比为3：2，从该班学生中随机选取一名学生是女生的概率为（ ）
A. B. C. 32 D. 23
【答案】A
【解析】
【详解】解：设某班女生的人数为3x，则某班男生的人数为2x，则p=，
故选A．
5. 如图，以点A为中心，把△ABC逆时针旋转120°，得到△AB'C′（点B、C的对应点分别为点B′、C′），连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的度数为（ ）
A 45°B. 60°C. 70°D. 90°
【答案】D
【解析】
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′=∠AB′B=30°，然后利用∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′进行计算．
【详解】∵以点A为中心，把△ABC逆时针旋转120°，得到△AB'C′
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′
∴∠AB′B=（180°-120°）=30°
∵AC′∥BB′
∴∠C′AB′=∠AB′B=30°
∴∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°
故选：D
【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，解题关键在于掌握旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
6. 已知二次函数的图象如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）

A. 有最大值2，有最小值
B. 有最大值2，有最小值1.5
C. 有最大值1.5，有最小值
D. 有最大值2，无最小值
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，准确识图是解题的关键．根据二次函数的最值问题，结合图形解答即可．
【详解】解：观察图象可得，在时，图象有最高点和最低点，
∴函数有最大值2和最小值，
故选：A
7. 下列关于x的方程中一定没有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据根的判别式的概念,求出△的正负即可解题.
【详解】解: A. x2-x-1=0,△=1+4=50,∴原方程有两个不相等的实数根,
B. , △=36-144=-1080,∴原方程没有实数根,
C. , , △=10,∴原方程有两个不相等的实数根,
D. , △=m2+80,∴原方程有两个不相等的实数根,
故选B.
【点睛】本题考查了根的判别式,属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键.
8. 如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB＝4，AC＝3，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图作PH⊥BC于H．首先证明AP=PH，设PA=PH=x，根据勾股定理构建方程即可解决问题；
【详解】如图作PH⊥BC于H．
∵弧AD=弧BD，
∴∠ACD=∠BCD，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴PA⊥AC，∵PH⊥BC，
∴PA=PH，设PA=PH=x，
∵PC=PC，
∴Rt△PCA≌Rt△PCH，
∴AC=CH=3，
∵BC==5，
∴BH=2，
在Rt△PBH中，∵PB2=PH2+BH2，
∴（4-x）2=x2+22，
解得x=，
∴PC= ，
故选：D．
【点睛】此题考查圆周角定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、角平分线的性质定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
9. ⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（ ）
A. 7B. 17C. 7或17D. 34
【答案】C
【解析】
【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB,CD的弦心距OE,OF,再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论.
【详解】解：如图,
设E、F为AB、CD的中点，
AE=AB=24=12,
CF=CD=10=5,
OE===5,
OF===12,
①当两弦在圆心同侧时,距离=OF-OE=12-5=7;
②当两弦在圆心异侧时,距离=OE+OF=12+5=17.
所以距离为7或17.
故选C.
【点睛】本题主要考查勾股定理及垂径定理的应用.
10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数各项系数与图像的关系，逐个判断即可．
【详解】解∶∵对称轴
∴，2a+b=0；故②正确；
∴a、b异号，
∴ab＜0，故①正确；
∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故③错误；
根据图示知，当m=1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故④正确．
如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故⑤错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若一元二次方程有一个根为x=−1，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，把x=−1代入方程计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程有一个根为x=−1，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 函数 的最小值为_____.
【答案】-5
【解析】
【分析】将二次函数配方，即可直接求出二次函数的最小值．
【详解】∵y＝x2﹣2x﹣4＝x2﹣2x+1﹣5＝（x﹣1）2﹣5，
∴可得二次函数最小值为﹣5．
故答案是：﹣5．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，用配方法是解此类问题的最简洁的方法．
13. 抛物线的对称轴为直线，的最大值为，且与 的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求二次函数的解析式，利用顶点式设，再根据抛物线与 的图象开口大小相同得a=−1，代入即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：设这条抛物线解析式为，
∵抛物线与 的图象开口大小相同，
∴a=−1，
∴，
故答案为：．
14. 如图，点A、B、C分别是⊙O上三个点，且CA⊥AB，若CA＝2，AB＝4，则OA的长为______.
【答案】
【解析】
【分析】连接BC，根据CA⊥AB得BC为直径，根据勾股定理得BC的长度，再依据点O为BC的中点得AO为Rt△ABC斜边上的中线，即可求出AO的长度.
【详解】解：连接BC,
∵CA⊥AB
∴BC为⊙O的直径,
∴BC===,
∵O为BC的中点,
∴AO=BC=,
故答案为: .
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
15. 已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长母线长，即可求解．
【详解】解：底面半径是2，
则底面周长，
圆锥的侧面积．
【点睛】本题考查了圆的周长公式和扇形面积公式，牢记圆的周长公式和扇形面积公式是解题的关键．
16. 有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．
【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=.
故其概率为：．
【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
三．解答题（本大题6题，共52分）
17. 解方程：
（1）2x2﹣2x﹣5＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【答案】（1）x1＝，x2＝；（2）x1＝3，x2＝9．
【解析】
【分析】（1）利用公式法解方程；
（2）移项，通过提取公因式（x﹣3）对等式的左边进行因式分解．
【详解】（1）2x2﹣22x﹣5=0．
∵a=2，b=﹣22，c=﹣5，∴b2﹣4ac=（﹣22）2﹣4×2×（﹣5）=48，∴x，解得：x1，x2；
（2）2（x﹣3）2=x2﹣9，2（x﹣3）2﹣（x﹣3）（x+3）=0，（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）=0，x﹣3或x﹣9=0，解得：x1=3，x2=9．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解一元二次方程的方法有直接开平方法，配方法，因式分解法以及换元法等，解方程时，需要根据方程的特点选择解方程的方法．
18. 如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为米，花圃面积为平方米．

（1）求关于的函数解析式；
（2）求的最大面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据矩形的面积公式即可求解；
（）根据二次函数的性质即可求解；
本题考查了二次函数的应用，根据题意求出关于的函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得，，
即；
【小问2详解】
解：，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为．
19. 小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为的概率．
（2）如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）这个游戏规则对双方不公平，理由见解析．
【解析】
【分析】（）列出表格，根据表格即可求解；
（）分别求出和为奇数和偶数的概率即可判断求解；
本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性，掌握树状图或列表法是解题的关键．
小问1详解】
解：列表如下：
由表可知，共有种等结果，其中和为的结果有种，
∴这两数和为的概率为；
【小问2详解】
解：这个游戏规则对双方不公平，理由如下：
由表可得，，，
∵，
∴这个游戏规则对双方不公平．
20. 已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．
（1）仔细观察图形并写出三个不同类型的正确结论：
① ，② ，③ ，（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；
（2）若∠A=30°，CD=2，求⊙O的半径r．

【答案】（1）结论：DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，∠A=∠E等；（2）
【解析】
【分析】（1）结论可以有：①DF=FE，BD=BE，②△BDF≌△BEF，③∠A=∠E，∠BDF=∠BEF④BC⊥AB，AD⊥BD，DE∥BC等；由BC是 O的切线，DF⊥AB，得∠AFD=∠CBA=90°；根据DE∥BC和垂径定理知，弧BD=弧BE，DF=FE，BD=BE，由等边对等角得∠E=∠EDB；再由圆周角定理得∠A=∠E，可证△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD；等．
（2）当∠A=30°时，BD=AB=r，∠C=60°，再根据Rt△BCD中，tan60°可求得r=2 ．
【详解】解：（1）结论：DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，∠A=∠E等；
理由：∵AB是直径，DE⊥AB，
∴DF=EF，弧BD=弧BE，
∴BD=BE，
∴Rt△BDF≌Rt△BEF（HL），
根据圆周角定理可知：∠A=∠E．
故答案为DF=EF，BD=BE，Rt△BDF≌Rt△BEF；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠A=30°，
∴BD=ABsinA=ABsin30°= AB=r；
又∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBA=90°，
∴∠C=60°；
在Rt△BCD中，
CD=2，
∴ =tan60°，
∴r=2 ．
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）．
（1）按下列要求作图：
①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1；
②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2．
（2）求点C1在旋转过程中所经过的路径长．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2π．
【解析】
【分析】（1）①利用点平移的坐标规律，分别画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点可得△A1B1C1；
②利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2即可；
（2）根据弧长公式计算．
【详解】（1）①如图，△A1B1C1为所作；
②如图，△A2B2C2为所作；
（2）点C1在旋转过程中所经过的路径长＝
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移的性质．
22. 如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）此抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）Q点坐标为（1，1），（1，0），（1，），（1，﹣）．
【解析】
【分析】（1）根据直线的解析式y=3x+3，当x=0和y=0时就可以求出点A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据A、B、C三点的坐标利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）将抛物线化为顶点式，求出对称轴，设出Q点坐标，利用等腰三角形的性质，根据两点间的距离公式就可以求出Q点的坐标．
【详解】(1)∵y=3x+3，
∴当x=0时，y=3，当y=0时，x=﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，3）．
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意，得
，
解得
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3
(2)∵y=﹣x2+2x+3，
∴y=﹣（x﹣1）2+4
∴抛物线的对称轴为x=1，设Q（1，a），
①当AQ=BQ时，如图，
由勾股定理可得
BQ=，
AQ=
得，
解得a=1，
∴Q（1，1）；
②如图：
当AB是腰时，Q是对称轴与x轴交点时，AB=BQ，
∴
解得：a=0或6，
当Q点的坐标为（1，6）时，其在直线AB上，A、B和Q三点共线，舍去，
则此时Q的坐标是（1，0）；
③当AQ=AB时，如图：
，解得a=±，则Q的坐标是（1，）和（1，﹣）．
综上所述：Q点坐标为（1，1），（1，0），（1，），（1，﹣）．