九年级上学期期末数学试题 (1)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (1)，共26页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义就可以选出答案．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
2. 已知，则的值为（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查高次方程的解法，把原方程化为：，再把看成一个整体，解一元二次方程，最后进行检验，选择正确的解
【详解】解：∵，
∴，两边同除可得，，
∴，
解之得，或，
当时，，，无解，故舍去，
当时，，．
综合得，，
故选：A．
3. 已知点在上．则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若半径平分弦．则四边形是平行四边形
B. 若四边形是平行四边形．则
C. 若．则弦平分半径
D. 若弦平分半径．则半径平分弦
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可．
【详解】A．∵半径平分弦，
∴OB⊥AC，AB=BC，不能判断四边形OABC是平行四边形，
假命题；
B．∵四边形平行四边形,且OA=OC,
∴四边形是菱形，
∴OA=AB=OB，OA∥BC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60º,
∴∠ABC=120º,
真命题；
C．∵，
∴∠AOC=120º，不能判断出弦平分半径，
假命题；
D．只有当弦垂直平分半径时，半径平分弦，所以是
假命题，
故选：B．
【点睛】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假．
4. 如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，解题的关键是熟知函数的性质并会观察图象．由对称轴和点A得到图象与轴的另一个交点坐标，从而判断选项；由开口方向和与轴的交点得到和的正负，从而判断选项B；由对称轴为直线判断选项C；由图象与轴的交点个数判断选项D．
【详解】解：函数图象过点，对称轴是直线x=1，
图象与轴的另一个交点为，即当x=−1时，，
，故选项A正确；
开口向上，与轴的交点在轴负半轴上，
，，
，故选项B错误；
对称轴为直线，
，
，故选项C错误；
函数图象与轴有两个交点，
，即，故选项D错误．
故选：A．
5. 如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据切线的性质，直角三角形的特征，等腰三角形的性质，三角形外角性质计算即可，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
【详解】∵是的直径，与相切于点A，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
6. 一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有（ ）个白球．
A. 12B. 8C. 6D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．
【详解】解：估计这个口袋中白球个数约为（个），
故选：B．
【点睛】本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
7. 如图，在中，顶点，，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，是的中线，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：∵AC=CB，C（2，3），
∴A（0，6），B（4，0），
∴OA=6，
第1次点A的坐标为（-3，3），
第2次点A的坐标为（-6，0），
第3次点A的坐标为（-3，-3），
第4次点A的坐标为（0，-6），
第5次点A的坐标为（3，-3），
第6次点A坐标为（6，0），
第7次点A的坐标为（3，3），
第8次点A的坐标为（0，6），
8次应该循环，
∵2021÷8=252•••5，
∴第2021次旋转结束时，点A的坐标为（3，-3），
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法．
8. 某公司销售一种成本为每件20元的LED护眼台灯．销售过程中发现，若销售单价为x元，则月销售量为件．为使每月获得最大利润，该台灯应定价为（ ）
A. 30元B. 35元C. 40元D. 45元
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据总利润单件利润数量列出函数关系式解答即可．
【详解】解：设利润为，
由题意得：，
化简得，
故当时，每月获得最大利润．
故选B．
9. 用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在上任取一点A，连接并延长交于点B；②以点B为圆心，为半径作圆弧分别交于C，D两点；③连接，并延长分别交于点E，F；④顺次连接，，，，，，得到六边形．连接，，交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A. 的内心与外心都是点GB.
C. 点G是线段的三等分点D.
【答案】D
【解析】
【分析】证明是等边三角形，，，可判断A；证明，可判断B；证明，可判断C；证明，可得结论．
【详解】解：在正六边形中，，
∵，
∴，，都是等边三角形，
∴，，
∴四边形，四边形都是菱形，
∴，，
∴的内心与外心都是点G，故A正确，
∵，，
∴，
∵，
∴，故B正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点G是线段F的三等分点，故C正确，
∵，，
∴，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形，四边形都是菱形．
10. 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半径是解题的关键．
连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，再根据求解即可．
【详解】解：如图：连接、、，，设半径为，

，，，
，
的内切圆与AB，，分别相切于点，，，
，，，且，
，
四边形是正方形，
，
，
，．
故选：C．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为0,2，1,0，顶点在函数的图象上，将正方形沿轴正方向平移后得到正方形，点的对应点落在抛物线上，则点与其对应点间的距离为______．

【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、求函数解析式、平移的性质、解一元二次方程等知识点，解题的关键是数形结合思想的综合应用．
作辅助线，构建全等三角形，先根据和的坐标求和的长，可证，，，写出，同理得：，得出的坐标，根据平移的性质：与的纵坐标相同，则，求出的坐标，计算其距离即可．
【详解】解：如图，过作轴，交轴于，过作于，

，，
，，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
同理得：，
，，
，
在抛物线的图象上，
把代入函数中得：，
，
设，
由平移得：与的纵坐标相同，则，
当时，，
解得：，舍），
，
则点与其对应点间的距离为，
故答案为：．
12. 不透明的口袋中装有8个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有________个．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：设口袋中白球大约有x个，
∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解，
估计口袋中白球大约有12个，
故答案为：12．
13. 如图，将绕点顺时针旋转得，若，，则旋转角等于_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形的外角的性质等知识点，掌握旋转的性质以及三角形外角的性质成为解题的关键．
由旋转的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，然后求解即可．
【详解】解：绕点顺时针旋转某个角度得到，
∴，
又∵，
．
故答案为．
14. 如图，⊙O的直径AB＝16，半径OC⊥AB，D为上一动点（不包括 B、C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且点E为OC的中点．
（1）劣弧的长为___；
（2）若点P为直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为___．
【答案】 ①. ； ②. ．
【解析】
【分析】（1）连接OD，先求出∠DOE的度数，再利用弧长公式求解可得；
（2）延长CO交⊙O于点G，连接DG交AB于点P，则PC+PD的最小值为DG，再根据勾股定理及EG＝12求解可得答案．
【详解】解：（1）如图，连接OD，
∵点E为OC的中点，
∴OE＝OC＝OD，
∴∠EDO＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴劣弧CD的长度为．
故答案为：．
（2）延长CO交⊙O于点G，连接DG交AB于点P，
则PC+PD的最小值为DG．
设DE＝x，
则DG＝2x，
∵∠G＝∠COD＝30°，EG＝12，
∴x2+144＝4x2，
解得x＝，
∴DG＝，
∴PC+PD的最小值为．
【点睛】本题主要考查了弧长的计算，轴对称的性质、圆的相关性质，求得圆心角的度数是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 如图，已知，为射线上一定点，点关于射线的对称点为点为射线上一动点，连接，满足为钝角，以点为中心，将线段逆时针旋转至线段，满足点在射线的反向延长线上．
(1)依题意补全图形；
(2)当点在运动过程中，旋转角是否发生变化?若不变化，请求出的值，若变化，请说明理由；
(3)从点向射线作垂线，与射线的反向延长线交于点，探究线段和的数量关系并证明．

【答案】（1）见详解；（2）旋转角不发生变化，，理由见详解；（3），证明见详解.
【解析】
【分析】(1)根据题意画出图形即可;
(2) 连接，线段交于点，证明，通过三点共圆，圆中同弧所对的圆周角与圆心角关系可证;
(3) 连接，线段交于点,通过证明从而证明即可求证.
【详解】(1)补全图形如图所示

(2)旋转角不发生变化，
理由：如图，连接，线段交于点

∵点、点关于射线对称
∴
又∵
∴
又∵线段绕点逆时针旋转至线段
∴
∴
∴点在以点为圆心，线段为半径的圆上
∴
即旋转角不发生变化，
(3)
证明：如图，连接，线段交于点

∵
∴
由(2)可得：
∴
又∵
∴
∴
∴
在中，
∴
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质,同弧所对的圆周角与圆心角的关系等知识点，解题的关键是综合运用以上性质，通过题意合理构造图形求解.
16. 圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，如图，是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为的中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径．
【答案】15分米
【解析】
【分析】连接，根据垂径定理求得，设圆的半径为x分米，则，根据勾股定理即可求得x．
【详解】解：连接，
∵过圆心，为的中点，
∴，
∵为的中点，
∴，
设圆的半径为x分米，则分米，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴（分米），
即拱门所在圆的半径是15分米．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键．
17. 已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）任取一个符合条件的的值，解上述方程．
【答案】（1）
（2）（答案不唯一）可以取，过程见解析
【解析】
【分析】本题主要考查是根的判别式，因式分解法解方程的有关知识．
（1）根据方程有两个不相等的实数根得到，求解即可；
（2）本题答案不唯一，可以取，然后利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
∴，
解得；
【小问2详解】
解：取，
则原方程为
即，
∴，
解得：，．
18. 相约西安，筑梦全运，为迎接十四运，学校开展了运动会志愿者选拔活动．小亮和小贾都很优秀，一同报名参加了选拔活动，但只有一个参加名额．现通过抽卡片的方式决定谁去参加，规则如下：现有两组卡片，第一组为正面分别写有字母X、Y、Z的三张卡片，第二组为正面分别写有字母X、Y、Y、Z的四张卡片，这些卡片除正面字母外其余均相同．将卡片正面朝下洗匀，随机抽一张，记下字母后放回，称为抽卡片一次．
（1）若小贾从第二组中抽卡片15次，其中9次抽出的卡片上写有字母Y，求这15次抽出的卡片上写有字母Y的频率；
（2）小亮从第一组中抽卡片一次，小贾从第二组中抽卡片一次，若两人抽出的卡片上的字母相同，则小亮去参加；否则，小贾去参加．请问这种抽卡片的方式对两人是否公平？用列表或画树状图的方法说明理由．
【答案】（1）；（2）不公平，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据频率的定义即可求解；
（2）画出树状图，求出字母相同和字母不同的概率，即可得出结论．
【详解】解：（1）这15次抽出的卡片上写有字母Y的频率为： ；
（2）根据题意，画出树状图如下：
，
P（字母相同），P（字母不相同），
∵P（字母相同）≠P（字母不相同），
∴不公平．
【点睛】本题考查频率与概率，掌握频率的定义、列举法求概率是解题的关键．
19. 如图，矩形ABCD中，AB=2cm，BC=5cm，点P从B点以1cm/s的速度沿BC向点C移动．
（1）当点P出发几秒后，PA=PC；
（2）当点P出发几秒后，PA=2PD．
【答案】（1）秒；（2）4秒
【解析】
【分析】（1）设当点出发秒后，，由勾股定理列出等量关系式求解即可；
（2）设当点出发秒后，，根据勾股定理求出，，由列出等量关系式求解即可．
【详解】（1）设当点出发秒后，，，则，
在中，，
解得：，
当点出发秒后，；
（2）设当点出发秒后，，，则，
在中，，
在中，
，
，
，
解得：或，
，
，
当点出发4秒后，.
【点睛】本题考查矩形的应用与勾股定理，掌握勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键.
20. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点
（1）求证：；
(2)若，，求的度数.
【答案】（1）证明见解析；（2）78°
【解析】
【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到；
（2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC
【详解】解：（1）证明：，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明．
21. 已知二次函数．
（1）当该二次函数的图象经过点时，求该二次函数的表达式；
（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;
（3）若对满足的任意实数x，都使得成立，求实数b的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）-3≤b≤1．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）先求出A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，过点M作MQ⊥x轴，可得MQ=t，从而得到△BPQ的面积的表达式，进而即可求解；
（3）设，结合函数图像的对称轴，开口方向，分两种情况：或，进而即可求解．
【详解】解：（1）把代入，
得：，解得：b=1，
∴该二次函数的表达式为：；
（2）令y=0代入，
得：，
解得：或，
令x=0代入得：y=-3，
∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，
设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，
∴BP=4-2t，
过点M作MQ⊥x轴，
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴MQ=BQ=t，
∴△BPQ的面积==，
∴当t=1时，△BPQ面积的最大值=；
（3）抛物线的对称轴为：直线x=-b，开口向上，
设，
∵对的任意实数x，都使得成立，
∴或，
∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1，
∴-3≤b≤1．
【点睛】本题主要考查二次函数综合，掌握待定系数法，二次函数的性质以及根据图像对称轴位置，列出不等式组，是解题的关键．
22. 节能减排是国家“十四五”规划中的一个重要目标，规划提出要在2030年前实现“碳达峰”，到2060年实现“碳中和”发展．为响应国家号召，某省政府计划对一批工业园区的碳排放工厂进行改建和重建，该计划拟定2021年，工厂改建和重建数量共100座，且改建座数不低于重建座数的4倍．
（1）按拟定计划，2021年至少要改建多少座工厂？
（2）经财政实际预算，2021年改建与重建工厂的平均费用之比为1：2，且改建工厂按照拟定计划中最少的数量计算，将花费资金156亿元，为加快实现“碳达峰”的目标，该省政府计划加大投入，计划指出2022年用于工厂改建和重建的费用将在2021年实际预算的基础上增加10a%，另外2022年改建与重建工厂的平均费用将比2021年分别增加a%和5a%，改建与重建立厂的座数将比2021年分别增加5a%和8a%，求a的值．
【答案】（1）至少改建80座工厂；（2）
【解析】
【分析】（1）设2021年改建x座工厂，则重建工厂为（100﹣x）座，根据改建座数不低于重建座数的4倍列出不等式求解即可；
（2）设2021年改建一座工厂花费y亿元，重建一座为2y亿元，根据将花费资金156亿元列出方程求出y；再根据2022年改建和重建的费用和等于2021年实际预算的基础上增加10a%，列出方程求出a．
【详解】解：（1）设2021年改建x座工厂，则重建工厂为（100﹣x）座，
根据题意得：x≥4（100﹣x），
解得：x≥80，
∴至少改建80座工厂；
（2）由（1）得：2021年改建工厂80座，则此时重建工厂20座，
设改建一座工厂花费y亿元，重建一座为2y亿元，
根据题意得：80y+20×2y＝156，
解得y＝1.3，
∴2y＝2.6，
由题意得：1.3（1+a%）×80（1+5a%）+2.6（1+5a%）×20（1+8a%）＝156（1+10a%），
设
则
整理得：
解得：
经检验：不合题意舍去，取

解得：a＝10．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题中的等量关系列出方程，同时注意解方程的技巧．
23. 已知：是的外接圆，且，，D为上一动点．

（1）如图1，若点D是的中点，等于多少？
（2）过点B作直线的垂线，垂足为点E．
①如图2，若点D在上，求证：．
②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足时，求的最大值．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）连接，根据可得，再根据圆周角定理进行求解即可；
（2）①过B作于点H，则，证明和即可求解；
②连接并延长交于点I，则点D在上，证明和即可求解；
【小问1详解】
如图1中，连接．

∵，
∴，
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
①过B作于点H，则．

又∵于点E，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵四边形是的内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
②连接并延长与交于点I，则点D在上．

如图：过B作于点H，
则，
又∵于点E，
∴，
∴，
又∵四边形是的内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当点D运动到点I时取得最大值，此时．