第13讲 二次函数（讲义） 2大考点12大题型（举一反三）-2025年中考数学一轮复习（全国版）

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考点一
二次函数的图象与性质
二次函数的概念
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
二次函数解析式的表示方法：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ．
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
2、二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
3、二次函数的平移：
方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
4、二次函数的图象与各项系数之间的关系
a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
c决定了抛物线与轴交点的位置
5、二次函数与一元二次方程之间的关系
当b2－4ac＜0时
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
【题型1 由二次函数解析式及图象判断顶点坐标、对称轴及增减性】
【例1】（2024·吉林长春·中考真题）已知二次函数y=−x2−2x+3，当a⩽x⩽12时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
【答案】−1−3/−3−1
【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当x−1时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若a≥−1；若a