2025年中考数学一轮复习第11讲 一次函数（讲义）【2大考点12大题型】（举一反三）（原卷版）

这是一份2025年中考数学一轮复习第11讲 一次函数（讲义）【2大考点12大题型】（举一反三）（原卷版），共33页。试卷主要包含了一次函数和正比例函数，一次函数的图象与性质，一次函数与方程，一次函数图象的平移等内容，欢迎下载使用。

考点一
一次函数的图象与性质
一、一次函数和正比例函数
1．定义：如果y=kx+b（k≠0），那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数．正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质．
2．一次函数与正比例函数的关系
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）与直线y=kx平行的一条直线。它可以由直线y=kx平移得到．它与x轴的交点为，与y轴的交点为（0，b）．
二、一次函数的图象与性质
三、一次函数与方程（组）、不等式的关系
四、一次函数图象的平移
【拓展】
同一平面直角坐标系中两直线，的位置关系
【题型1 一次函数的图象】
【例1】（2024·安徽·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+a2与y=a2x+a的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=2x−3的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b(a≠0)与y2=mx+n(m≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A．y1随x的增大而增大
B．b0B．b1b2>0C．k1+k20)个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）（k>0时）或将它向______（填“左”或“右”）（k0)个单位长度，且m，n，k满足等式_______．
【题型6 一次函数与方程（组）、不等式的关系】
【例6】（2024·内蒙古呼和浩特·中考真题）若以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=﹣12x+b﹣1上，则常数b=（ ）
A．12B．2C．﹣1D．1
【变式6-1】（2024·湖南邵阳·中考真题）如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是 ．
【变式6-2】（2024·山东烟台·中考真题）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≤mx+n的解集为 ．

【变式6-3】（2024·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，直线y=−x+4与y=2x+m相交于点P(3,n)，则关于x，y的方程组x+y−4=02x−y+m=0的解为（ ）
A．x=−1y=5B．x=1y=3C．x=3y=1D．x=9y=−5
考点二
一次函数的应用
一次函数的实际应用：
1.一次函数应用问题的求解思路：
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。
2.建立函数模型解决实际问题的一般步骤：
①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
④利用函数的性质解决问题；
⑤写出答案。
3.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。
4.求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【题型7 一次函数的应用之行程问题】
【例7】（2024·山东聊城·中考真题）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）

A．8:28B．8:30C．8:32D．8:35
【变式7-1】（2024·辽宁阜新·中考真题）快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一次折返，且快递员始终匀速行驶），那么快递员的行驶速度是 km/h．
【变式7-2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早27小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程ykm与两车行驶时间xh的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是_____km/h，并在图中括号内填上正确的数；
(2)求图中线段EF所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
【变式7-3】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离ykm与行驶时间xh之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是 km/h，乙货车的速度是 km/h；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离ykm与行驶时间xh之间的函数解析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【题型8 一次函数的应用之销售问题】
【例8】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
(1)求a,b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
【变式8-1】（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元．
【变式8-2】（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元．
(1)求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
【变式8-3】（2024·黑龙江·中考真题）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
【题型9 一次函数的交点问题：找临界点】
【例9】（2024·江苏无锡·中考真题）已知y是x的函数，若存在实数m，nm0．我们将m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数y=2x，存在m=1，n=2，当1≤x≤2时，2≤y≤4，即t=2，所以1≤x≤2是函数y=2x的“2级关联范围”．下列结论：
①1≤x≤3是函数y=−x+4的“1级关联范围”；
②0≤x≤2不是函数y=x2的“2级关联范围”；
③函数y=kxk>0总存在“3级关联范围”；
④函数y=−x2+2x+1不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【变式9-1】（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”．
例如：如图1，已知点A1,2，B3,2，P2,2在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”．

(1)如图2，已知点A1,0，B3,0，P是线段AB上一点，直线EF过G−1,0，T0,33两点，当点P是直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标；
(2)如图3，x轴上方有一等边三角形ABC，BC⊥y轴，顶点A在y轴上且在BC上方，OC=5，点P是△ABC上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”．当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；
(3)如图4，以A1,0，B2,0，C2,1为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y=−x+b的“伴随点”．请直接写出b的取值范围．
【变式9-2】（2024·四川德阳·中考真题）如图，已知点A−2,3，B2,1，直线y=kx+k经过点P−1,0．试探究：直线与线段AB有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是 ．
【变式9-3】（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在PO的延长线上，使得POQO=12，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，A(2,4),B(2,2),P−1,−32是线段AB外一点，Q2,3在PO的延长线上，且POQO=12，因为点Q在线段AB上，所以点P是线段AB的“延长2分点”．
(1)如图1，已知图形W1：线段AB，A2,4，B2,2，在P1−52,−1,P2−1,−1,P3−1,−2中，______是图形W1的“延长2分点”；
(2)如图2，已知图形W2：线段BC，B2,2，C5,2，若直线MN:y=−x+b上存在点P是图形W2的“延长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形W3：以Tt,1为圆心，半径为1的⊙T，若以D−1,−2，E−1,1，F2,1为顶点的等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W3的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
【题型10 一次函数的整点问题】
【例10】（2024·河北·中考真题）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A−8,19，B6,5．
(1)求AB所在直线的解析式；
(2)某同学设计了一个动画：在函数y=mx+nm≠0,y≥0中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中Cc,0．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；
②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数．
【变式10-1】（2024·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
(1)求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
(2)是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．
【变式10-2】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+1(k≠0)与直线x=k，直线y=−k分别交于点A，B，直线x=k与直线y=−k交于点C．
（1）求直线l与y轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．
①当k=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；
②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．
【变式10-3】（2024·四川内江·中考真题）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y=tx+2t+2（t>0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A．12≤t