中职高考数学一轮复习讲练测5.2 同角三角函数的关系及诱导公式（讲）（2份，原卷版+解析版）

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1．同角三角函数的基本关系
(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：①sin2α＋cs2α＝1； ②eq \f(sinα,csα)＝tanα．
(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式．
2．三角函数的诱导公式
(1)诱导公式的内容：
(2)诱导公式的规律：
三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α当成锐角时，原三角函数式中的角eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(如\f(π,2)＋α)) 所在象限原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cs120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．
(3)诱导公式的作用：
诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：
eq \x(\a\al(任意负角的,三角函数))eq \(――――――――――→,\s\up7(去负（化负角为正角）))eq \x(\a\al(任意正角的,三角函数))eq \(――――→,\s\up11(脱周),\s\d4(脱去k·360°))eq \x(\a\al(0°到360°的,三角函数))eq \(――――――――→,\s\up11(化锐),\s\d4(（把角化为锐角 ）))eq \x(\a\al(锐角三,角函数))
3．sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα三者之间的关系
(sinα＋csα)2＝1＋sin2α； (sinα－csα)2＝1－sin2α；
(sinα＋csα)2＋(sinα－csα)2＝2； (sinα＋csα)2－(sinα－csα)2＝2sin2α.
考点一 同角三角函数的基本关系
【例题】（1）若角是锐角，且，则（ ）
A．B．－C．－D．
【答案】D
【解析】因为，可得，又因为角是锐角，可得，所以，故选：D.
（2）已知csα=，tanα=1，则sinα=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，故选：B.
（3）若，且为第四象限角，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】所以，，故选：D.
（4）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】已知，两边平方可得：，所以，所以，故选：D．
（5）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，故选：A．
（6）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，，所以，故选：D.
【变式】（1）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，且，所以，，故选：C．
（2）已知，且是第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，则，故选：B.
（3）若为第三象限角，且，则（ ）
A．2B．-2C．D．
【答案】C
【解析】因为为第三象限角，且，所以，所以.
故选：C.
（4）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，因为，所以，故选：C.
（5）若，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】，故选：D.
（6）已知角终边在第一象限，，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，在第一象限，则，所以，故选：C.
考点二 诱导公式的应用
【例题】（1）的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，故选:C.
（2）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，故选：A.
（3）下列函数中，偶函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，为奇函数，故A不正确；对于B，为奇函数，故B不正确；对于C，为奇函数，故C不正确；对于D，为偶函数，故D正确，故选：D.
（4）已知，且为锐角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，故选：B.
（5）（ ）
A．B．0C．D．
【答案】A
【解析】，故选：A
（6）已知角的终边经过点，则 .
【答案】
【解析】∵P（-3,4），∴ 在第2象限，，，故答案为：.
【变式】（1）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，故选：B.
（2）若，为第四象限角，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设，所以，则，故选：C.
（3）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，由于，所以，所以，故选：C.
（4）函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数
【答案】A
【解析】∵函数，∴函数为最小正周期为的奇函数，故选：A.
（5）已知，则（ ）
A．2B．—2C．D．
【答案】C
【解析】由已知得，，∴，故选：C.
（6）已知，则 .
【答案】
【解析】，故答案为：.
【方法总结】
1.诱导公式用角度制,弧度制表示都可运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．
2．已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：
(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解．
(2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解．
(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解．
3．计算、化简三角函数式常用技巧
(1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及sinα，csα的齐次分式问题，常采用分子分母同除以csnα(n∈N*)，这样可以将被求式化为关于tanα的式子．
(2)巧用“1”进行变形，如1＝sin2α＋cs2α等．
(3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．
(4)熟悉sinα＋csα，sinα－csα，sinαcsα三者之间的内在联系，利用(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα进行和积转换，可知一求二．
x
函数
sinx
csx
tanx
－α
－sinα
csα
－tanα
eq \f(π,2)±α
csα
∓sinα
π±α
∓sinα
－csα
±tanα
eq \f(3π,2)±α
－csα
±sinα
2π±α
±sinα
csα
±tanα