2022-2023学年河北省邢台市七中九年级（上）期末数学试卷解析版

这是一份2022-2023学年河北省邢台市七中九年级（上）期末数学试卷解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为
B．不可能事件发生机会为0
C．买一张彩票会中奖是可能事件
D．一件事发生机会为1.0%，这件事就有可能发生
2．（3分）在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．也扩大3倍B．缩小为原来的
C．都不变D．有的扩大，有的缩小
3．（3分）在今年“支援河南洪灾”捐款活动中，某班级8名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）60，25，60，30，30，25，65，60．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．60元，30元B．30元，30元C．60元，45元D．25元，45元
4．（3分）某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表：
某班这四项得分依次为85，90，80，75，则该班四项综合得分为（ ）
A．84B．83.5C．83D．82.5
5．（3分）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的内部B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部D．⊙O上或⊙O的外部
6．（3分）若方程5x2+x﹣5＝0的两个实数根分别为x1，x2．则x1+x2等于（ ）
A．B．C．﹣1D．1
7．（3分）下列各组条件中，一定能够判定△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠D＝∠E
B．∠B＝∠E，AB＝3，AC＝4，DE：DF＝3：4
C．△ABC三边长分别为6，18，21，△DEF三边之比为2：7：6
D．∠C＝91°，∠E＝91°，DE：AB＝EF：AC
8．（3分）下列判断中，不正确的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
9．（3分）在下列网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，求∠A的余弦值（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，反比例函数y＝的图象经过平行四边形ABCD对角线的交点P．知A，C，D，三点在坐标轴上，BD⊥DC，平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．﹣6B．﹣5C．﹣4D．﹣3
11．（2分）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变．ρ与V在一定范围内满足ρ＝，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（ ）
A．1.4kgB．5kgC．6.4kgD．7kg
12．（2分）在⊙O中按如下步骤作图：
（1）作⊙O的直径AD；
（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；
（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（ ）
A．∠ABD＝90°B．∠BAD＝∠CBDC．AD⊥BCD．AC＝2CD
13．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条中线的交点是三角形重心
B．等弦所对的圆周角相等
C．长度相等的两条弧是等弧
D．三角形的外心到三边的距离相等
14．（2分）二次函数y＝x2+x+1与x轴的交点情况是（ ）
A．一个交点B．两个交点C．三个交点D．没有交点
15．（2分）在一个不透明的盒子中装有20个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其它都相同，小明进行了多次摸球试验，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在0.2左右，由此可知盒子中黄色乒乓球的个数可能是（ ）
A．2个B．4个C．18个D．16个
16．（2分）将抛物线y＝x2﹣2x+2所在的平面直角坐标系进行平移，得到y＝（x﹣3）2+2下列平移正确的是（ ）
A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
二、填空题（本大题3个小题共四空，每空3分共12分，把答案写在题中横线上）
17．（3分）一个几何体是由一些完全相同的小立方块搭成的，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则搭成这个几何体共需这样的小方块 个．
18．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为12m，那么这根旗杆的高度为 m．
19．（6分）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分①的周长为 ，阴影部分①②的总面积为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明或演算过程）
20．（8分）甲、乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有数字1，2，3，大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．
（1）求从袋中随机摸出一个球，标号是1的概率；
（2）从袋中随机摸出一个球然后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜．你认为这个游戏公平吗？请用画树状图或列表格的方法说明理由．
21．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
22．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，csA＝．
求（1）DE、CD的长；（2）tan∠DBC的值．
23．（9分）如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．
24．（10分）如图所示，∠C＝90°，BC＝8cm，csA＝3：5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？
25．（10分）如图，反比例函数与y2＝k2x+k2的图象交于A，B两点，AE⊥x轴，直线y2＝k2x+k2与x轴、y轴分别交于C，D两点，若S△AOE＝1，CE＝AE．
（1）求反比例与一次函数的表达式；
（2）当y2＞y1时，求x的取值范围；
（3）在反比例的图象上（除B点外）还存在到O点的距离等于线段OA的点吗？若不存在，请说明理由，若存在，直接写出该点的坐标．
26．（12分）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，在长度为8m的两支柱OC和AB之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式；
（2）求支柱EF的长度；
（3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3m的汽车能够通过（车顶与拱桥的距离不小于0.3m），行车道最宽可以铺设多少米？
2022-2023学年河北省邢台七中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共16个小题，其中1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中只有一箱符合题目要求）
1．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为
B．不可能事件发生机会为0
C．买一张彩票会中奖是可能事件
D．一件事发生机会为1.0%，这件事就有可能发生
【考点】概率公式；概率的意义．
【答案】A
【分析】必然发生的事件就是一定发生的事件，因而概率是1．
不可能发生的事件就是一定不会发生的事件，因而概率为0．
不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率＞0并且＜1．
【解答】解：A、同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率，第一个出现4的机会是，第二个出现4的机会也是，因而点数都是4的概率为，错误；
B、不可能事件发生机会为0，正确；
C、买一张彩票会中奖是可能事件，正确；
D、一件事发生机会为1.0%，这件事就有可能发生，正确．
故选：A．
【点评】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
2．（3分）在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．也扩大3倍B．缩小为原来的
C．都不变D．有的扩大，有的缩小
【考点】锐角三角函数的增减性．
【答案】C
【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值．
【解答】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变．
故选：C．
【点评】理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关．
3．（3分）在今年“支援河南洪灾”捐款活动中，某班级8名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）60，25，60，30，30，25，65，60．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．60元，30元B．30元，30元C．60元，45元D．25元，45元
【考点】众数；中位数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据中位数的定义将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，找出最中间的那个数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可．
【解答】解：60出现了3次，出现的次数最多，
则众数是60元；
把这组数据从小到大排列为：25，25，30，30，60，60，60，65，
则中位数是＝45（元）．
故选：C．
【点评】此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．
4．（3分）某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表：
某班这四项得分依次为85，90，80，75，则该班四项综合得分为（ ）
A．84B．83.5C．83D．82.5
【考点】加权平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：该班四项综合得分为85×40%+90×25%+80×25%+75×10%＝84（分），
故选：A．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
5．（3分）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的内部B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部D．⊙O上或⊙O的外部
【考点】点与圆的位置关系；解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】B
【分析】先求出方程x2﹣4x﹣5＝0的根，得到d的值，再根据点与圆的位置关系进行判断即可．
【解答】解：解方程x2﹣4x﹣5＝0，
得x＝5或﹣1，
∵d＞0，
∴d＝5，
∵⊙O的半径为4，
∴d＞r，
∴点P在⊙O外．
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．也考查了一元二次方程的解法．
6．（3分）若方程5x2+x﹣5＝0的两个实数根分别为x1，x2．则x1+x2等于（ ）
A．B．C．﹣1D．1
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得，x1+x2＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
7．（3分）下列各组条件中，一定能够判定△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠D＝∠E
B．∠B＝∠E，AB＝3，AC＝4，DE：DF＝3：4
C．△ABC三边长分别为6，18，21，△DEF三边之比为2：7：6
D．∠C＝91°，∠E＝91°，DE：AB＝EF：AC
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定方法可得出答案．
【解答】解：A、∠A和∠B，∠D和∠E不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意；
B、根据∠B＝∠E，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项不符合题意；
C、△ABC三边长分别为6，18，21，则三边之比为2：6：7，由△DEF三边之比为2：7：6可知△ABC与△DEF相似，故此选项符合题意；
D、DE：AB＝EF：AC不是直角三角形的对应边成比例，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
8．（3分）下列判断中，不正确的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．
【解答】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；
C、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
9．（3分）在下列网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，求∠A的余弦值（ ）
A．B．C．D．
【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义．
【答案】C
【分析】首先把∠A放在一个直角三角形内，再求出斜边长，然后根据余弦定义可得∠A的余弦值．
【解答】解：AO＝＝2，
cs∠A＝＝＝，
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理和锐角三角函数，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．
10．（3分）如图，反比例函数y＝的图象经过平行四边形ABCD对角线的交点P．知A，C，D，三点在坐标轴上，BD⊥DC，平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．﹣6B．﹣5C．﹣4D．﹣3
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】将平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，再得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
【解答】解：如图所示，过点P作PE⊥y轴于点E，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，
又∵BD⊥x轴，
∴ABDO为矩形，
∴AB＝DO，
∴S矩形ABDO＝S▱ABCD＝6，
∵P为对角线交点，PE⊥y轴，
∴四边形PDOE为矩形面积为3，
即DO•EO＝3，
∴设P点坐标为（x，y），
k＝xy＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．
11．（2分）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变．ρ与V在一定范围内满足ρ＝，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（ ）
A．1.4kgB．5kgC．6.4kgD．7kg
【考点】反比例函数的应用．
【专题】跨学科．
【答案】D
【分析】由图象知点（5，1.4）在函数的图象上，根据待定系数法就可求得函数解析式．求得m的值．
【解答】解：∵ρ＝，
∴m＝ρV，
而点（5，1.4）在图象上，
代入得m＝5×1.4＝7（kg）．
故选：D．
【点评】考查实际问题中反比例函数的性质，关键是要由点的坐标求出函数的解析式．
12．（2分）在⊙O中按如下步骤作图：
（1）作⊙O的直径AD；
（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；
（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（ ）
A．∠ABD＝90°B．∠BAD＝∠CBDC．AD⊥BCD．AC＝2CD
【考点】作图—复杂作图；含30度角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，＝，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再根据DC＝OD，可得AD＝2CD，进而可判断D选项．
【解答】解：根据作图过程可知：
AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴A选项正确；
∵BD＝CD，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CBD，
∴B选项正确；
根据垂径定理，得
AD⊥BC，
∴C选项正确；
∵DC＝OD，
∴AD＝2CD，
∴D选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、含30度角的直角三角形、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
13．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条中线的交点是三角形重心
B．等弦所对的圆周角相等
C．长度相等的两条弧是等弧
D．三角形的外心到三边的距离相等
【考点】三角形的重心；角平分线的性质；圆的认识；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形．
【专题】三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】熟知三角形的重心、与圆有关的概念与定理、三角形的外心性质即可解题．
【解答】解：A、三角形三条中线的交点时三角形的重心，故选项A正确，符合题意；
B、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，故选项B错误，符合题意；
C、可以完全重合的两条弧是等弧，故选项C错误，不符合题意；
D、由三角形三条边的中垂线段的交点是三角形的外心和线段中垂线上的点到线段两端的距离相等，可知选项D错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心与外心的定义和性质、与圆有关的概念与定理，解题的关键是熟知各个知识点的定义与性质．
14．（2分）二次函数y＝x2+x+1与x轴的交点情况是（ ）
A．一个交点B．两个交点C．三个交点D．没有交点
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程x2+x+1＝0的判别式Δ的大小求解．
【解答】解：令y＝0得x2+x+1＝0，
一元二次方程Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴方程无解，
∴抛物线与x轴无交点．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与x轴交点的判断方法．
15．（2分）在一个不透明的盒子中装有20个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其它都相同，小明进行了多次摸球试验，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在0.2左右，由此可知盒子中黄色乒乓球的个数可能是（ ）
A．2个B．4个C．18个D．16个
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【解答】解：设袋中有黄球x个，由题意得＝0.2，
解得x＝16．
故选：D．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．
16．（2分）将抛物线y＝x2﹣2x+2所在的平面直角坐标系进行平移，得到y＝（x﹣3）2+2下列平移正确的是（ ）
A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】平面直角坐标系平移方向与抛物线平移方向相反．根据抛物线平移规律“上加下减，左加右减”知，平面直角坐标系的平移规律为“下加上减，右加左减”．
【解答】解：因为y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
所以将抛物线y＝x2﹣2x+2向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到y＝（x﹣3）2+2．
故平面直角坐标系平移方法为：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
二、填空题（本大题3个小题共四空，每空3分共12分，把答案写在题中横线上）
17．（3分）一个几何体是由一些完全相同的小立方块搭成的，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则搭成这个几何体共需这样的小方块 5 个．
【考点】由三视图判断几何体．
【答案】见试题解答内容
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：综合主视图，俯视图，左视图，底层有4个正方体，第二层有1个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是5，
故答案为：5．
【点评】此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
18．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为12m，那么这根旗杆的高度为 7.2 m．
【考点】相似三角形的应用；平行投影．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】7.2．
【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．
【解答】解：设旗杆高度为xm，
由题意得 1.8：3＝x：12，
解得：x＝7.2．
故答案为：7.2．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．
19．（6分）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分①的周长为 2+π ，阴影部分①②的总面积为 2﹣ ．
【考点】扇形面积的计算；正方形的性质；弧长的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】2+π；2﹣．
【分析】（1）利用弧长公式即可得答案；
（2）连接PB、PC，作PF⊥BC于F，根据等边三角形的性质得到∠PBC＝60°，解直角三角形求出BF、PF，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）根据对称性可知，PB弧＝PC弧，
∴阴影部分①的周长＝AB长+AC弧长＝2+＝2+π；
故答案为：2+π；
（2）连接PB、PC，作PF⊥BC于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
∴BF＝PB•cs60°＝PB＝1，PF＝PB•sin60°＝，
则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2
＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，
故答案为：2﹣．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明或演算过程）
20．（8分）甲、乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有数字1，2，3，大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．
（1）求从袋中随机摸出一个球，标号是1的概率；
（2）从袋中随机摸出一个球然后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜．你认为这个游戏公平吗？请用画树状图或列表格的方法说明理由．
【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】（1）；
（2）不公平，过程见解答．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数，根据概率公式求出甲胜和乙胜的情况数，然后进行比较，即可得出这个游戏是否公平．
【解答】解：（1）由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：；
（2）这个游戏不公平．
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况
∴P（甲胜）＝，P（乙胜）＝，
∴P（甲胜）≠P（乙胜），
∴这个游戏不公平．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式；根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】判别式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将x＝1代入方程x2+ax+a﹣2＝0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
【解答】解：（1）将x＝1代入方程x2+ax+a﹣2＝0得，1+a+a﹣2＝0，解得，a＝；
方程为x2+x﹣＝0，即2x2+x﹣3＝0，设另一根为x1，则1•x1＝﹣，x1＝﹣．
∴a的值为，该方程的另一个根是﹣．
（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．
22．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，csA＝．
求（1）DE、CD的长；（2）tan∠DBC的值．
【考点】解直角三角形；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由DE⊥AB，AE＝6，csA＝，可求出AD的长，根据勾股定理可求出DE的长，由角平分线的性质可得DC＝DE＝8；
（2）由AD＝10，DC＝8，得AC＝AD+DC＝18．由∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形边长的比可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC＝．
【解答】解：（1）在Rt△ADE中，由AE＝6，csA＝＝，得：AD＝10，（1分）
由勾股定理得DE＝＝＝8（2分）
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°，角平分线性质得：DC＝DE＝8．（4分）
（2）方法一：由（1）AD＝10，DC＝8，得：AC＝AD+DC＝18．
在△ADE与△ABC，∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC得：＝，即＝，BC＝24，（5分）
得：tan∠DBC＝＝＝（6分）
方法二：由（1）得AC＝18，又csA＝＝，得AB＝30，
由勾股定理得BC＝24（5分）得：tan∠DBC＝．（6分）
【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质、相似三角形的性质、三角函数值的定义，进行逻辑推理能力和运算能力．
23．（9分）如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．
【考点】切线的判定；扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】计算题；证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OD，求出∠OAD＝60°，得出等边三角形OAD，求出AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，求出∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，求出∠ODC＝90°，根据切线的判定得出即可；
（2）求出OD，根据勾股定理求出CD长，分别求出三角形ODC和扇形AOD的面积，相减即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠BCA＝90°，∠B＝30°，
∴∠OAD＝∠BAC＝60°，
∵OD＝OA，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，
∴∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥DC，
∵OD为半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝4，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴OD＝OA＝AC＝AB＝2，
由勾股定理得：CD＝＝＝2，
∴S阴影＝S△ODC﹣S扇形AOD＝×2×2﹣＝2﹣π．
【点评】本题考查了扇形的面积，切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，综合性比较强，有一定的难度．
24．（10分）如图所示，∠C＝90°，BC＝8cm，csA＝3：5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？
【考点】相似三角形的判定；解直角三角形．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】过2.4或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．
【分析】由∠C＝90°，BC＝8cm，csA＝3：5，即AC：AB＝3：5，利用勾股定理即可求得AB与AC的长，然后设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，则可得BP＝2tcm，CP＝BC﹣BP＝8﹣2t（cm），CQ＝tcm，再分别从当时，△CPQ∽△CBA与当时，△CPQ∽△CAB，去分析求解即可求得答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝8cm，csA＝3：5，即AC：AB＝3：5，
∴设AC＝3xcm，AB＝5xcm，
则BC＝＝4x（cm），
即4x＝8，
解得：x＝2，
∴AC＝6cm，AB＝10cm，
∴BC＝8cm，
设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，
则BP＝2tcm，CP＝BC﹣BP＝8﹣2t（cm），CQ＝tcm，
∵∠C是公共角，
∴①当，即时，△CPQ∽△CBA，
解得：t＝2.4，
②当，即时，△CPQ∽△CAB，
解得：t＝，
∴过2.4或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用是解题的关键．
25．（10分）如图，反比例函数与y2＝k2x+k2的图象交于A，B两点，AE⊥x轴，直线y2＝k2x+k2与x轴、y轴分别交于C，D两点，若S△AOE＝1，CE＝AE．
（1）求反比例与一次函数的表达式；
（2）当y2＞y1时，求x的取值范围；
（3）在反比例的图象上（除B点外）还存在到O点的距离等于线段OA的点吗？若不存在，请说明理由，若存在，直接写出该点的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y1＝﹣，一次函数的表达式y2＝﹣x﹣1；
（2）x＜﹣2或0＜x＜1；
（3）点的坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．
【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k1，通过题意求得OC＝OD，即可求得k2＝﹣1，从而求得反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象即可求解；
（3）根据反比例函数的对称性即可求得．
【解答】解：（1）∵AE⊥x轴于点E，S△AOE＝1，
∴S△AOE＝|k1|＝1，
∴|k1|＝2，
∵在二、四象限，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数的表达式为y1＝﹣，
∵AE⊥x轴，CE＝AE，
∴∠ACE＝45°，
∴∠OCD＝∠ACE＝45°，
∴OC＝OD，
∴k2＝﹣1，
∴一次函数的表达式y2＝﹣x﹣1；
（2）解得或，
∴A（﹣2，1），B（1，﹣2），
由图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1；
（3）在反比例的图象上（除B点外）还存在两个到O点的距离等于线段OA的点，这两点与A、B关于直线y＝﹣x对称，
∴该点的坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰直角三角形的判断和性质，函数与不等式的关系，反比例函数的对称性，解决问题的关键是掌握求得函数解析式的方法．
26．（12分）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，在长度为8m的两支柱OC和AB之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式；
（2）求支柱EF的长度；
（3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3m的汽车能够通过（车顶与拱桥的距离不小于0.3m），行车道最宽可以铺设多少米？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题目可知抛物线经过的两点的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；
（2）设N点的坐标为（15，y）可求出支柱EF的长度；
（3）令y＝3.3，求得x的值即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，图象过原点，设拱桥抛物线的函数表达式为：y＝ax2+bx，
∵相邻两支柱间的距离均为5m，
∴OA＝4×5m＝20m，
∴（20，0），（10，6）两点都在抛物线上，
∴，解得，
∴y＝﹣x2+x；
（2）设点F的坐标为（15，y），
∴y＝﹣×152+×15＝；
∴EF＝（8﹣）m＝m＝3.5m；
（3）当y＝3+0.3＝3.3（m）时，有
﹣x2+x＝3.3，
化简，得x2﹣20x+55＝0，
解得x＝10±3，
x1＝10﹣3，x2＝10+3，
∴x2﹣x1＝6，
答：行车道最宽可以铺设6米．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．
项目
学习
卫生
纪律
活动参与
所占比例
40%
25%
25%
10%
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