2022-2023学年河北省邢台市三中九年级（上）期末数学试卷解析版

这是一份2022-2023学年河北省邢台市三中九年级（上）期末数学试卷解析版，共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ）
A．开口方向不变B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变
2．（3分）把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣x2+50xB．y＝x2﹣50xC．y＝﹣x2+25xD．y＝﹣2x2+25
3．（3分）若抛物线y＝2+（m﹣5）的顶点在x轴下方，则m的值为（ ）
A．m＝5B．m＝﹣1C．m＝5或m＝﹣1D．m＝﹣5
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ）
A．1.5，2.5B．2，5C．1，2.5D．2，2.5
5．（3分）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，△ABD是⊙O的内接正三角形，四边形ACEF是⊙O的内接正四边形，若线段BC恰是⊙O的一个内接正n边形的一条边，则n＝（ ）
A．16B．12C．10D．8
7．（3分）已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝﹣2x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y3＞y2＞y1D．y2＞y1＞y3
8．（3分）下面说法正确的是（ ）
A．一个袋子里有100个同样质地的球，小华摸了8次球，每次都只摸到黑球，这说明袋子里面只有黑球
B．某事件发生的概率为0.5，也就是说，在两次重复的试验中必有一次发生
C．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为
D．某校九年级有400名学生，一定有2名学生同一天过生日
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则sin∠E的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
11．（3分）过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）
A．9cmB．6cmC．3cmD．cm
12．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，用图中阴影部分围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（ ）
A．4B．C．D．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
14．（3分）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
15．（3分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°．用尺规按下列步骤操作：
①作△ABC的外接圆⊙O，连接OC；
②在AB的下方作∠AOE＝∠CAO，作线段AD＝OC交OE于点D（点D与点O不重合）．
结论Ⅰ：四边形ADOC是平行四边形；
结论Ⅱ：当∠B＝45°时，AD与⊙O相切．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对，Ⅱ对D．Ⅰ对，Ⅱ不对
16．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4（a≠0）的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的点，图象L与y轴交于点C，则下面结论：
①b2＞4ac；
②关于x的方程a（x﹣1）2+4＝0的解是x1＝3，x2＝﹣1；
③当x＝0时，y＝3；
④当x＝﹣2时，y＜0；
⑤△PCO周长的最小值是．
正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（每空3分，共15分）
17．（3分）将y＝2x2﹣12x﹣12变为y＝a（x﹣m）2+n的形式，则m﹣n＝ ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），点C是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB＝45°，则⊙P的圆心的坐标是 ．
19．（3分）一辆宽为2m的货车要通过跨度为8m，拱高为4m的截面为抛物线的单行隧道（从正中间通过），抛物线满足关系式．为保证安全，车顶离隧道至少要有0.5m的距离，则货车的限高应为 m．
20．（6分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，M，N分别是AB边和BC的中点，若线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MN′，连接BN′，如图2所示．
（1）当线段MN绕点M逆时针旋转90°时，线段BN′的长＝ cm；
（2）如图3，连接DN′，则DN′长度的最小值是 cm．
三、解答题（共57分）
21．（12分）自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种新冠疫苗，以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40﹣49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 ；
（2）若A，B，C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，请用列表或画树状图的方法求这三人在同一家医院接种的概率．
22．（10分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱降价1元，每天可多售出2箱．
（1）如果要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？
（2）每箱降价多少元超市每天获利最大？最大利润是多少？
23．（11分）如图，点O在射线AP上，AO＝2，以点O为圆心，AO长为半径作半圆O，交AP于点B．点C在上，点D在射线BP上，且OC＝CD，作射线DC交于点E．
（1）若DC为半圆O的切线，求∠ODC的度数；
（2）连接AE，若AE∥OC，求证：AE＝OD；
（3）若的长为，求OD的长．
24．（12分）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BA＝BC．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线BA﹣AD﹣DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设E出发ts时，△EBF的面积为ycm2．已知y与t的函数图象如图2所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．
请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）AD＝ cm；BC＝ cm；
（2）求a的值并用文字说明点N所表示的实际意义；
（3）求出当自变量t为何值时，函数y的值等于2.5．
25．（12分）如图1和图2，点A在数轴上对应的数为16，过原点O在数轴的上方作射线OB，且．点E从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向点O运动，同时点F从点O出发，沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点E到达点O时，点E，F都停止运动．以点F为圆心，OF为半径的半圆与数轴正半轴交于点C，与射线OB交于点D，连接DE，设运动时间为t秒（t＞0），点E在数轴上对应的数为x．
（1）用含t的式子表示OC的长为 ，当点E与点C重合时，x＝ ；
（2）若DE与半圆F相切，求x；
（3）如图2，当时，半圆F与DE的另一个交点为G，猜想线段OG与GE的数量关系，并说理；
（4）若半圆F与线段DE只有一个公共点，直接写出x的取值范围．
2022-2023学年河北省邢台三中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共48分）
1．（3分）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ）
A．开口方向不变B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．
【解答】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，故不符合题意．
B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．
C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则y随x的变化情况不变，故不符合题意．
D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．
2．（3分）把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣x2+50xB．y＝x2﹣50xC．y＝﹣x2+25xD．y＝﹣2x2+25
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【答案】C
【分析】由长方形的面积＝长×宽可求解．
【解答】解：设这个长方形的一边长为xcm，则另一边长为（25﹣x）cm，
所以面积y＝x（25﹣x）＝﹣x2+25x．
故选：C．
【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
3．（3分）若抛物线y＝2+（m﹣5）的顶点在x轴下方，则m的值为（ ）
A．m＝5B．m＝﹣1C．m＝5或m＝﹣1D．m＝﹣5
【考点】二次函数的性质；二次函数的定义．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义可知m2﹣4m﹣3＝2，解方程得m＝5或﹣1，再由顶点在x轴下方，选择m的取值．
【解答】解：∵y＝2+（m﹣5）的图象是抛物线，
∴m2﹣4m﹣3＝2，解得：m＝5或﹣1，
又∵抛物线的顶点坐标是（0，m﹣5），顶点在x轴下方，
∴m﹣5＜0，即m＜5，
∴m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，以及用顶点式一般形式表示的二次函数，顶点坐标的表示．
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ）
A．1.5，2.5B．2，5C．1，2.5D．2，2.5
【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理；三角形的外接圆与外心．
【答案】C
【分析】直角三角形的内切圆半径和其三边有特殊关系：三边中ab为直角边，c为斜边，内切圆半径为r，则r＝；外接圆的半径就是斜边的一半．
【解答】解：∵AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝4，
∴外接圆半径＝＝2.5，
∵四边形ODCE是正方形，且⊙O是△ABC的内切圆，
∴内切圆半径＝＝1．
故选：C．
【点评】解决此题的关键是熟练掌握直角三角形的三边与外接圆半径，内切圆半径之间的关系．
5．（3分）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解．
【解答】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以小球从E出口落出的概率是：；
故选：C．
【点评】本题考查了概率的求法，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（3分）如图，△ABD是⊙O的内接正三角形，四边形ACEF是⊙O的内接正四边形，若线段BC恰是⊙O的一个内接正n边形的一条边，则n＝（ ）
A．16B．12C．10D．8
【考点】正多边形和圆；等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心．
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到∠AOC＝90°，∠AOB＝120°，则∠BOC＝30°，然后计算即可得到n的值．
【解答】解：连接OA、OB、OC，如图，
∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOC＝＝90°，∠AOB＝＝120°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°，
∴n＝＝12，
即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
7．（3分）已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝﹣2x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y3＞y2＞y1D．y2＞y1＞y3
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】B
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后比较三个点离y轴的远近得到y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝﹣2x2，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3），
∴点A离y轴最远，点B离y轴最近，
而抛物线开口向下，
∴y2＞y3＞y1；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
8．（3分）下面说法正确的是（ ）
A．一个袋子里有100个同样质地的球，小华摸了8次球，每次都只摸到黑球，这说明袋子里面只有黑球
B．某事件发生的概率为0.5，也就是说，在两次重复的试验中必有一次发生
C．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为
D．某校九年级有400名学生，一定有2名学生同一天过生日
【考点】概率的意义．
【答案】D
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案．
【解答】解：A、一个袋子里有100个同样质地的球，小华摸了8次球，每次都只摸到黑球，这说明袋子里面黑球多，故A错误；
B、某事件发生的概率为0.5，也就是说，在两次重复的试验中可能发生两次，可能发生一次，可能不发生，故B错误；
C、随机掷一枚均匀的硬币两次，设正面为A，反面为B，则可能出现的情况为：AA、AB、BA、BB，即至少有一次正面朝上的概率为，故C错误；
D、某校九年级有400名学生，一定有2名学生同一天过生日，故D正确；
故选：D．
【点评】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则sin∠E的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】切线的性质；特殊角的三角函数值；圆周角定理．
【答案】A
【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可得OC⊥CE，由圆周角定理，可得∠BOC＝60°，继而求得∠E的度数，则可求得sin∠E的值．
【解答】解：连接OC，
∵CE是⊙O切线，
∴OC⊥CE，
即∠OCE＝90°，
∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝2∠CDB＝60°，
∴∠E＝90°﹣∠COB＝30°，
∴sin∠E＝．
故选：A．
【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，故选项正确；
C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数、一次函数的图象和性质，熟知函数与系数的关系，一次函数、二次函数的性质是解题的关键．
11．（3分）过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）
A．9cmB．6cmC．3cmD．cm
【考点】垂径定理；勾股定理．
【答案】C
【分析】先根据垂径定理求出OA、AM的长，再利用勾股定理求OM．
【解答】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，
如图所示．直径ED⊥AB于点M，
则ED＝10cm，AB＝8cm，
由垂径定理知：点M为AB中点，
∴AM＝4cm，
∵半径OA＝5cm，
∴OM2＝OA2﹣AM2＝25﹣16＝9，
∴OM＝3cm．
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂径定理，连接半径是解答此题的关键．
12．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，用图中阴影部分围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（ ）
A．4B．C．D．
【考点】正多边形和圆；圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】C
【分析】先计算出扇形的弧长，即圆锥的底面周长，从而得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理即可求出圆锥的高．
【解答】解：正六边形的每一个内角为：180°﹣（360°÷6）＝120°，
设该圆锥的底面半径为r，
则2πr＝120°×π×6÷180°，
∴r＝2．
∴圆锥的高为：＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查正多边形与圆、圆的相关计算以及勾股定理，解题关键是熟练掌握圆锥侧面与圆锥底面圆的关系．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
∵CM⊥AB，
∴M为AD的中点，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CM，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴CM＝，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，即9＝AM2+（）2，
解得：AM＝，
∴AD＝2AM＝．
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14．（3分）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【答案】D
【分析】根据已知得出y与x之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当x＝﹣＝2时，y取到最小值为：＝0，即可得出图象．
【解答】解：∵A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，
∴AO＝2，OP＝x，则AP＝2﹣x，
∴tan60°＝＝，
解得：AB＝（2﹣x）＝﹣x+2，
∴S△ABP＝×PA×AB＝（2﹣x）••（﹣x+2）＝x2﹣2x+2，
即y＝x2﹣2x+2，
故此函数为二次函数，
∵a＝＞0，
∴当x＝﹣＝2时，y取到最小值为：＝0，
根据图象得出只有D符合要求．
故选：D．
【点评】此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出y与x之间的函数解析式是解题关键．
15．（3分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°．用尺规按下列步骤操作：
①作△ABC的外接圆⊙O，连接OC；
②在AB的下方作∠AOE＝∠CAO，作线段AD＝OC交OE于点D（点D与点O不重合）．
结论Ⅰ：四边形ADOC是平行四边形；
结论Ⅱ：当∠B＝45°时，AD与⊙O相切．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对，Ⅱ对D．Ⅰ对，Ⅱ不对
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质；三角形的外接圆与外心；直线与圆的位置关系．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】A
【分析】先证明∠CAO＝∠ACO＝∠ADO＝∠AOD，则根据三角形内角和定理可证明∠AOC＝∠OAD，所以OC∥AD，加上OC＝AD，于是可判断四边形ADOC是平行四边形，从而可（Ⅰ）进行判断；利用∠ACB＝90°，∠B＝45°，可判断△ABC为等腰直角三角形，根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，则OC⊥AB，然后利用AD∥OC得到AD⊥AB，于是根据切线的判定定理得到AD与⊙O相切，从而可对（Ⅱ）进行判断．
【解答】解：∵OA＝OC，AD＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，AD＝AO，
∴∠ADO＝∠AOD，
∵∠AOE＝∠CAO，
∴∠CAO＝∠ACO＝∠ADO＝∠AOD，
∵∠AOC＝180°﹣∠ACO﹣∠CAO，∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO，
∴∠AOC＝∠OAD，
∴OC∥AD，
而OC＝AD，
∴四边形ADOC是平行四边形；所以（Ⅰ）正确；
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣45°＝45°，AB为⊙O的直径，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∵AD∥OC，
∴AD⊥AB，
∴AD与⊙O相切．所以（Ⅱ）正确．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．也考查了平行四边形的判定与切线的判定．
16．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4（a≠0）的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的点，图象L与y轴交于点C，则下面结论：
①b2＞4ac；
②关于x的方程a（x﹣1）2+4＝0的解是x1＝3，x2＝﹣1；
③当x＝0时，y＝3；
④当x＝﹣2时，y＜0；
⑤△PCO周长的最小值是．
正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】抛物线与x轴的交点；轴对称﹣最短路线问题；解一元二次方程﹣直接开平方法；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】根据抛物线与x轴的交点可以判断①；利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），于是根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；再把（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+4中求出a得到抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，则可计算出x＝0和x＝﹣2所对应的函数值，从而可对③④进行判断；作原点关于直线x＝1的对称点D，如图，则D（2，0），连接CD交直线x＝1于P点，利用两点之间线段最短得到此时PC+PO的值最小，△PCO周长有最小值，然后利用勾股定理计算出CD，从而可对⑤进行判断．
【解答】解：根据函数图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，
故①正确；
∵抛物线y＝a（x﹣1）2+4的对称轴为直线x＝1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴关于x的方程a（x﹣1）2+4＝0的解是x1＝3，x2＝﹣1，
故②正确；
把（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+4得0＝a（3﹣1）2+4，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
当x＝0时，y＝﹣（0﹣1）2+4＝3，
故③正确；
当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2﹣1）2+4＝﹣5＜0，
故④正确；
作原点关于直线x＝1的对称点D，如图，则D（2，0），
连接CD交直线x＝1于P点，
∵PO＝PD，
∴PC+PO＝PC+PD＝CD，
∴此时PC+PO的值最小，
∴此时△PCO周长有最小值，
∵CD＝＝＝，
∴△PCO周长的最小值为+3，
故⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题．
二、填空题（每空3分，共15分）
17．（3分）将y＝2x2﹣12x﹣12变为y＝a（x﹣m）2+n的形式，则m﹣n＝ 33 ．
【考点】二次函数的三种形式．
【专题】函数思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；然后求得m、n的值；最后将其代入所求的代数式求值．
【解答】解：由y＝2x2﹣12x﹣12，得
y＝2（x﹣3）2﹣30，
∴m＝3，n＝﹣30；
∴m﹣n＝33．
故答案是：33．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），点C是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB＝45°，则⊙P的圆心的坐标是 （2，0） ．
【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】作辅助线，构建三角形全等，先根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠APB＝90°，再证明△BPE≌△PAF，根据PE＝AF＝3，列式可得结论．
【解答】解：连接PB、PA，过B作BE⊥x轴于E，过A作AF⊥x轴于F，
∵A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），
∴OE＝1，AF＝3，
∵∠ACB＝45°，
∴∠APB＝90°，
∴∠BPE+∠APF＝90°，
∵∠BPE+∠EBP＝90°，
∴∠APF＝∠EBP，
∵∠BEP＝∠AFP＝90°，PA＝PB，
∴△BPE≌△PAF（AAS），
∴PE＝AF＝3，
设P（a，0），
∴a+1＝3，
∴a＝2，
∴P（2，0），
故答案为：（2，0）．
【点评】本题考查了圆周角定理和坐标与图形性质，还运用了三角形全等的性质和判定，作辅助线构建三角形全等是关键．
19．（3分）一辆宽为2m的货车要通过跨度为8m，拱高为4m的截面为抛物线的单行隧道（从正中间通过），抛物线满足关系式．为保证安全，车顶离隧道至少要有0.5m的距离，则货车的限高应为 3.25 m．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】3.25．
【分析】根据车的宽度为2，求出x＝1时的函数值，再根据车顶离隧道至少要有0.5m的距离即可求出答案．
【解答】解：∵车的宽度为2米，车从正中通过，
∴x＝1时，y＝﹣×12+4＝，
∴货车安全行驶装货的最大高度为﹣0.5＝3.25（米），
即货车的限高为：3.25；
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是把实际问题同二次函数联系起来．
20．（6分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，M，N分别是AB边和BC的中点，若线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MN′，连接BN′，如图2所示．
（1）当线段MN绕点M逆时针旋转90°时，线段BN′的长＝ cm；
（2）如图3，连接DN′，则DN′长度的最小值是 （﹣5） cm．
【考点】旋转的性质；矩形的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）．
（2）DN′的最小值为（﹣5）cm．
【分析】（1）如图1，过点N′作N′E⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E＝90°，结合旋转性质可证得△EN′M≌△BMN（AAS），即可运用勾股定理求得答案；
（2）根据题意可得点N′始终在⊙M上，当点N′与点P重合时，DN′＝DP＝DM﹣MP为最小值．利用勾股定理可求得DM，进而可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，过点N′作N′E⊥AB交BA的延长线于点E，
则∠E＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵M，N分别是AB边和BC的中点，
∴BM＝AB＝3cm，BN＝BC＝4cm，
在Rt△BMN中，MN＝＝＝5，
∵线段MN绕点M逆时针旋转90°得到线段MN′，
∴MN′＝MN，∠NMN′＝90°，
∴∠BMN+∠EMN′＝90°，
∵∠BMN+∠BNM＝90°，
∴∠EMN′＝∠BNM，
在△EN′M和△BMN中，
，
∴△EN′M≌△BMN（AAS），
∴ME＝BN＝4，EN′＝BM＝3，
∴BE＝BM+ME＝3+4＝7，
在Rt△BN′E中，BN′＝＝＝（cm），
故答案为：．
（2）如图2，以M为圆心，5为半径作⊙M，连接DM交⊙M于P，
∵线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MN′，
∴点N′始终在⊙M上，
当点N′与点P重合时，DN′＝DP＝DM﹣MP为最小值．
在Rt△ADM中，DM＝＝＝（cm），
∵MP＝5cm，
∴DP＝（﹣5）cm，
∴DN′的最小值为（﹣5）cm，
故答案为：（﹣5）．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，旋转变换的性质，圆中的最值问题等，解题关键是添加辅助圆，利用圆中的最值求解．
三、解答题（共57分）
21．（12分）自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种新冠疫苗，以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空：a＝ 1500 ，b＝ 0.35 ，c＝ 900 ；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40﹣49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 108° ；
（2）若A，B，C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，请用列表或画树状图的方法求这三人在同一家医院接种的概率．
【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图．
【专题】统计的应用；概率及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）1500，0.35，900；
（2）108°；
（3）．
【分析】（1）①分别求出在甲医院和乙医院的接种人数，即可解决问题；
②由360°乘以40﹣49周岁年龄段人数所占比例即可；
（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中A、B、C三人在同一家医院接种的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）①在甲医院接种人数为：900÷0.15＝6000（人），
∴a＝6000×0.25＝1500，b＝2100÷6000＝0.35，
在甲医院接种人数为：400÷0.1＝4000（人），
∴c＝4000×0.225＝900，
故答案为：1500，0.35，900；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40﹣49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为：360°×＝108°，
故答案为：108°；
（2）画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中A、B、C三人在同一家医院接种的结果有2种，
∴这三人在同一家医院接种的概率为．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率的知识以及频数分布表和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱降价1元，每天可多售出2箱．
（1）如果要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？
（2）每箱降价多少元超市每天获利最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）此题利用的数量关系：销售每箱饮料的利润×销售总箱数＝销售总利润，由此列方程解答即可；
（2）设每天获利W元，用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题．
【解答】解：（1）要使每天销售饮料获利14000元，每箱应降价x元，依据题意列方程得，
（120﹣x）（100+2x）＝14000，
整理得x2﹣70x+1000＝0，
解得x1＝20（舍），x2＝50；
答：每箱应降价50元，可使每天销售饮料获利14000元．
（2）设每天获利W元，
则W＝（120﹣x）（100+2x），
＝﹣2x2+140x+12000，
＝﹣2（x﹣35）2+14450，
∴每箱降价35元时获利最大，最大利润是14450元．
【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
23．（11分）如图，点O在射线AP上，AO＝2，以点O为圆心，AO长为半径作半圆O，交AP于点B．点C在上，点D在射线BP上，且OC＝CD，作射线DC交于点E．
（1）若DC为半圆O的切线，求∠ODC的度数；
（2）连接AE，若AE∥OC，求证：AE＝OD；
（3）若的长为，求OD的长．
【考点】切线的性质；弧长的计算；圆周角定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）45°；（2）证明见解析；（3）2．
【分析】（1）利用圆的切线的性质定理和等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用圆的弧长公式求得圆心角∠EOC的度数，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可．
【解答】解：（1）∵若DC为半圆O的切线，
∴OC⊥DC，
∴∠OCD＝90°，
∵OC＝CD，
∴∠ODC＝∠COD＝45°；
（2）连接OE，如图，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA．
∵OC＝CD，
∴∠COD＝∠CDO．
∵AE∥OC，
∴∠COD＝∠A，
∴∠A＝∠OEA＝∠COD＝∠CDO．
在△OAE和△COD中，
，
∴△OAE≌△COD（AAS），
∴AE＝OD；
（3）设∠EOC＝n°，
∵若的长为，
∴，
∴n＝60．
∴∠EOC＝60°．
∵OE＝OC，
∴△OEC为等边三角形，
∴∠OEC＝∠OCE＝60°．
∵OC＝CD，
∴∠COD＝∠CDO．
∵∠OCE＝∠COD+∠CDO，
∴∠COD＝∠CDO＝30°．
∴∠EOD＝∠EOC+∠COD＝90°，
∴△EOD是以∠EOD＝90°的直角三角形，
∴OD＝．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，圆的弧长公式，等边三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
24．（12分）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BA＝BC．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线BA﹣AD﹣DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设E出发ts时，△EBF的面积为ycm2．已知y与t的函数图象如图2所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．
请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）AD＝ 2 cm；BC＝ 5 cm；
（2）求a的值并用文字说明点N所表示的实际意义；
（3）求出当自变量t为何值时，函数y的值等于2.5．
【考点】二次函数综合题．
【专题】函数的综合应用；模型思想．
【答案】（1）2，5；
（2）a的值为10，点N所表示的实际意义：当点E运动7s时到达点D，此时点F沿BC已运动到点C并停止运动，这时△EBF的面积为10cm2；
（3）t＝2.5或t＝10．
【分析】（1）此题的关键是要理解分段函数的意义，OM段是曲线，说明E、F分别在BA、BC上运动，此时y、t的关系式是二次函数；MN段是线段，且平行于t轴，那么此时F运动到终点C，且E在线段AD上运动，此时y为定值；NP段是线段，此时y、t的函数关系式是一次函数，此时E在线段CD上运动，此时y值随t的增大而减小；根据上面的分析，可知在MN之间时，E在线段AD上运动，在这个区间E点运动了2秒，所以AD＝2cm；根据OM段的函数图象知：当t＝5时，E、F分别运动到A、C两点，那么AB＝BC＝5；
（2）过A作AH⊥BC，H为垂足，由已知BH＝3，BA＝BC＝5，得AH＝4，根据三角形的面积进而求出a的值；
（3）利用待定系数法分别求两个解析式．令y＝2.5求出t的值．
【解答】解：（1）由图可知：OM段为抛物线，此时点E、F分别在BA、BC上运动；
当E、A重合，F、C重合时，t＝5s，
∴AB＝BC＝5cm；
故答案为：2，5；
（2）过A作AH⊥BC，H为垂足，由已知BH＝3，BA＝BC＝5，
∴AH＝4，
∴当点E、F分别运动到A、C时△EBF的面积为：，
即a的值为10，
点N所表示的实际意义：当点E运动7s时到达点D，此时点F沿BC已运动到点C并停止运动，这时△EBF的面积为10cm2；
（3）当点E在BA上运动时，设抛物线的解析式为y＝at2，把M点的坐标（5，10）代入得，
∴，0＜t≤5；
当点E在DC上运动时，设直线的解析式为y＝kt+b，
把P（11，0），N（7，10）代入，得11k+b＝0，7k+b＝10，解得，，
所以，（7≤t＜11）
把y＝2.5分别代入和得，和，解得：t＝2.5或t＝10．
【点评】此题主要考查了分段函数的应用、梯形的性质以及函数解析式的求法，能够正确的理解分段函数的意义是解答此题的关键．
25．（12分）如图1和图2，点A在数轴上对应的数为16，过原点O在数轴的上方作射线OB，且．点E从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向点O运动，同时点F从点O出发，沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点E到达点O时，点E，F都停止运动．以点F为圆心，OF为半径的半圆与数轴正半轴交于点C，与射线OB交于点D，连接DE，设运动时间为t秒（t＞0），点E在数轴上对应的数为x．
（1）用含t的式子表示OC的长为 t ，当点E与点C重合时，x＝ 6 ；
（2）若DE与半圆F相切，求x；
（3）如图2，当时，半圆F与DE的另一个交点为G，猜想线段OG与GE的数量关系，并说理；
（4）若半圆F与线段DE只有一个公共点，直接写出x的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】（1）t，6；
（2）10；
（3）OG＝GE，理由见解答；
（4）0＜x＜6或10≤x＜16．
【分析】（1）连接CF，过点F作OA的垂线，垂足为G，tan∠AOB＝，设OG＝3m，FG＝4m，可得t2＝（3m）2+（4m）2，解得m的值即可求得OC的长；当点E与点C合时：t＝16﹣2t，解得t的值，代入求得OE即可；
（2）当半圆F与DE相切时，则OD⊥DE，又因为tan∠AOB＝，设DE＝4k，OD＝3k，则OE＝5k，可得＝，＝，求出t的值，解出OE的值即可；
（3）连接CD，因为OD为半圆F的直径，∠OCD＝90°，当t＝时，由勾股定理可以求得CD的值，CE＝OA﹣AE﹣OC，可得到CD＝CE，即△CDE为等腰直角三角形，由此可知∠OED的度数；连接OG，FG，FC
可知∠EOG＝∠GEO＝45°，即可求得OG＝GE；
（4）若半圆F与线段DE相切时，可以求得x的值；当点E与点C重合时，可以求出x的值，解出相应取值范围即可．
【解答】解：（1）连接CF，过点F作OA的垂线，垂足为G，
∵F为半圆圆心，
∴OF＝FC＝t，
∴OG＝CG＝OC，
∵tan∠AOB＝，
设OG＝3m，FG＝4m，
∴t2＝（3m）2+（4m）2，
解得：m＝，
∴OC＝2OG＝2×3m＝6m＝t，
当点E与点C重合时：t＝16﹣2t，
解得：t＝5，
当t＝5时，OC＝OE＝6，
故答案为：t，6；
（2）当半圆F与DE相切时，则OD⊥DE，
在Rt△ODE中，tan∠DOE＝，
设DE＝4k，OD＝3k，
则OE＝5k，
∵cs∠DOE＝，
∴，
∴＝，
∴t＝3，
∴t＝3s时，半圆F与DE相切，
此时，x＝16﹣3×2＝10；
（3）OG＝GE，理由如下：
如图2，连接CD，OG，
∵OD为半圆F的直径，
∴∠OCD＝90°，
由（2）可知，cs∠COD＝，
在Rt△OCD中，
，
∴OC＝OD＝×2t＝t，
∴当t＝时，OC＝4，OD＝2OF＝2t＝，AE＝2t＝，
由勾股定理，得CD＝＝＝，
∵CE＝OA﹣AE﹣OC＝16﹣﹣4＝，
∴CD＝CE，即△CDE为等腰直角三角形，
∴∠OED＝45°，
∵OD为直径，
∴∠OGE＝90°，
∴∠COG＝90°﹣∠OED＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EOG＝∠GEO＝45°，
∴OG＝GE；
（4）若半圆F与线段DE相切时，OD⊥DE，△OCD∽△ODE，
∴＝，
解得t＝3，
此时x等于10，
∴当10≤x＜16时，半圆F与线段DE只有一个交点，
当点E与点C重合时，由（1）得：x＝6，
∴当0＜x＜6时，半圆F与线段DE只有一个交点，
综上所述，0＜x＜6或 10≤x＜16．
【点评】本题考查圆的综合应用，掌握圆与直线的位置关系，锐角三角函数，相似三角形等知识点是解题的关键．
甲医院
乙医院
年龄段
频数
频率
频数
频率
18﹣29周岁
900
0.15
400
0.1
30﹣39周岁
a
0.25
1000
0.25
40﹣49周岁
2100
b
c
0.225
甲医院
乙医院
年龄段
频数
频率
频数
频率
18﹣29周岁
900
0.15
400
0.1
30﹣39周岁
a
0.25
1000
0.25
40﹣49周岁
2100
b
c
0.225