2022-2023学年河北省秦皇岛市七中文化路校区九年级（上）期末数学试卷解析版

这是一份2022-2023学年河北省秦皇岛市七中文化路校区九年级（上）期末数学试卷解析版，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图，由相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）抛物线y＝2（x+3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
3．（3分）小明用计步器记录自己一个月（30天）每天走的步数，并绘制成如下统计表：
在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．1.3，1.25B．1.3，1.3C．1.4，1.3D．1.3，1.1
4．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝，则边AC的长是（ ）
A．3B．8C．10D．2
5．（3分）对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（ ）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．ac＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．b﹣2a＝0
D．x＝3是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根
7．（3分）用半径为2的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（ ）
A．2B．1C．4πD．2π
8．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论正确的是（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O半径为（ ）
A．3B．8C．2D．10
10．（3分）二次函数y＝ax2﹣a与反比例函数y＝（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
11．（3分）关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣B．m≤
C．m≥﹣且m≠﹣1D．m≤﹣且m≠﹣1
12．（3分）如表是某校合唱团成员的年龄分布，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数B．众数、方差
C．平均数、方差D．众数、中位数
13．（3分）如图，在△ABC中，点I为△ABC的内心，点D在BC上，且ID⊥BC，若∠ABC＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为（ ）
A．174°B．176°C．178°D．180°
14．（3分）已知坐标平面上有两个二次函数y＝a（x+1）（x﹣7），y＝b（x+1）（x﹣15）的图象，其中a、b为常数．将二次函数y＝b（x+1）（x﹣15）的图象依下列哪一种方式平移后，可与二次函数y＝a（x+1）（x﹣7）的图象的对称轴重叠（ ）
A．向左平移8单位B．向右平移8单位
C．向左平移4单位D．向右平移4单位
15．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝16，∠ACB＝90°，以AB中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16π﹣32B．16π﹣64C．32π﹣64D．不确定
16．（3分）已知关于二次函数y＝ax2+bx，当x＝9时，y＜0；当x＝10时，y＞0，点P（x0，y0）是其图象上一点，则x0取下列哪个值时，可使对应的y0相对最小．（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、填空题（每题3分，共12分）
17．（3分）在阳光下的某一时刻，测得教学楼在地面上的影子长为24m，此时2m高的标杆竖立在地面上的影子长为3m，则教学楼的高度为 m．
18．（3分）如图，AB、AC与⊙O相切于点 B、C，∠A＝50°，P为⊙O上异于 B、C的一个动点，则∠BPC的度数为 °．
19．（3分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度为i＝1：3，且O，A，B在同一条直线上，则此人所在位置点P的铅直高度为 米．
20．（3分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），与y轴交于点B（0，2），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，D是线段AB上的一个动点，过D作x轴的垂线交二次函数的图象于点E．则线段DE的最大值为 ．
三、解答题（共60分）
21．（10分）按要求完成下列各题：
（1）计算：3tan30°﹣2sin60°﹣cs245°；
（2）解方程：（x+1）（x﹣1）＝2x+1．
22．（8分）某市体育中考女生现场考试内容有三项：800m跑为必测项目；另在立定跳远、50m跑（二选一）和实心球、仰卧起坐（二选一）中选择两项．
（1）每位考生有 种选择方案；
（2）用画树形图或列表的方法求小丽与小敏选择同种方案的概率．
23．（10分）如图，在直角坐标系中，Rt△ABC位于第一象限，两条直角边AB、BC分别平行于x轴、y轴，顶点B的坐标为（1，2），AB＝1，BC＝2．
（1）若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，求该反比例函数的解析式；
（2）通过计算判断点A是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△ABC有公共点，m的最小值为 ，最大值为 ．
24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，点M在弧BC上运动，作MN∥BC交AB的延长线于点N，连结AM、BM．
（1）求证：∠AMB＝∠N；
（2）当点M运动到什么位置时，MN是⊙O的切线？请说明理由．
25．（10分）某超市计划上两个新项目：
项目一：销售A种商品，所获得利润y（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y＝ax2+bx．当投资2万元时，可获得利润1.8万元；当投资4万元时，可获得利润2.8万元．
项目二：销售B种商品，所获得利润y（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：y＝kx．
（1）请求出项目一中的二次函数表达式；
（2）如果超市同时对 A、B两种商品共投资10万元，且经计算发现当投资A商品4万元、B商品6万元时可使获得的总利润最大，求k的值．
26．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，点A1、B1分别为边AC、BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，易知AA1和BB1的位置关系为AA1⊥BB1；线段AA1和BB1的数量关系为 ；
（2）将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中AA1和BB1的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）当△A1B1C绕点C逆时针旋转过程中．
①△ABA1面积的最大值为 ；
②当A1、B1、A三点共线时，线段AA1的长为 ．
2022-2023学年河北省秦皇岛七中文化路校区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共48分）
1．（3分）如图，由相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】C
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：如图是五个相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是关键．
2．（3分）抛物线y＝2（x+3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
【考点】二次函数的性质．
【答案】C
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由y＝2（x+3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣3，1），
故选：C．
【点评】考查二次函数的性质及将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
3．（3分）小明用计步器记录自己一个月（30天）每天走的步数，并绘制成如下统计表：
在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．1.3，1.25B．1.3，1.3C．1.4，1.3D．1.3，1.1
【考点】众数；中位数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】A
【分析】在这组数据中出现次数最多的是1.3，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数．
【解答】解：在这组数据中出现次数最多的是1.3，即众数是1.3．
要求一组数据的中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数的平均数，所以中位数是＝1.25．
故选：A．
【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
4．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝，则边AC的长是（ ）
A．3B．8C．10D．2
【考点】解直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据正弦的定义求出AB，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：sinA＝，
∴，
解得，AB＝8，
由勾股定理得，AC＝＝＝2，
故选：D．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．
5．（3分）对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（ ）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【考点】反比例函数的性质．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答．
【解答】解：A、把点（﹣2，﹣1）代入反比例函数y＝得﹣1＝﹣1，故A选项正确；
B、∵k＝2＞0，∴图象在第一、三象限，故B选项正确；
C、当x＞0时，y随x的增大而减小，故C选项错误；
D、当x＜0时，y随x的增大而减小，故D选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）的性质：
①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．ac＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．b﹣2a＝0
D．x＝3是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．
【专题】压轴题．
【答案】D
【分析】由函数图象可得抛物线开口向上，得到a大于0，又抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，得到c小于0，进而得到a与c异号，根据两数相乘积为负得到ac小于0，选项A错误；
由抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，得到对称轴右边y随x的增大而增大，选项B错误；
由抛物线的对称轴为x＝1，利用对称轴公式得到2a+b＝0，选项C错误；
由抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）及对称轴为x＝1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（3，0），进而得到方程ax2+bx+c＝0的有一个根为3，选项D正确．
【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可得：抛物线开口向上，即a＞0，
抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，即c＜0，
∴ac＜0，选项A错误；
由函数图象可得：当x＜1时，y随x的增大而减小；
当x＞1时，y随x的增大而增大，选项B错误；
∵对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，即2a+b＝0，选项C错误；
由图象可得抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），又对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
则x＝3是方程ax2+bx+c＝0的一个根，选项D正确．
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，难度适中．二次函数y＝ax2+bx+c＝0（a≠0），a的符合由抛物线的开口方向决定，c的符合由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线解析式中y＝0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．
7．（3分）用半径为2的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（ ）
A．2B．1C．4πD．2π
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】B
【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，求出半径．
【解答】解：半圆的周长＝×2π×2＝2π，
∴圆锥的底面周长＝2π，
∴圆锥的底面半径＝＝1，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
8．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论正确的是（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】A
【分析】先利用比例性质得到＝，先根据平行线分线段成比例定理可对B选项进行判断；再证明△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质对A、C、D选项进行判断．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，＝＝，所以B选项的结论错误；
∴＝＝，所以A选项的结论正确；
＝＝，所以C选项的结论错误；
＝（）2＝，所以D选项的结论错误．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质解决问题．
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O半径为（ ）
A．3B．8C．2D．10
【考点】三角形的外接圆与外心．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，由圆周角定理可得∠D与∠ABD的度数，再由勾股定理即可解答．
【解答】解：连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，
∵∠C＝45°，
∴∠D＝45°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DAB＝∠D＝45°，
∵AB＝6，
∴BD＝6，
∴AD＝＝＝6，
∴⊙O的半径AO＝＝3．
故选：A．
【点评】此题比较简单，考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形．
10．（3分）二次函数y＝ax2﹣a与反比例函数y＝（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据二次函数y＝ax2﹣a的图象的开口方向和y轴的交点（0，﹣a），判断a的正负号，再看反比例函数y＝（a≠0）的图象是否一致即可．
【解答】解：A、由抛物线开口方向可知a＞0，这与抛物线与y轴的交点（0，﹣a）相矛盾，故本选项不符合题意；
B、由抛物线开口方向可知a＜0，这与抛物线与y轴的交点（0，﹣a）相矛盾，故本选项不符合题意；
C、由抛物线开口方向可知a＜0，反比例函数y＝图象在第二、四象限，故本选项符合题意；
D、由抛物线开口方向可知a＜0，这与抛物线与y轴的交点（0，﹣a）相矛盾，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数和反比例函数的图象，掌握字母系数对二次函数和反比例函数图象的作用是求解本题的关键．
11．（3分）关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣B．m≤
C．m≥﹣且m≠﹣1D．m≤﹣且m≠﹣1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的意义得到m+1≠0，即m≠﹣1，且Δ≥0，即（2m+1）2﹣4（m+1）（m﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0有实数根，
∴m+1≠0，即m≠﹣1，且Δ≥0，即（2m+1）2﹣4（m+1）（m﹣2）≥0，4m+1+4m+8≥0，
解得m≥﹣，
∴当m≥﹣且m≠﹣1时，方程有两个实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
12．（3分）如表是某校合唱团成员的年龄分布，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数B．众数、方差
C．平均数、方差D．众数、中位数
【考点】方差；频数（率）分布表；加权平均数；中位数；众数．
【专题】统计与概率．
【答案】D
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．
【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x＝10，
则总人数为：5+15+10＝30（人），
故该组数据的众数为14岁，中位数为：＝14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：D．
【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，点I为△ABC的内心，点D在BC上，且ID⊥BC，若∠ABC＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为（ ）
A．174°B．176°C．178°D．180°
【考点】三角形的内切圆与内心．
【专题】与圆有关的位置关系．
【答案】A
【分析】先利用三角形内角和得到∠BAC＝80°，再根据三角形内心性质得到∠ABI＝∠DBI＝22°，∠BAI＝40°，则可计算出∠AIB＝118°，∠BID＝68°，然后根据周角的定义计算∠AID的度数．
【解答】解：∵∠ABC＝44°，∠C＝56°，
∴∠BAC＝180°﹣44°﹣56°＝80°，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠DBI＝∠ABC＝22°，∠BAI＝∠BAC＝40°，
∴∠AIB＝180°﹣22°﹣40°＝118°，
∵ID⊥BC，
∴∠BID＝90°﹣22°＝68°，
∴∠AID＝360°﹣118°﹣68°＝174°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
14．（3分）已知坐标平面上有两个二次函数y＝a（x+1）（x﹣7），y＝b（x+1）（x﹣15）的图象，其中a、b为常数．将二次函数y＝b（x+1）（x﹣15）的图象依下列哪一种方式平移后，可与二次函数y＝a（x+1）（x﹣7）的图象的对称轴重叠（ ）
A．向左平移8单位B．向右平移8单位
C．向左平移4单位D．向右平移4单位
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】C
【分析】将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者作差后即可得出平移方向及距离．
【解答】解：∵y＝a（x+1）（x﹣7）＝ax2﹣6ax﹣7a，y＝b（x+1）（x﹣15）＝bx2﹣14bx﹣15b，
∴二次函数y＝a（x+1）（x﹣7）的对称轴为直线x＝3，二次函数y＝b（x+1）（x﹣15）的对称轴为直线x＝7，
∵3﹣7＝﹣4，
∴将二次函数y＝b（x+1）（x﹣15）的图形向左平移4个单位，两图形的对称轴重叠．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝16，∠ACB＝90°，以AB中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16π﹣32B．16π﹣64C．32π﹣64D．不确定
【考点】扇形面积的计算；等腰直角三角形．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】根据题意作出合适的辅助线，可知阴影部分的面积等于扇形DEF的面积与四边形DNCM的面积之差，再根据题目中的数据即可解答本题．
【解答】解：连接CD，设DF交BC于M，DE交AC于N，如右图所示，
在△ABC中，CA＝CB＝16，∠ACB＝90°
∴AB＝16，
∵以AB中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，
∴CD＝8，∠B＝∠DCE＝45°，CD＝BD，
∵∠ADC＝∠BDC＝∠EDF＝90°，
∴∠EDC+∠CDF＝90°，∠CDF+∠BDF＝90°，
∴∠BDM＝∠CDN，
在△BDM和△CDN中，
，
∴△BDM≌△CDN（ASA），
∴△CDN与△CDM的面积之和等于△CDM与△BDM的面积之和，
∴四边形DNCM的面积等于△CDB的面积，
∴阴影部分的面积是：﹣＝32π﹣64，
故选：C．
【点评】本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．（3分）已知关于二次函数y＝ax2+bx，当x＝9时，y＜0；当x＝10时，y＞0，点P（x0，y0）是其图象上一点，则x0取下列哪个值时，可使对应的y0相对最小．（ ）
A．4B．5C．6D．7
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】由于当x＝9时，y＜0；当x＝10时，y＞0，则利用二次函数的性质得到抛物线与x轴的另一个交点在（9，0）和（10，0）之间，抛物线的开口向上，然后找出离对称轴最近的点的横坐标即可．
【解答】解：∵当x＝9时，y＜0；当x＝10时，y＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx经过原点，与x轴的另一个交点在（9，0）和（10，0）之间，抛物线的开口向上，
∴抛物线的对称轴x＝﹣满足4.5＜﹣＜5，
∴当P点的横坐标为5时，点P到抛物线的对称轴的距离最小，此时对应的函数值最小，
即x0取5时，对应的y0相对最小．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
二、填空题（每题3分，共12分）
17．（3分）在阳光下的某一时刻，测得教学楼在地面上的影子长为24m，此时2m高的标杆竖立在地面上的影子长为3m，则教学楼的高度为 16 m．
【考点】相似三角形的应用；平行投影．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：设教学楼的高度为xm，
根据题意得，＝，
∴x＝16，
答教学楼的高度为16m，
故答案为：16．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
18．（3分）如图，AB、AC与⊙O相切于点 B、C，∠A＝50°，P为⊙O上异于 B、C的一个动点，则∠BPC的度数为 65或115 °．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】65或115．
【分析】此题分为两种情况，如图p点的位置有两个，所以∠BPC可能是锐角，也有可能是钝角，分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点
（1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时，根据AB，AC与⊙O相切，结合已知条件，在△ABC中，即可得出圆心角∠COB的度数，根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，即可得出∠BP1C的度数（2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时，根据⊙O的内接四边形的性质，即可得出∠BP2C的度数．
【解答】解：分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点，
①当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时：
∵AB，AC与⊙O相切于点B，C两点，
∴OC⊥AC，OB⊥AB，
∵∠A＝50°，
∴在△ABC中，∠COB＝130°，
∵在⊙O中，∠BP1C为圆周角，
∴∠BP1C＝65°；
②如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时，
∵四边形BP1CP2为⊙O的内接四边形，
∵∠BP1C＝65°，
∴∠BP2C＝115°．
故答案为：65或115．
【点评】本题考查圆的切线性质，在解题过程中还要注意对圆的内接四边形、圆周角、圆心角的有关性质的综合应用
19．（3分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度为i＝1：3，且O，A，B在同一条直线上，则此人所在位置点P的铅直高度为 （25﹣25） 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】此人所在位置点P的铅直高度（25﹣25）米．
【分析】在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．
【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，
∴CO＝AO•tan60°＝100（米）．
设PE＝x米，
∵tan∠PAB＝＝，
∴AE＝3x．
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+3x，
∵PF＝CF，
∴100+3x＝100﹣x，
解得x＝25﹣25．
答：此人所在位置点P的铅直高度（25﹣25）米，
故答案为：（25﹣25）．
【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
20．（3分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），与y轴交于点B（0，2），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，D是线段AB上的一个动点，过D作x轴的垂线交二次函数的图象于点E．则线段DE的最大值为 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】根据题中条件可求出抛物线和直线的解析式，进而求出点A的坐标，根据点D是线段AB上的一个动点，设出点D的坐标，再根据DE⊥x轴，可得出点E的坐标，则可得出DE＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣3）2+，根据二次函数的性质即可求出最大值．
【解答】解：根据题意可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣2）2，
把B（0，2）代入可得：4a＝2，解得：a＝，
∴抛物线解析式为：y＝（x﹣2）2＝x2﹣2x+2，
把B（0，2）代入直线y＝x+m可得：m＝2，
∴y＝x+2，
当x2﹣2x+2＝x+2时，解得：x1＝0，x2＝6，
∴A（6，8），
∵点D是线段AB上的一个动点，
∴可设点D的坐标为（m，m+2），且0≤m≤6，
∵过D作x轴的垂线交二次函数的图象于点E，
∴点E的坐标为（m，m2﹣2m+2），
∴DE＝m+2﹣（m2﹣2m+2）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣3）2+，
∵﹣＜0，图象开口向下，且0≤m≤6，
∴当m＝3时，DE有最大值，最大值为；
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是二次函数之线段最大值题型，解题关键：一是求出抛物线与直线的解析式，二是用含有m的式子表示出DE的长并配成顶点式．
三、解答题（共60分）
21．（10分）按要求完成下列各题：
（1）计算：3tan30°﹣2sin60°﹣cs245°；
（2）解方程：（x+1）（x﹣1）＝2x+1．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣；
（2）x1＝1+，x2＝1﹣．
【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入代数式中，然后进行二次根式的混合运算；
（2）先把方程化为一般式，再利用配方法得到（x﹣1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）原式＝3×﹣2×﹣（）2
＝﹣﹣
＝﹣；
（2）（x+1）（x﹣1）＝2x+1．
方程化为一般式为x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握配方法解方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了实数的运算．
22．（8分）某市体育中考女生现场考试内容有三项：800m跑为必测项目；另在立定跳远、50m跑（二选一）和实心球、仰卧起坐（二选一）中选择两项．
（1）每位考生有 4 种选择方案；
（2）用画树形图或列表的方法求小丽与小敏选择同种方案的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】（1）4；
（2）．
【分析】（1）先列举出每位考生可选择所有方案：800m跑、立定跳远、实心球（用A表示）；800米跑、50m跑、仰卧起坐（用B表示）；800m跑、立定跳远、仰卧起坐（用C表示）；800m跑、50m跑，实心球、（用D表示）；共用4种选择方案．
（2）利用数形图展示所有16种等可能的结果，其中选择两种方案有12种，根据概率的概念计算即可．
【解答】解：（1）每位考生可选择：800m跑、立定跳远、实心球（用A表示）；800米跑、50m跑、仰卧起坐（用B表示）；800m跑、立定跳远、仰卧起坐（用C表示）；800m跑、50m跑，实心球、（用D表示）；共用4种选择方案．
故答案为：4．
（2）用A、B、C、D代表四种选择方案
用列表法分析如下：
两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有4种，
所以小丽与小敏选择同种方案的概率＝＝．
【点评】本题考查了概率的概念：用列举法展示所有等可能的结果数n，找出某事件所占有的结果数m，则这件事的发生的概率P＝．
23．（10分）如图，在直角坐标系中，Rt△ABC位于第一象限，两条直角边AB、BC分别平行于x轴、y轴，顶点B的坐标为（1，2），AB＝1，BC＝2．
（1）若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，求该反比例函数的解析式；
（2）通过计算判断点A是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△ABC有公共点，m的最小值为 2 ，最大值为 4.5 ．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）反比例函数解析式为y＝；
（2）点A在函数y＝ 的图象上；
（3）2，4.5．
【分析】（1）根据两条直角边AB、BC分别平行于x轴、y轴，顶点B的坐标为（2，4），AB＝1，BC＝2，可得出点A、C两点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式；
（2）把A点坐标代入看是否符合此函数的解析式即可；
（3）根据当反比例函数的图象经过点A、C时m的值最大；当经过点B时m的值最小求出m的取值范围即可解答．
【解答】解：（1）∵两条直角边AB、BC分别平行于x轴、y轴，顶点B的坐标为（1，2），AB＝1，BC＝2．
∴点A、C的坐标分别为（2，2）（1，4）、
根据题意，m＝1×4＝4、
反比例函数解析式为y＝．
（2）∵点A（2，2），
∴2×2＝4，
∴所求反比例函数解析式为y＝，
∵点A（2，2），当x＝2时，y＝＝2，
∴点A在函数y＝ 的图象上；
（3）∵当反比例函数的图象经过点A、C时m的值最大；当经过点B时m的值最小，
∴当反比例函数的图象经过点A时，2＝，解得m＝4；
当经过点B时，2＝，解得m＝2，
当过AC中点时，也即过（1.5，3）时，此时m为4.5，也即反比例与直线AC相切时（德尔塔＝0）
故m的取值范围是：2≤m≤4.5．
故答案为：2，4.5．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，正确利用待定系数法求反比例函数是解题关键．
24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，点M在弧BC上运动，作MN∥BC交AB的延长线于点N，连结AM、BM．
（1）求证：∠AMB＝∠N；
（2）当点M运动到什么位置时，MN是⊙O的切线？请说明理由．
【考点】切线的判定；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）当点M运动到的中点时，MN是⊙O的切线，理由见解答．
【分析】（1）由AB＝AC，得∠C＝∠ABC，由MN∥BC，得∠N＝∠ABC，由圆周角定理得∠AMB＝∠C，则∠AMB＝∠N；
（2）设AM交BC于点D，由＝，＝，得+＝+，则AM为⊙O的直径，由垂径定理得AM⊥BC，则∠OMN＝∠CDM＝90°，即可证明当点M运动到的中点时，MN是⊙O的切线．
【解答】（1）证明：如图1，∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵MN∥BC，
∴∠N＝∠ABC，
∵∠AMB＝∠C，
∴∠AMB＝∠N．
（2）解：当点M运动到的中点时，MN是⊙O的切线，
理由：如图2，设AM交BC于点D，
∵点M是的中点，
∴＝，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴+＝+，
∴AM是⊙O的直径，
∴AM⊥BC，
∵MN∥BC，
∴∠OMN＝∠CDM＝90°，
∵MN经过⊙O的半径OM的外端，
∴MN是⊙O的切线．
【点评】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、垂径定理、切线的判定等知识，证明当点M为的中点时AM是⊙O的直径是解题的关键．
25．（10分）某超市计划上两个新项目：
项目一：销售A种商品，所获得利润y（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y＝ax2+bx．当投资2万元时，可获得利润1.8万元；当投资4万元时，可获得利润2.8万元．
项目二：销售B种商品，所获得利润y（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：y＝kx．
（1）请求出项目一中的二次函数表达式；
（2）如果超市同时对 A、B两种商品共投资10万元，且经计算发现当投资A商品4万元、B商品6万元时可使获得的总利润最大，求k的值．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）项目一中的二次函数表达式为y＝﹣0.1x2+1.1x；
（2）k＝0.3．
【分析】（1）根据题意将相关数据代入关系式中即可求即；
（2）设总利润为w万元，投资项目一x万元，则投资项目二（10﹣x）万元，根据题意可得w＝﹣0.1x2+（1.1﹣k）x+10k，再根据二次函数的性质进行解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得：，
∴项目一中的二次函数表达式为y＝﹣0.1x2+1.1x；
（2）设总利润为w万元，投资项目一x万元，则投资项目二（10﹣x）万元，
根据题意得，
w＝﹣0.1x2+1.1x+k（10﹣x）
＝﹣0.1x2+1.1x+10k﹣kx
＝﹣0.1x2+（1.1﹣k）x+10k，
∴顶点横坐标为x＝，
∵﹣0.1＜0，
∴当x＝时，w取得最大值，
∴x＝＝4，
∴k＝0.3．
【点评】本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，灵活运用所学知识求解是解题关键．
26．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，点A1、B1分别为边AC、BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，易知AA1和BB1的位置关系为AA1⊥BB1；线段AA1和BB1的数量关系为 AA1＝BB1 ；
（2）将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中AA1和BB1的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）当△A1B1C绕点C逆时针旋转过程中．
①△ABA1面积的最大值为 4 ；
②当A1、B1、A三点共线时，线段AA1的长为 或 ．
【考点】几何变换综合题．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）AA1＝BB1；
（2）（1）中AA1和BB1的关系仍然成立，证明见解答过程；
（3）①4；
②或．
【分析】（1）根据∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，点A1、B1分别为边AC、BC的中点，可得A1C＝AC＝＝AA1，B1C＝BC＝1＝BB1，即可得AA1＝BB1；
（2）延长BB1交AC于K，交AA1延长线于H，由△A1B1C绕点C逆时针旋转，可得△ACA1∽△BCB1，故＝＝，∠A1AC＝∠B1BC，即得∠H＝∠BCK＝90°，AA1⊥BB1；
（3）①过C作CM⊥AB于M，可得CM＝AC＝，当A1在MC的延长线上时，△ABA1面积的最大，故△ABA1面积最大为AB•A1M＝4；
②分两种情况，用勾股定理列方程可得答案．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4，AC＝＝2，
∵点A1、B1分别为边AC、BC的中点，
∴A1B1是Rt△ABC的中位线，
∴A1B1∥AB，A1B1＝AB＝2，A1C＝AC＝＝AA1，B1C＝BC＝1＝BB1，
∴∠B1A1C＝∠A＝30°，AA1＝BB1；
故答案为：AA1＝BB1；
（2）（1）中AA1和BB1的关系仍然成立，证明如下：
延长BB1交AC于K，交AA1延长线于H，如图：
∵△A1B1C绕点C逆时针旋转，
∴∠ACA1＝∠BCB1，
由（1）知＝＝，
∴△ACA1∽△BCB1，
∴＝＝，∠A1AC＝∠B1BC，
∴AA1＝BB1，
∵∠AKH＝∠BKC，
∴180°﹣∠A1AC﹣∠AKH＝180°﹣∠B1BC﹣∠BKC，
∴∠H＝∠BCK＝90°，
∴AA1⊥BB1；
（3）①过C作CM⊥AB于M，如图：
∵AC＝2，∠BAC＝30°，
∴CM＝AC＝，
当△A1B1C绕点C逆时针旋转过程中，A1的轨迹是以C为圆心，A1C（）为半径的圆，
当A1在MC的延长线上时，△ABA1面积的最大，
此时△ABA1面积为AB•A1M＝×4×2＝4，
故答案为：4；
②当AA1在AC下方时，如图：
由（2）可知AA1＝BB1，∠AB1B＝90°，
设BB1＝x，则AA1＝x，
∴AB1＝AA1﹣A1B1＝x﹣2，
在Rt△ABB1中，AB12+BB12＝AB2，
∴（x﹣2）2+x2＝42，
解得x＝或x＝（舍去），
∴x＝×＝，
∴此时AA1＝；
当AA1在AC上方时，如图：
同理可得AB12+BB12＝AB2，
设BB1＝y，则AA1＝y，
∴AB1＝AA1+A1B1＝y+2，
∴（y+2）2+y2＝42，
解得y＝或y＝（舍去），
∴y＝×＝，
∴此时AA1＝，
综上所述，线段AA1的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用，解题的关键是掌握旋转的性质，能用勾股定理列方程解决问题．
步数（万步）
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
天数
3
3
9
11
4
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10﹣x
步数（万步）
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
天数
3
3
9
11
4
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10﹣x
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）