2022-2023学年河北省保定市十七中九年级（上）期末数学试卷解析版

这是一份2022-2023学年河北省保定市十七中九年级（上）期末数学试卷解析版，共38页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列哪种光源的光线所形成的投影不能称为中心投影（ ）
A．探照灯B．台灯C．路灯D．太阳
2．（3分）判断下列关于x的方程，是一元二次方程的（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．x3+3x2﹣5＝0C．x2＝1D．
3．（3分）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外，其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．12个B．15个C．18个D．30个
4．（3分）下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径
B．同圆中两个圆心角相等，则它们所对的弦也相等
C．长度相等的弧不一定是等弧
D．坐标系中，以原点O为圆心，为半径作⊙O，则点P（﹣1，1）在⊙O外
5．（3分）下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是（ ）
A．（3）（1）（4）（2）B．（3）（4）（1）（2）
C．（3）（2）（1）（4）D．（2）（4）（1）（3）
6．（3分）下列平行线分线段的作图中，不能得到ax＝bc的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小明此次掷球的成绩（即OA的长度）是（ ）
A．8mB．5mC．3mD．9m
8．（3分）若一个几何体的三视图如图，则这个几何体是（ ）
A．圆柱B．球C．长方体D．圆锥
9．（3分）关于反比例函数，下列说法中不正确的是（ ）
A．点（﹣2，﹣3）在它的图象上
B．图象关于直线y＝﹣x对称
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3
10．（3分）如图，直线l和双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则（ ）
A．S1＝S2＜S3B．S1＞S2＞S3C．S1＝S2＞S3D．S1＜S2＜S3
11．（3分）如图分别是某校体育运动会的颁奖台和其主视图，则其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
12．（3分）如图，已知△MNP．下列四个三角形，与△MNP相似的是（ ）
A．B．C．D．
13．（3分）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值为（ ）
A．B．C．D．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC＝2：1，AE交BD于F，则S△BFE：S△FDA等于（ ）
A．4：9B．2：3C．1：2D．1：4
15．（3分）抛物线y＝x2﹣2x先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3
16．（3分）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（ ）
A．B．C．D．
17．（3分）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的半径是（ ）（1尺＝10寸）
A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸
18．（3分）一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图，则其主视图的面积为（ ）
A．12B．15C．18D．60
19．（3分）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE的度数为（ ）
A．36°B．27°C．18°D．9°
20．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠B＝25°，则∠BOC＝（ ）
A．30°B．50°C．60°D．80°
21．（2分）反比例函数与二次函数y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2分）电影《我和我的祖国》一上映，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若增长率记作x，方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
23．（2分）如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1500m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为（ ）
A．900mB．mC．mD．750m
24．（2分）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，若AC＝12，菱形ABCD的面积为96，EO∥AD，则EO长为（ ）
A．6B．5C．10D．8
25．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，下列正确的有（ ）
①4ac﹣b2＞0，②2a﹣b＝0，③a+b+c＞0，④c﹣a＝3．
A．①③B．②③C．②④D．③④
26．（2分）若m，n是方程2x2﹣4x﹣3＝0的两个根，则2m2﹣5m﹣n的值为（ ）
A．9B．1C．﹣1D．5
27．（2分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列错误的是（ ）
A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形
B．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形
C．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形
D．若AC⊥BD且AC＝BD，四边形ABCD是正方形
28．（2分）在设计人体雕像时，使雕像下部（腰部以下）与全部的高度比等于黄金比，可以增加视觉美感，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的上部设计高度是（ ）
A．B．C．D．
29．（2分）文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话．
小张：该工艺品的进价是每个20元；
小李：当销售价为每个36元时，每天可售出150个；当销售价降低3元时，平均每天将能多售出90个．
经理：为了实现平均每天3600元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？
设这种工艺品的销售价每个应降低x元，由题意可列方程为（ ）
A．
B．（36﹣x﹣20）（150+90x）＝3600
C．（36﹣x﹣20）（150+3x×90）＝3600
D．
30．（2分）如图所示，第1个图中将正方形取上下对边中点连线后，再取右侧长方形的长边中点连线；第2个图中，将第一个图中的右下方正方形继续按第一个图的方式进行操作，…，按此规律操作下去，则第n（n为正整数）个图形中正方形的个数是（ ）
A．2n+1B．2n+2C．3n﹣2D．4n﹣1
二、解答题（共20分）
31．（9分）计算：
（1）；
（2）（x+1）2＝（2023﹣1）2；
（3）x（x﹣5）+3x﹣15＝0．
32．（11分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，点E是第四象限内抛物线上的动点，连接BC、BE、CE，求△BEC面积的最大值；
（3）如图③，将抛物线沿DA方向以每秒1个单位长度的速度平移，则顶点D在∠ABC内部（含边界）移动的时间为秒；
（4）如图④，点P是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年河北省保定十七中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共1～20题每题3分，21～30题每题2分，共80分）
1．（3分）下列哪种光源的光线所形成的投影不能称为中心投影（ ）
A．探照灯B．台灯C．路灯D．太阳
【考点】中心投影；平行投影．
【专题】投影与视图；应用意识．
【答案】D
【分析】找到不是灯光的光源即可．
【解答】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有D选项得到的投影为平行投影，
故选：D．
【点评】本题考查了中心投影的知识，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
2．（3分）判断下列关于x的方程，是一元二次方程的（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．x3+3x2﹣5＝0C．x2＝1D．
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A．当a≠0时，ax2+bx+c＝0是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．x3+3x2﹣5＝0，未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．x2＝1是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
3．（3分）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外，其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．12个B．15个C．18个D．30个
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据概率公式计算即可．
【解答】解：设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：，
解得：x＝20，
则白球有50﹣20＝30个；
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，掌握这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
4．（3分）下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径
B．同圆中两个圆心角相等，则它们所对的弦也相等
C．长度相等的弧不一定是等弧
D．坐标系中，以原点O为圆心，为半径作⊙O，则点P（﹣1，1）在⊙O外
【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质；圆的认识；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】D
【分析】由直径的概念可判断A，由弦，弧，圆心角的关系可判断B，由等弧的概念可判断C，由点圆的位置关系的判定可判断D，从而可得答案．
【解答】解：过圆心的弦是圆的直径，表述正确，故A不符合题意；
同圆中两个圆心角相等，则它们所对的弦也相等，表述正确，故B不符合题意；
长度相等的弧不一定是等弧，表述正确，故C不符合题意；
坐标系中，以原点O为圆心，为半径作⊙O，
，
则点P（﹣1，1）在⊙O上，故D表述错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是圆的基本概念，弧，弦，圆心角之间的关键，点与圆的位置关系，熟记以上基本概念是解本题的关键．
5．（3分）下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是（ ）
A．（3）（1）（4）（2）B．（3）（4）（1）（2）
C．（3）（2）（1）（4）D．（2）（4）（1）（3）
【考点】平行投影．
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】B
【分析】根据太阳光下从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
【解答】解：西为（3），西北为（4），东北为（1），东为（2），
∴将它们按时间先后顺序排列为（3）（4）（1）（2）．
故选：B．
【点评】本题考查了平行投影的特点和规律．在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
6．（3分）下列平行线分线段的作图中，不能得到ax＝bc的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行线分线段成比例；作图—复杂作图．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理成比例定理列出比例式，判断即可．
【解答】解：A、由平行线分线段成比例定理得：＝，
∴ax＝bc，故本选项不符合题意；
B、由平行线分线段成比例定理得：＝，
∴ax＝bc，故本选项不符合题意；
C、由平行线分线段成比例定理得：＝，
∴bx＝ac，故本选项符合题意；
D、由平行线分线段成比例定理得：＝，
∴ax＝bc，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
7．（3分）小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小明此次掷球的成绩（即OA的长度）是（ ）
A．8mB．5mC．3mD．9m
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】A
【分析】令y＝0，再解关于x的方程，即可得到答案．
【解答】解：在y＝﹣（x﹣3）2+中，令y＝0得：
﹣（x﹣3）2+＝0，
解得x1＝8，x2＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴小明此次掷球的成绩（即OA的长度）是8m，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确求出一元二次方程的解．
8．（3分）若一个几何体的三视图如图，则这个几何体是（ ）
A．圆柱B．球C．长方体D．圆锥
【考点】由三视图判断几何体．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即可判断出答案．
【解答】解：观察三视图可知，这个几何体是圆柱．
故选：A．
【点评】考查学生对圆柱三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
9．（3分）关于反比例函数，下列说法中不正确的是（ ）
A．点（﹣2，﹣3）在它的图象上
B．图象关于直线y＝﹣x对称
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3
【考点】反比例函数的性质；坐标与图形变化﹣对称；正比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可．
【解答】解：A、当x＝﹣2时，则，所以点（﹣2，﹣3）在它图象上，故说法正确；
B、由反比例函数可知图象关于直线y＝﹣x对称，故说法正确；
C、当x＞0时，y随x的增大而减小，故说法正确；
D、由反比例函数可知，图象在第一、三象限且在各象限内y随x的增大而减小，若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在该函数图象上，则y2＜y1＜0＜y3，故说法错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
10．（3分）如图，直线l和双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则（ ）
A．S1＝S2＜S3B．S1＞S2＞S3C．S1＝S2＞S3D．S1＜S2＜S3
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系S＝|k|即可得答案．
【解答】解：结合题意可得：AB都在双曲线y＝上，
则有S1＝S2；
而AB之间，直线在双曲线上方；
故S1＝S2＜S3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积为|k|．是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
11．（3分）如图分别是某校体育运动会的颁奖台和其主视图，则其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】B
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从左边看是一个矩形被分为3部分，上面的分线是实线，下面的分线是虚线．
故选：B．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意能看到的线用实线画，看不到的线用虚线画．
12．（3分）如图，已知△MNP．下列四个三角形，与△MNP相似的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定条件分别判断即可．
【解答】解：根据图形可知，MN＝MP，
∴∠P＝∠N＝75°，
∴∠M＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得C中的图形与△MNP相似．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定条件，结合三角形内角和定理计算是解题的关键．
13．（3分）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；几何直观．
【答案】A
【分析】连接CD得到△ACD是直角三角形，AD＝2CD，于是即可求解．
【解答】解：连接CD，则CD⊥AB，
由图可知AE＝DE＝CD，
∴CD＝AD，
∴tanA＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的三角函数定义．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC＝2：1，AE交BD于F，则S△BFE：S△FDA等于（ ）
A．4：9B．2：3C．1：2D．1：4
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】由BE：EC＝2：1，得＝，则＝，再由EB∥AD，证明△BFE∽△FDA，得＝＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD，
∵BE：EC＝2：1，
∴＝，
∴＝，
∵EB∥AD，
∴△BFE∽△FDA，
∴＝＝＝，即S△BFE：S△FDA＝4：9，
故选：A．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，求得＝及证明△BFE∽△FDA是解题的关键．
15．（3分）抛物线y＝x2﹣2x先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】先将y＝x2﹣2x化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”求解即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
根据题意，拋物线y＝x2﹣2x先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，
所得抛物线的表达式为y＝（x﹣1+3）2﹣1﹣2，
即y＝（x+2）2﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数图象平移的规律是解答的关键．
16．（3分）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，
∴小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是＝，
故选：A．
【点评】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（3分）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的半径是（ ）（1尺＝10寸）
A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸
【考点】垂径定理的应用；勾股定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OA、OC，由垂径定理得寸，连接OA，设圆的半径为x寸，再在Rt△OAC中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．
【解答】解：连接OA、OC，如图：
由题意得：C为AB的中点，
则O、C、D三点共线，OC⊥AB，
∴（寸），
设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．
在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝13．
∴圆材半径为13寸．
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
18．（3分）一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图，则其主视图的面积为（ ）
A．12B．15C．18D．60
【考点】由三视图判断几何体；简单几何体的三视图．
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】C
【分析】左视图可得到长方体的宽和高，俯视图可得到长方体的长和宽，主视图表示为长方体的长和高，长×高即为主视图的面积．
【解答】解：由左视图可得长方体的高为3，
由俯视图可得长方体的长为6，
∵主视图表示为长方体的长和高，
∴主视图的面积为6×3＝18．
故选：C．
【点评】本题主要考查主视图的面积的求法，根据俯视图和左视图得到几何体的长和高是解决本题的关键．
19．（3分）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE的度数为（ ）
A．36°B．27°C．18°D．9°
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】利用矩形的性质结合∠ADE：∠EDC＝3：2，求解∠ADE＝90°×＝54°，再求解∠BDA＝∠OAD＝36°，再利用角的和差即可得到答案．
【解答】解：∵矩形ABCD中，
∴∠ADC＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，
∵∠ADE：∠EDC＝3：2，
∴∠ADE＝90°×＝54°，
∵DE⊥AC于E，
∴∠DAE＝90°﹣54°＝36°，
∵OA＝OD，
∴∠BDA＝∠OAD＝36°，
∴∠BDE＝∠ADE﹣∠ADO＝54°﹣36°＝18°．
故选：C．
【点评】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握“矩形的对角线相等且互相平分”是解本题的关键．
20．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠B＝25°，则∠BOC＝（ ）
A．30°B．50°C．60°D．80°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】由题意可知，OA＝OB＝OC是⊙O的半径，可求出△AOB，△AOC是等腰三角形，可得∠BAO＝25°，结合AC∥OB，可求出∠AOB，∠AOC的度数，且∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC，由此即可求解．
【解答】解：根据题意，OA＝OB，∠B＝25°，
∴△ABO是等腰三角形，∠BAO＝∠B＝25°，
则∠AOB＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∵AC∥OB，
∴∠CAB＝∠B＝25°，且∠CAO＝∠CAB+∠OAB＝25°+25°＝50°，
∵OA＝OC，
∴△OAC是等腰三角形，则∠OAC＝∠OCA＝50°，
∴∠AOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣80°＝50°，
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，理解和掌握圆内接三角形中角的关系，边的关系是解题的关键．
21．（2分）反比例函数与二次函数y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象．
【专题】函数及其图象；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可．
【解答】解：当k＞0时，二次函数y＝﹣kx2+k的图象开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例函数的图象在第一、三象限；
当k＜0时，二次函数y＝﹣kx2+k的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴；反比例函数的图象在第二、四象限，故选项D正确；
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
22．（2分）电影《我和我的祖国》一上映，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若增长率记作x，方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】第一天为3，根据增长率为x得出第二天为3（1+x），第三天为3（1+x）2，根据三天累计为10，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（2分）如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1500m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为（ ）
A．900mB．mC．mD．750m
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】过点C作CE⊥BD，垂足为E，根据三角形内角和定理可求出∠CBD，∠BCE的度数，进而求出∠DCE的度数，在直角三角形中，由特殊角三角函数以及直角三角形边角的关系可得答案．
【解答】解：过点C作CE⊥BD，垂足为E，
∵∠ABC＝150°，
∴∠CBD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠BCE＝90°﹣30°＝60°，
∵∠BCD＝105°，
∴∠DCE＝105°﹣60°＝45°，
在Rt△BCE中，∠CBE＝30°，BC＝1500m，
∴m，
在Rt△CDE中，∠DCE＝45°，
∴m，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形和三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
24．（2分）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，若AC＝12，菱形ABCD的面积为96，EO∥AD，则EO长为（ ）
A．6B．5C．10D．8
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由菱形的性质可得AO＝CO＝6，OB＝OD，AC⊥BD，再证OE是△DAB的中位线，得OE＝AD，然后由勾股定理求出AD＝10，即可得出OE的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，菱形ABCD的面积为96，
∴AO＝CO＝6，BO＝DO，S菱形ABCD＝AC•BD＝×12×BD＝96，AC⊥BD，
解得：BD＝16，
∴BO＝DO＝8，
∵EO∥AD，
∴点E是AB中点，
∴OE是△DAB的中位线，
∴OE＝AD，
在Rt△AOD中，AD＝＝＝10，
∴OE＝AD＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
25．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，下列正确的有（ ）
①4ac﹣b2＞0，②2a﹣b＝0，③a+b+c＞0，④c﹣a＝3．
A．①③B．②③C．②④D．③④
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据图象与x轴的交点个数，即可判断①；根据函数的对称轴，即可判断②；根据抛物线的对称性可得当x＝﹣3和当x＝1时，函数值相等，即可判断③；将点B（﹣1，3）代入即可判断④．
【解答】解：①由图可知，抛物线与x轴有两个交点，则方程0＝ax2+bx+c有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0，故①不正确；
②由图可知，函数对称轴为x＝﹣1，
∴，整理得：2a﹣b＝0，故②正确；
③由图可知，函数对称轴为x＝﹣1，
∴当x＝﹣3和当x＝1时，函数值相等，
由图可知，当x＝﹣3时，函数值小于0，
∴当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故③不正确；
④由②可知，2a﹣b＝0，则2a＝b，
∴把点B（﹣1，3）代入得：y＝a﹣b+c＝a﹣2a+c＝﹣a+c＝3，故④正确；
综上：正确的有②④，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的相关知识，根据图象判断各项系数和代数式的取值范围．
26．（2分）若m，n是方程2x2﹣4x﹣3＝0的两个根，则2m2﹣5m﹣n的值为（ ）
A．9B．1C．﹣1D．5
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据题意易得2m2﹣4m＝3，然后根据一元二次方程根与系数的关系可知m+n＝2，进而代入求解即可．
【解答】解：∵m，n是方程2x2﹣4x﹣3＝0的两个根，
∴2m2﹣4m＝3，m+n＝2，
∴2m2﹣5m﹣n＝2m2﹣4m﹣（m+n）＝3﹣2＝1；
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．
27．（2分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列错误的是（ ）
A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形
B．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形
C．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形
D．若AC⊥BD且AC＝BD，四边形ABCD是正方形
【考点】正方形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】先由OA＝OC，OB＝OD，证明四边形ABCD是平行四边形，再由AC⊥BD，证明四边形ABCD是菱形，可判断A正确；四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，可证明四边形ABCD是矩形，可判断B正确；根据“有一个角是直角的四边形是矩形”可证明四边形ABCD是矩形，可间断故C错误；由四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，AC＝BD，可证明四边形ABCD是正方形，可判断D正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
故A正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故C错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故D正确，
故选：C．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定等知识，熟练掌握与运用平行四边形及特殊平行四边形的判定定理是解题的关键．
28．（2分）在设计人体雕像时，使雕像下部（腰部以下）与全部的高度比等于黄金比，可以增加视觉美感，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的上部设计高度是（ ）
A．B．C．D．
【考点】黄金分割．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】设该雕像的上部设计高度是xm，则雕像下部设计高度是（2﹣x）m，根据雕像下部（腰部以下）与全部的高度比等于黄金比，列出方程，即可求解．
【解答】解：设该雕像的上部设计高度是xm，则雕像下部设计高度是（2﹣x）m，
根据题意得：，
解得：，
即该雕像的上部设计高度是．
故选：B．
【点评】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割比是解题的关键．
29．（2分）文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话．
小张：该工艺品的进价是每个20元；
小李：当销售价为每个36元时，每天可售出150个；当销售价降低3元时，平均每天将能多售出90个．
经理：为了实现平均每天3600元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？
设这种工艺品的销售价每个应降低x元，由题意可列方程为（ ）
A．
B．（36﹣x﹣20）（150+90x）＝3600
C．（36﹣x﹣20）（150+3x×90）＝3600
D．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】当这种工艺品的销售价每个应降低x元时，每个的销售利润为（36﹣x﹣20）元，平均每天可售出（150+×90），利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：当这种工艺品的销售价每个应降低x元时，每个的销售利润为（36﹣x﹣20）元，平均每天可售出（150+×90），
根据题意得：（36﹣x﹣20）（150+×90）＝3600．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．（2分）如图所示，第1个图中将正方形取上下对边中点连线后，再取右侧长方形的长边中点连线；第2个图中，将第一个图中的右下方正方形继续按第一个图的方式进行操作，…，按此规律操作下去，则第n（n为正整数）个图形中正方形的个数是（ ）
A．2n+1B．2n+2C．3n﹣2D．4n﹣1
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】几何图形；推理能力．
【答案】A
【分析】由第1个图形中正方形的个数3＝2×1+1，第2个图形中正方形的个数5＝2×2+1，第3个图形中正方形的个数7＝2×3+1，……据此可得．
【解答】解：∵第1个图形中正方形的个数3＝2×1+1，
第2个图形中正方形的个数5＝2×2+1，
第3个图形中正方形的个数7＝2×3+1，
……，
∴第n个图形中正方形的个数为2n+1，
故选：A．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
二、解答题（共20分）
31．（9分）计算：
（1）；
（2）（x+1）2＝（2023﹣1）2；
（3）x（x﹣5）+3x﹣15＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；特殊角的三角函数值；实数的运算．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）x1＝﹣2023，x2＝2021；
（3）x1＝5，x2＝﹣3．
【分析】（1）把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解；
（2）利用直接开平方法，即可求解；
（3）先整理，在利用因式分解法解答，即可求解．
【解答】（1）解：＝＝；
（2）解：（x+1）2＝（2023﹣1）2
直接开平方得：x+1＝±（2023﹣1），
解得：x1＝﹣2023，x2＝2021；
（3）解：x（x+5）+3x﹣15＝0，
整理得：x2﹣2x﹣15＝0，
因式分解得：（x﹣5）（x+3）＝0，
∴x﹣5＝0或x+3＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣3．
【点评】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
32．（11分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，点E是第四象限内抛物线上的动点，连接BC、BE、CE，求△BEC面积的最大值；
（3）如图③，将抛物线沿DA方向以每秒1个单位长度的速度平移，则顶点D在∠ABC内部（含边界）移动的时间为秒；
（4）如图④，点P是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）S△BCE最大值为；
（3）顶点D在∠ABC内部（含边界）移动的时间为秒；
（4）Q的坐标为：或（﹣1，0）或或．
【分析】（1）直接利用交点式写出抛物线的解析式即可；
（2）如图，连接OE，设E（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），结合S△BCE＝S△OCE+S△BOE﹣S△BOC，S△BCE＝，再利用二次函数的性质求解最大值即可；
（3）先求解顶点坐标为D（1，﹣4），再求解直线AD为y＝﹣2x﹣2，BC为y＝x﹣3，如图，记AC，BD的交点为T，再求解交点T的坐标，利用勾股定理求解AT的长度即可得到答案；
（4）先求解抛物线的对称轴为直线：x＝1，设P（1，e），再分三种情况讨论：如图，以BD为对角线时，此时为菱形PDQB，如图，当PD为对角线时，当BP为对角线时，再结合菱形的性质与平移的性质可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图，连接OE，设E（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
而S△BCE＝S△OCE+S△BOE﹣S△BOC，
∴＝，
当时，S△BCE取得最大值，
最大值为：．
（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为D（1，﹣4），
设直线AD为y＝mx+n，
∴，解得：，
∴直线AD为y＝﹣2x﹣2，
同理可得：BC为y＝x﹣3，
如图，记AC，BD的交点为T，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴将抛物线沿DA方向以每秒1个单位长度的速度平移，则顶点D在∠ABC内部（含边界）移动的时间为秒；
（4）存在，理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线：x＝1，
设P（1，e），
如图，以BD为对角线时，
此时为菱形PDQB，
∴PD＝PB，
∴（e+4）2＝（1﹣3）2+e2，
解得：，即，
此时，
结合平移的性质可得：；
如图，当PD为对角线时，
此时为菱形PQDB，
∴结合抛物线的对称性可得：Q（﹣1，0）；
当BP为对角线时，
此时为菱形DPQB，则DP＝DB，
∴（﹣4﹣e）2＝22+42，
解得：，，
当时，如图，，
此时，
由平移的性质可得：，
当时，如图，，
此时，
由平移的性质可得：．
综上：Q的坐标为：或（﹣1，0）或或．
【点评】本题考查的是抛物线的交点式的应用，列面积函数关系式，二次函数的性质，求解一次函数的交点坐标，勾股定理的应用，菱形的性质，本题计算量大，对学生要求高，细心的运算，清晰的分类讨论是解本题的关键．