精品解析： 河北省秦皇岛市海港区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷 （解析版）

这是一份精品解析： 河北省秦皇岛市海港区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷 （解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，四象限，那么实数m的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 反比例函数的图象在第二、四象限，那么实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由于反比例函数的图象在二、四象限内，则，解得m的取值范围即可．
【详解】解：由题意得，反比例函数的图象在二、四象限内，
则，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，重点是注意中k的取值，①当时，反比例函数的图象位于一、三象限；②当时，反比例函数的图象位于二、四象限．
2. 关于x的一元二次方程有实根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞B. k≥C. k≥且D. k≥且
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程的判别式列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵x的一元二次方程有实根，
∴且，
解得k≥且．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
3. 如图，矩形的顶点是坐标原点，边在轴上，边在轴上．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的坐标是（ ）
A. (3，2)B. (－2，－3)
C. (2，3)或(－2，－3)D. (3，2)或(－3，－2)
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似图形的位似比求得相似比，然后根据点的坐标确定其对应点的坐标即可．
【详解】解：若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，
两矩形的相似比为，
点的坐标为，
点的坐标是或．
故选：．
【点睛】本题考查了位似变换及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的面积的比确定其位似比．
4. 在中，如果各边长度都扩大倍，那么锐角的正切值（ ）
A. 不变化B. 扩大2倍C. 缩小2倍D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正切值为对边和邻边的比值．
一个角的锐角三角函数值只和角的大小有关，与角的边的长短无关．
【详解】∵锐角的正切值为对边和邻边的比值，
∴各边长度都扩大倍，锐角的正切值不变.
故选A.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中， ， ，， .
5. 如图，菱形ABCD周长为8，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，那么EF＝（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由菱形的性质得出BC=2，证出EF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果.
【详解】解：∵菱形ABCD周长为8，
∴BC＝2，
∵E是AC中点，EF∥BC，
∴AE＝CE，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝ BC＝1，
故选D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理及菱形的周长公式，熟练掌握菱形的性质，证明EF是△ABC的中位线是解题的关键.
6. 如图，在平面直角坐标系中，BA⊥y轴于点A，BC⊥x轴于点C，函数的图象分别交BA，BC于点D，E.当AD:BD=1:3且BDE的面积为18时，则k的值是（ ）
A. 9.6B. 12C. 14.4D. 16
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：如图，过点D作DF⊥x轴于点F，过点E作EG⊥y轴于点G．
设B（4a，b），E（4a，d），
∵AD：BD=1：3，∴D（a，b）．
又∵△BDE的面积为18，∴BD=3a，BE=b-d
∴×3a（b-d）=18，即a（b-d）=12，即ab-ad=12.
∵D，E都在反比例函数图象上，∴ab=4ad
∴4ad-ad=12，解得：ad=4.
∴k=4ad=16．
故选D．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
7. 若为锐角，且，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先明确，，再根据正切值随着角的增大而增大，进行分析．
【详解】解：，，为锐角，越大，正切值越大．
又，
．
故选：．
【点睛】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
考点: 锐角三角函数的增减性．
8. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】A、主视图为等腰三角形，俯视图为圆以及圆心，故A选项错误；
B、主视图为矩形，俯视图为矩形，故B选项正确；
C、主视图是矩形，俯视图均为圆，故C选项错误；
D、主视图为梯形，俯视图为矩形，故D选项错误.
故选：B.
9. 下列说法①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的内心到三条边的距离相等．其中不正确的有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：①中被平分的弦是直径时，不一定垂直，故错误；②不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，故错误；③应强调在同圆或等圆中，否则错误；④中垂直于半径，还必须经过半径的外端的直线才是圆的切线，故错误；⑤三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，所以到三条边的距离相等，故正确；综上所述，①、②、③、④错误.
考点：1、垂径定理的逆定理；2、弧、弦、圆心角定理；3、圆的切线的判定定理；4、三角形的内切圆.
10. 二次函数（）的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵对称轴为直线，
∴，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在原点和（1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（2，0）和（1，0）之间，
∴x=2时，y＜0，即，所以③错误．
∵当x=1时，y＞0，∴，∵当x=－1时，y＜0，∴，
∴，
∴，所以④正确；
故正确的为①②④，
故选C．
二、填空题：（每题3分，共15分）
11. 圆的一条弦把圆分为两部分，如果圆的半径是，则这条弦的长是_____cm．
【答案】2
【解析】
【分析】先利用“圆的一条弦把圆分为两部分”求出这条弦对的圆心角的度数，则弦长易求．
【详解】解：圆的一条弦把圆分为两部分，
这条弦对的圆心角的度数，
所以由这条弦与这条弦的两个端点与圆心的连线成等边三角形，
圆的半径是，
这条弦的长是．
故答案为：2．
【点睛】本题利用了一个周角是360度，等边三角形的判定和性质，有一角为60度的等腰三角形是等边三角形．
考点：圆的基本性质
12. 已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）和C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_____．（用“＜”连接）
【答案】y3＜y2＜y1
【解析】
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：∵在反比例函数y＝（k＜0）中，k＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在第二象限，∴y1＞0，y2＞0，
∵函数图象在第二象限内为增函数，﹣2＜﹣1＜0，∴0＜y2＜y1．
∵3＞0，∴C（3，y3）点在第四象限，
∴y3＜0，
∴y1，y2，y3的大小关系为y3＜y2＜y1．
故答案为y3＜y2＜y1．
【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
13. 已知两个相似三角形，其中一个三角形的三边的长分别为2，5，6，另一个三角形的最长边为15cm，则它的最短边是_____cm．
【答案】5
【解析】
【分析】首先根据相似三角形的性质求出相似比，找出最长边和最短边，然后求出另一个三角形的最短边．
【详解】解：由题意知，两个三角形的相似比是；
设另一个三角形的最短边为x；
则得到；
解得．
则它的最短边是．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质和相似比的求法．
14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作，因为，，所以，，根据勾股定理得，故，即点的坐标即可求解．
【详解】解：过点作，如图所示：
四边形是正方形，点的坐标是，
，，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
在△中，根据勾股定理得，
，
即点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理．
15. 已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与轴的一个交点的坐标为(m，0)，若2【答案】【解析】
【分析】先用a表示出抛物线与x轴的交点，再分a＞0与a＜0两种情况进行讨论即可．
【详解】解：∵y=ax2+（a2-1）x-a=（ax-1）（x+a），
∴当y=0时，x1=，x2=-a，
∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（-a，0）．
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，
∴当a＞0时，2＜＜3，解得＜a＜；
当a＜0时，2＜-a＜3，解得-3＜a＜-2．
故答案：【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
三、解答题（共8道题，共75分）
16. （1）解方程；
（2）计算．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）方程利用平方差公式因式分解求解即可；
（2）利用特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：（1），
，
，
，
或，
解得；
（2）
＝
＝．
【点睛】本题考查了解一元二次方程以及特殊角的三角函数值，掌握平方差公式以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
17. 将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．
（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是 ；
（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是 ；
（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】试题分析：（1）共有4种情况，其中数字是偶数的由2种，所以概率为；（2）共有6种情况，符合要求的有2种，故概率为；（3）先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【详解】试题解析：（1）1，2，3，4共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为
；
（2）1+4=5；2+3=5，但组合一共有6种，故概率为
；
（3）根据题意，画树形图如图所示．
由树形图可知，共有16种等可能的结果：11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44；其中恰好是4的位数的共有4种：12，24，32，44，所以P（4的倍数）=．
考点：简单事件的概率．
18. 已知：如图，是的直径，是的弦，且，垂足为，连接，，，求的长．
【答案】2
【解析】
【分析】由于，而是直径，根据垂径定理易求，再根据勾股定理可求，进而可求．
【详解】解：为直径，，
，
在中，，
，
故．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是先求出．
19. 如图，反比例函数的图象上两点P，R，O为坐标原点，连接且，x轴正半轴点，轴，轴，两垂线交于点B，连接，过R点作x轴的平行线交于点N，连接．
（1）求证，四边形是矩形；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用坐标的特点和反比例函数的解析式即可得出结论；
（2）先判断出，是矩形的对角线，设与交于点S，进而得出，再由即可得出，即：，最后代换即可得出结论．
小问1详解】
设点B的坐标为，
∴直线的解析式为：，
∵轴，轴，点P，R在反比例函数图象上，
∴，，
∵轴，
∵，
∴轴，
∴，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
由（1）四边形是矩形，设，交于点S，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了反比例函数解析式，待定系数法，矩形的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键由点B的坐标表达点N的坐标．
20. 某校课外活动小组，在距离湖面7米高观测台处，看湖面上空一热气球的仰角为，看在湖中的倒影的俯角为为关于湖而的对称点）．请你算出这个热气球距湖面得高度约为多少米？注：，，，，，．
【答案】米
【解析】
【分析】过点作，垂足为，构造矩形和直角三角形，根据三角函数的定义求出的长，根据，列出方程解答即可．
【详解】解：过点作，垂足为，则有米，
设为米，则米，米，米，
在中，，
在△中，，
，
解得：．
答：热气球距湖面的高度约为米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，构造直角三角形是解题的关键．
21. 已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B， C点重合)，∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，请直接写出AE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）y=x2-x+1=（x-）2+；（3）AE的长为2-或 ．
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=DE，AE=DE，AD=AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可．
【详解】（1）证明：
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=∠ADE=45°
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）由（1）得△ABD∽△DCE，
∴=，
∵∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴BC=，CD=-x，EC=1-y，
∴=，
∴y=x2-x+1=（x-）2+；
（3）当AD=DE时，△ABD≌△CDE，
∴BD=CE，
∴x=1-y，即 x-x2=x，
∵x≠0，
∴等式左右两边同时除以x得：x=-1
∴AE=1-x=2-，
当AE=DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，
所以，AE=；
当AD=AE时，∠DAE=90°，D与B重合，不合题意；
综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，
AE的长为2-或 ．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
22. 已知：二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与y轴相交于点C，点C坐标为，另抛物线经过点，M为它的顶点．A点在B点左侧，N为抛物线上的点．
（1）求抛物线解析式；
（2）若的面积．求N点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）将代入，列方程组并且解该方程组求出的值，即得到抛物线的解析式为；
（2）作轴，作交于点D，连接，先求得抛物线的顶点M的坐标为，作轴于点E，即可求得，再证明，则，而，所以，可知，过点D作交抛物线于点N、点，连接，则，再求得直线的解析式为，将其与抛物线的解析式联立方程组，解该方程组即可求得点N和点的坐标．
【小问1详解】
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
【小问2详解】
作轴，作交于点D，连接，
∵，
∴抛物线的顶点M的坐标为，
当时，则，
解得，，
∴，，
作轴于点E，则，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
过点D作交抛物线于点N、点，连接，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，
设直线DN的解析式为，则，
解得，
∴，
解方程组，得，，
∴或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标、勾股定理等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23. 如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
【答案】（1）BG＝AE，（2）成立：证明见解析；（3）AF＝．
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，证明△BDG≌△ADE即可得出结论；
（2）连接AD，证明△BDG≌△ADE即可得出结论；
（3）由（2）可得BG＝AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值；根据
可知当三点共线时候去最大值，此时旋转角度为270°时，根据勾股定理即可求得．
【详解】（1）BG＝AE，
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD＝DA，
又∵正方形DEFG中：GD＝DE，∠GDB＝∠EDA；
∴△BDG≌△ADE；
∴BG＝AE；
（2）成立：
证明：连接AD，
∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB＝90°，
∵EFGD为正方形，
∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，
∴∠ADG+∠ADE＝90°，
∴∠BDG＝∠ADE，
在△BDG和△ADE中，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG＝AE；
（3）由（2）可得BG＝AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值；
当三点共线时，取得最大值，此时旋转角度为270°时，
BG＝AE最大值为1+2＝3，
此时如图：
AF＝．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，线段和最值问题，掌握以上知识是解题的关键．