2022-2023学年河北省邯郸市二十三中九年级（上）期末数学试卷解析版

这是一份2022-2023学年河北省邯郸市二十三中九年级（上）期末数学试卷解析版，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列关系式中y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝5xB．C．D．xy＝3
2．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（ ）
A．3B．6C．5D．4
3．（3分）下列各选项：①两个边长不等的等边三角形；②两个边长不等的正方形；③两个边长不等的菱形；④两个斜边不等的等腰直角三角形，其中的两个图形一定相似的有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
4．（3分）在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为（ ）
A．12B．16C．18D．20
5．（3分）两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（ ）
A．75cm，115cmB．60cm，100cmC．85cm，125cmD．45cm，85cm
6．（3分）如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）与气体体积V（m3）成反比，其图象如图所示，当气球内的气压大于100P（kPa）时气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积V（m3）应满足（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）函数和y＝﹣kx+2（k≠0），在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）
A．12米B．米C．米D．米
10．（3分）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，AC＝1，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，S△ADE：S△ABC＝9：49，则EC的长是（ ）
A．4.5B．10.5C．14D．8
12．（2分）如图，Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO＝90°，反比例函数的图象经过另一条直角边AC的中点D，若S△AOC＝3，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
13．（2分）如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为（ ）
A．米B．米C．米D．6⋅cs52°米
14．（2分）如图，已知△ABC和△A'B'C是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△A'B'C的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣1，0），若点B的对应点B'的横坐标为5，则点B的横坐标为（ ）
A．﹣5B．﹣3C．D．﹣4
15．（2分）如图，F是线段CD上除端点外的一点，将△ADF绕正方形ABCD的顶点A按顺时针方向旋转90°，得到△ABE，连接EF交AB于点H，则下列结论正确的是（ ）
A．∠EAF＝120°B．EB：AD＝EH：HF
C．AF2＝EH⋅EFD．
16．（2分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论正确的有（ ）
①∠BAE＝30°；
②CE2＝AB•CF；
③CF＝CD；
④△ABE∽△AEF．
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（共3个小题，共12分）
17．（3分）在△ABC中，若，则∠C的补角是 ．
18．（3分）已知点A（3，a），B（1，b），C（﹣2，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c间的大小关系为 .（用“＜”连接）
19．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），P是第一象限内任意一点，连接PO、PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，则我们把（m°，n°）叫做点P的“双角坐标”．例如，点（2，2）的“双角坐标”为（45°，90°）．
（1）点的“双角坐标”为 ；
（2）若“双角坐标”为（60°，30°），则点坐标为 ；
（3）若点P到x轴的距离为1，则m+n的最小值为 ．
三、解答题（共66分）
20．（8分）计算：
（1）4cs45°+sin60°•tan30°﹣1；
（2）（﹣2022）0+2tan60°+|﹣4|﹣．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴的右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2B2C2的余弦值．
22．（8分）在一个不透明的袋子中，放有四张质地完全相同的卡片，分别标有数字﹣3，﹣2，1，6．
（1）随机抽出一张卡片是正数的概率是 ；
（2）第一次从袋中随机地抽出一张卡片，把所抽到的数字记为横坐标m，不放回袋中，再随机地从中抽出一张，把所抽到的数字记为纵坐标n．请用树状图或列表法求所得的点（m，n）在反比例函数上的概率．
23．（10分）如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．
24．（10分）如图，已知A（n，﹣4），B（2，8）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．
25．（10分）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距60海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；
（2）求救助船A、B分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
26．（12分）如图（1），在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝14cm，BC＝CD＝6cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），0＜t＜10．
（1）用含t的代数式表示AP；
（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；
（3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当△QMB为直角三角形时，直接写出t的值．
2022-2023学年河北省邯郸二十三中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分）
1．（3分）下列关系式中y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝5xB．C．D．xy＝3
【考点】反比例函数的定义．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的定义判断即可．
【解答】解：A．y＝5x，是正比例函数，故A不符合题意；
B．y＝（k为常数，k≠0）是反比例函数，故B不符合题意；
C．y＝，y不是x的反比例函数，故C不符合题意；
D．xy＝3，是反比例函数，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
2．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（ ）
A．3B．6C．5D．4
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例由DE∥BC得到，然后根据比例的性质可求出AE．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，
∴，
∴AE＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，正确记忆行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题关键．
3．（3分）下列各选项：①两个边长不等的等边三角形；②两个边长不等的正方形；③两个边长不等的菱形；④两个斜边不等的等腰直角三角形，其中的两个图形一定相似的有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【考点】相似图形．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】利用相似形的定义进行判断即可．
【解答】解：①两个边长不等的等边三角形一定相似，符合题意；
②两个边长不等的正方形一定相似，符合题意；
③两个边长不等的菱形的对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；
④两个斜边不等的等腰直角三角形一定相似，符合题意．
故选：C．
【点评】考查了相似形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边成比例的图形相似，难度不大．
4．（3分）在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为（ ）
A．12B．16C．18D．20
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：根据题意得：
＝0.2，
解得：a＝20，
经检验：a＝20是原分式方程的解，
答：a的值约为20；
故选：D．
【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
5．（3分）两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（ ）
A．75cm，115cmB．60cm，100cmC．85cm，125cmD．45cm，85cm
【考点】相似三角形的性质．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比列出方程，解方程即可．
【解答】解：设小三角形的周长为xcm，则大三角形的周长为（x+40）cm，
由题意得，＝，
解得，x＝75，
则x+40＝115，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长的比等于相似比是解题的关键．
6．（3分）如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】几何概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】用黑砖的面积除以总面积即可得出答案．
【解答】解：由图知，若设方砖的边长为a，
则地板的总面积为5a×4a＝20a2，黑砖的面积为20a2﹣（3a×3a+2a×4a+a×5a）＝9a2，
∴小球最终停留在黑砖上的概率是＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
7．（3分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）与气体体积V（m3）成反比，其图象如图所示，当气球内的气压大于100P（kPa）时气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积V（m3）应满足（ ）
A．B．C．D．
【考点】反比例函数的应用；函数关系式．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设函数解析式为P＝，把点（2.4，50）的坐标代入函数解析式求出k值，可求出函数关系式；依题意P≤100，即≤100，解不等式即可．
【解答】解：设P与V的函数关系式为P＝，
则k＝2.4×50，
解得k＝120，
∴函数关系式为P＝（V＞0）．
根据题意可知，P≤100KPa，即≤100，
解得V≥，
∴为了安全起见，气体的体积应不小于m3．
故答案为：C．
【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．
8．（3分）函数和y＝﹣kx+2（k≠0），在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】反比例函数的性质；一次函数的图象；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观．
【答案】A
【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．
【解答】解：在函数y＝（k≠0）和y＝﹣kx+2（k≠0）中，
当k＞0时，函数y＝（k≠0）的图象位于第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、四象限，故选项B错误，选项A正确，
当k＜0时，函数y＝（k≠0）的图象位于第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、三象限，故选项C，D错误，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
9．（3分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）
A．12米B．米C．米D．米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据迎水坡AB的坡比为1：，可得＝1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度．
【解答】解：Rt△ABC中，BC＝6米，＝1：，
∴AC＝BC×＝6（米），
∴AB＝＝＝12（米）．
故选：A．
【点评】此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，AC＝1，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】解直角三角形；含30度角的直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．
【解答】解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，BC＝＝AC．
∵AC＝1，
∴AB＝2，
∵BD＝BA＝2，
∴BC＝，
∴DC＝BD+BC＝2+，
∴tan∠DAC＝＝2+．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题．
11．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，S△ADE：S△ABC＝9：49，则EC的长是（ ）
A．4.5B．10.5C．14D．8
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据相似三角形的性质得出的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∵S△ADE：S△ABC＝9：49，
∴＝，即＝，
解得AC＝14，
∴EC＝14﹣6＝8．
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
12．（2分）如图，Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO＝90°，反比例函数的图象经过另一条直角边AC的中点D，若S△AOC＝3，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】由直角边AC的中点是D，S△AOC＝3，于是得到S△CDO＝S△AOC＝，由于反比例函数y＝经过另一条直角边AC的中点D，CD⊥x轴，即可得到结论．
【解答】解：∵直角边AC的中点是D，S△AOC＝3，
∴S△CDO＝S△AOC＝，
∵反比例函数y＝经过另一条直角边AC的中点D，CD⊥x轴，
∴k＝2S△CDO＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，求得D点的坐标是解题的关键．
13．（2分）如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为（ ）
A．米B．米C．米D．6⋅cs52°米
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义解答．
【解答】解：∵cs∠ACB＝＝＝cs52°，
∴AC＝米．
故选：C．
【点评】本题是一道实际问题，要将其转化为解直角三角形的问题，用三角函数解答．
14．（2分）如图，已知△ABC和△A'B'C是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△A'B'C的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣1，0），若点B的对应点B'的横坐标为5，则点B的横坐标为（ ）
A．﹣5B．﹣3C．D．﹣4
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】D
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，过点B′作B′E⊥x轴于点E，根据平行线分线段成比例定理得到＝，根据相似三角形的性质求出＝，计算即可．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，过点B′作B′E⊥x轴于点E，
则BD∥B′E，
∴＝，
∵△ABC和△A'B'C的周长之比为1：2，
∴＝，
由题意得：CE＝1+5＝6，
∴＝，
解得：DC＝3，
∴OD＝4，即点B的横坐标为﹣4，
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出＝是解题的关键．
15．（2分）如图，F是线段CD上除端点外的一点，将△ADF绕正方形ABCD的顶点A按顺时针方向旋转90°，得到△ABE，连接EF交AB于点H，则下列结论正确的是（ ）
A．∠EAF＝120°B．EB：AD＝EH：HF
C．AF2＝EH⋅EFD．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】由已知可得△ABE≌△ADF，从而得到∠EAB＝∠DAF，AE＝AF；由∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，可知A不正确；由∠EAF＝90°，AE＝AF，可知△AEF是等腰直角三角形，所以EF＝AE，则D不正确；若AF2＝EH•EF成立，可得EH＝EF，即H是EF的中点，而H不一定是EF的中点，故C不正确；由AB∥CD，由平行线分线段成比例可得EB：BC＝EH：HF，故B正确．
【解答】解：∵△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠EAB＝∠DAF，
∴∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，
故A不正确；
∵∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AE，
∴AE：EF＝1：，
故D不正确；
若AF2＝EH•EF成立，
∵AE：EF＝1：，
∴EH＝AF，
∴EH＝EF，
即H是EF的中点，H不一定是EF的中点，
故C不正确；
∵AB∥CD，
∴EB：BC＝EH：HF，
∵BC＝AD，
∴EB：AD＝EH：HF，
故B正确；
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，三角形的旋转；抓住三角形旋转的本质，旋转前后的三角形全等，得到△AEF是等腰直角三角形是解本题的关键．
16．（2分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论正确的有（ ）
①∠BAE＝30°；
②CE2＝AB•CF；
③CF＝CD；
④△ABE∽△AEF．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】相似三角形的判定；正方形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：△BAE∽△CEF，则可证得②正确，①③错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE∽△AEF，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴，
∵BE＝CE，
∴CE2＝AB•CF．
∵AB＝2CE，
∴CF＝，
故②正确，③错误，
∴tan∠BAE＝＝，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，
∴＝，．
∴，
∵∠ABE＝∠AEF＝90°，
∴△ABE∽△AEF，故④正确．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及正方形的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（共3个小题，共12分）
17．（3分）在△ABC中，若，则∠C的补角是 105° ．
【考点】余角和补角；特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】105°．
【分析】根据非负数的性质得到sinA＝，tanB＝，根据特殊角的三角函数值得到∠A＝45°，∠B＝60°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣tanB＝0，
则sinA＝，tanB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
∠C的补角为：180°﹣75°＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．（3分）已知点A（3，a），B（1，b），C（﹣2，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c间的大小关系为 c＜a＜b .（用“＜”连接）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；数据分析观念．
【答案】c＜a＜b．
【分析】根据反比例函数的性质，即可判断出a，b，c正负情况，结合函数的增减性，即可得到答案．
【解答】解：∵k2+1＞0，
∴反比例函数的图象上的点，当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，
∵点A（3，a），B（1，b），C（﹣2，c）都在反比例函数的图象上，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∵反比例函数的图象上的点，当x＞0时，y随着x的增大而减小，
又∵1＜3，
∴b＞a，
综上可知：c＜a＜b．
故答案为：c＜a＜b．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数图象的增减性是解题的关键．
19．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），P是第一象限内任意一点，连接PO、PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，则我们把（m°，n°）叫做点P的“双角坐标”．例如，点（2，2）的“双角坐标”为（45°，90°）．
（1）点的“双角坐标”为 （60°，60°） ；
（2）若“双角坐标”为（60°，30°），则点坐标为 （，） ；
（3）若点P到x轴的距离为1，则m+n的最小值为 90 ．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】（1）（60°，60°）；
（2）（，）；
（3）90．
【分析】（1）分别求出tan∠POA、tan∠PAO即可得∠POA、∠PAO的度数，从而得出答案；
（2）根据∠POA、∠PAO的度数和tan∠POA、tan∠PAO的值可求坐标；
（3）根据三角形内角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，则∠OPA需取得最大值，OA中点为圆心，1为半径画圆，与直线y＝1相切于点P，由∠OPA＝∠1＞∠OP′A知此时∠OPA最大，∠OPA＝90°，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点（1，），
∴tan∠POA＝＝，
∴∠POA＝60°，
∴OP＝＝2，
∴OP＝OA，
∴△OPA是等边三角形，
∴∠POA＝60°，∠PAO＝60°，
即点P的“双角坐标”为（60°，60°），
故答案为：（60°，60°），
（2）∵若“双角坐标”为（60°，30°），如图，过P点作PB⊥OA于点B，
∴∠POA＝60°，∠PAO＝30°，
设PB＝a，则OB＝＝a，
AB＝＝，
OA＝OB+AB＝＝2，
∴a＝，
PB＝，OB＝×＝，
故坐标为：（，），
（3）根据三角形内角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，
则∠OPA需取得最大值，
如图，
∵点P到x轴的距离为1，OA＝2，
∴OA中点为圆心，1为半径画圆，与直线y＝1相切于点P，
在直线y＝1上任取一点P′，连接P′O、P′A，P′O交圆于点Q，
∵∠OPA＝∠1＞∠OP′A，
此时∠OPA最大，∠OPA＝90°，
∴m+n的最小值为90，
故答案为：90．
【点评】本题主要考查坐标与图形的性质、锐角的三角函数、三角形的内角和定理、外角的性质及圆周角定理，根据内角和定理推出m+n取得最小值即为∠OPA取得最大值，且找到满足条件的点P位置是关键．
三、解答题（共66分）
20．（8分）计算：
（1）4cs45°+sin60°•tan30°﹣1；
（2）（﹣2022）0+2tan60°+|﹣4|﹣．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）2﹣；
（2）2+2．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而得出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝4×+×﹣1
＝2+﹣1
＝2﹣；
（2）原式＝1+2×+4﹣3
＝1+2+4﹣3
＝2+2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴的右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2B2C2的余弦值．
【考点】作图﹣位似变换；解直角三角形；作图﹣平移变换．
【专题】尺规作图；运算能力．
【答案】（1）如图所示，△A1B1C1为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2为所求，．
【分析】（1）如图所示，作出所求三角形；
（2）如图所示，作出所求三角形，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，利用勾股定理及锐角三角函数定义求出所求即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2为所求，
由图形可得：∠A2C2B2＝∠ACB，
过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），
故AD＝2，CD＝6，AC＝＝2，
则sin∠ACD＝＝＝，即sin∠A2C2B2＝sin∠ACB＝．
【点评】此题考查了作图﹣位似变换，平移变换，以及解直角三角形，熟练掌握位似及平移的性质是解本题的关键．
22．（8分）在一个不透明的袋子中，放有四张质地完全相同的卡片，分别标有数字﹣3，﹣2，1，6．
（1）随机抽出一张卡片是正数的概率是 ；
（2）第一次从袋中随机地抽出一张卡片，把所抽到的数字记为横坐标m，不放回袋中，再随机地从中抽出一张，把所抽到的数字记为纵坐标n．请用树状图或列表法求所得的点（m，n）在反比例函数上的概率．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；概率公式；列表法与树状图法．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）；（3）．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，所得的点（m，n）在反比例函数y＝上的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）随机抽出一张卡片是负数的概率为＝，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，所得的点（m，n）在反比例函数y＝上的结果有4个，
∴所得的点（m，n）在反比例函数y＝上的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．
【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）△ABE和△DFA都是直角三角形，还需一对角对应相等即可．根据AD∥BC可得∠DAF＝∠AEB，问题得证；
（2）运用相似三角形的性质求解．
【解答】（1）证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°． （1分）
∴∠B＝∠AFD＝90°． （2分）
又∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB． （3分）
∴△ABE∽△DFA． （4分）
（2）解：∵AB＝6，BE＝8，∠B＝90°，
∴AE＝10． （6分）
∵△ABE∽△DFA，∴＝． （7分）
即＝．
∴DF＝7.2． （8分）
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的性质、勾股定理等知识点，难度中等．
24．（10分）如图，已知A（n，﹣4），B（2，8）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y＝2x+4，y＝；
（2）8；
（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）在y＝2x+4中，令x＝0，得C得坐标．根据三角形面积公式可求结果．
（3）由一次函数与反比例函数的图象可知，不等式的解集．
【解答】解：（1）∵B点（2，8）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝2×8＝16，
∴反比例函数解析式为y＝，
又∵A（n，﹣4）在y＝的图象上，
∴A（﹣4，﹣4），
∵A（﹣4，﹣4），B（2，8）两点在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+4；
（2）在y＝2x+4中，令x＝0可得y＝4，
∴C点坐标为（0，4），
∴OC＝4，
又∵A为（﹣4，﹣4），
∴A到OC的距离为4，
∴S△AOC＝×4×4＝8；
（3）∵由一次函数与反比例函数的图象可知，
不等式kx+b＜的解集是x＜﹣4或0＜x＜2．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数和一次函数的性质．函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
25．（10分）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距60海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；
（2）求救助船A、B分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）30海里；（2）救助船B先到达．
【分析】（1）作PC⊥AB于C，则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得：PA＝60海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，由直角三角形的性质得出PC＝PA＝30海里，△BCP是等腰直角三角形，得出PB＝PC＝30海里即可；
（2）求出救助船A、B所用的时间，即可得出结论．
【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA＝∠PCB＝90°，
由题意得：PA＝60海里，∠A＝30°，∠CBP＝45°，
在Rt△ACP中，∵∠CAP＝30°，∠PCA＝90°，
∴PC＝PA＝30海里，
在Rt△BCP中，∵∠PCB＝90°，∠CBP＝45°，sin∠CBP＝，
∴PB＝＝＝30（海里），
答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为30海里；
（2）∵PA＝60海里，PB＝30海里，救助船A，B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，
∴救助船A所用的时间为＝3（小时），救助船B所用的时间为＝2（小时），
∵3＞2，
∴救助船B先到达．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．
26．（12分）如图（1），在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝14cm，BC＝CD＝6cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），0＜t＜10．
（1）用含t的代数式表示AP；
（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；
（3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当△QMB为直角三角形时，直接写出t的值．
【考点】相似形综合题．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）AP＝10﹣t；
（2）t＝或t＝；
（3）t＝或t＝．
【分析】（1）作DH⊥AB于H，得四边形DHBC是矩形，根据矩形的性质得CD＝BH＝DH＝BC＝6，由勾股定理得AD＝10；
（2）①当＝时，得出以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似的t值；②当＝时，得出以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似的t值；
（3）①当∠QMB＝90°时，△QMB即为直角三角形，过P作PN⊥AB于N，根据相似三角形的判定得△PNQ∽△BHD，由相似三角形性质推出又由△ANP∽△AHD，根据相似三角形的性质得当t＝10s时，∠QMB＝90°，即△QMB为直角三角形；②当∠MQB＝90°时，△QMB即为直角三角形，根据相似三角形得判定得△APQ∽△ADH，根据相似的性质可得t的值．
【解答】解：（1）如图（1）作DH⊥AB于H，
则四边形DHBC是正方形，
∴CD＝BH＝DH＝BC＝6，
∴AH＝AB﹣BH＝14﹣6＝8，
AD＝＝＝10，
由题意，AP＝AD﹣DP＝10﹣t；
（2）①当＝时，
得＝，
解得t＝；
∴当t＝时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似；
②当＝时，
得＝，
解得t＝，
当t＝时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似，
综上t＝或t＝；
（3）①当∠QMB＝90°时，△QMB即为直角三角形，
如图（2），过P作PN⊥AB于N，
∴∠PNQ＝∠BHD，
∵当∠QMB＝90°时，∠PQN+∠DBH＝90°，
∵∠PQN+∠QPN＝90°，
∴∠QPN＝∠DBH，
在△PNQ和△BHD中，
，
∴△PNQ∽△BHD，
∴＝＝1，
又由△ANP∽△AHD，
∴＝＝＝，
＝＝＝，
∴AN＝AP＝（10﹣t），
PN＝AP＝（10﹣t）＝6﹣t，
∴QN＝AN﹣AQ＝8﹣t，
∴＝1，
解得t＝，
经检验，t＝是分式方程的解，
∴当t＝时，∠QMB＝90°，即△QMB为直角三角形；
②当∠MQB＝90°时，△QMB即为直角三角形，
如图（3）所示，
∠A＝∠A，∠MQB＝∠AHD＝90°，
则△APQ∽△ADH，
∴＝＝＝，
∴＝，
解得t＝，
经检验，t＝是分式方程的解，
∴当t＝时，∠MQB＝90°，即△QMB为直角三角形，
综上所述，当t＝或t＝时，△QMB为直角三角形．
【点评】本题考查相似的综合知识的应用，解本题的关键是要熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质等基本知识点，注意分类讨论的应用．