(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第01讲 直线的方程 (高频考点，精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：直线的倾斜角与斜率
题型二：求直线的方程
题型三：直线方程的综合应用
角度1：直线过定点问题
角度2：与直线方程有关的最值问题
角度3：其它综合问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：直线的倾斜角
以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
（1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：；
特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为.
（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.
知识点二：直线的斜率
1、我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率通常用字母表示，即
（1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；
（2）倾斜角时，直线的斜率不存在.
2、如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。
知识点三：直线方程的五种形式
1、直线的点斜式方程
2、直线的斜截式方程
3、直线的两点式方程
4、直线的截距式方程
5、直线的一般式方程
定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中
,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.
3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：直线的倾斜角与斜率
典型例题
例题1．（2022·辽宁鞍山·高二期中）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·山东·青岛超银高级中学高二阶段练习）经过两点，的直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2022·河南·郑州市第九中学高二阶段练习）若直线的斜率满足，则该直线的倾斜角的范围是______．
例题4．（2022·吉林吉林·高二期中）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题5．（2022·山东·济宁市育才中学高二阶段练习）已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或或
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）直线的倾斜角为（ ）
A．120°B．60°C．30°D．150°
2．（2022·全国·高三专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·广东·深圳市南头中学高二期中）已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））若直线过点，则此直线的斜率是_____________．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 ：，直线不过第四象限，求的范围.
题型二：求直线的方程
典型例题
例题1．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））过点且与直线平行的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·山东菏泽·高二期中）过点与的直线的一般式方程为___________.
例题3．（2022·重庆八中高二期中）经过点，且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））已知顶点
(1)求边上中线所在的直线方程
(2)求边上高线所在的直线方程．
例题5．（2022·浙江杭州·高二期中）己知直线和直线的交点为.
(1)求过点且与直线平行的直线方程；
(2)若直线 与直线垂直，且到 的距离为，求直线的方程.
同类题型归类练
1．（2022·北京·汇文中学高二期中）已知直线在轴上的截距为-2，则此直线方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·福建福州·高二期中）直线过点，则直线的方程为_________________．
3．（2022·宁夏·平罗中学高二期中（理））过点且与直线平行的直线的方程是__________________.
4．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高二期中）求直线L的方程：
(1)求过点且与直线平行的直线的一般式方程；
(2)求过点且与直线垂直的直线的一般式方程.
5．（2022·江苏·赣榆智贤中学高二阶段练习）已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程．
(1)BC边上的高线的方程；
(2)BC边的垂直平分线的方程．
题型三：直线方程的综合应用
角度1：直线过定点问题
典型例题
例题1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高二期中）已知直线，当实数变化时，恒过点（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）已知直线恒过定点，恒过定点，则点与点的距离为________．
同类题型归类练
1．（2022·江苏省仪征中学高二期中）直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）直线必过定点（ ）
A．B．C．D．
角度2：与直线方程有关的最值问题
典型例题
例题1．（2022·江西·南昌县莲塘第一中学高二阶段练习）点到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
例题2．（2022·山东·梁山县第一中学高二阶段练习）已知，直线过定点，过定点，直线与相交于点，则的最大值为______．
例题3．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）已知直线．
(1)判断直线是否过定点，如果过定点求出此定点，不过说明理由；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点B，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
同类题型归类练
1．（2022·天津蓟州·高二期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·湖南省祁东县育贤中学高二阶段练习）设，已知直线l1：，过点作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是 __．
3．（2022·新疆·乌市八中高二期中）已知直线.O为坐标原点，直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点.
(1)设直线所过定点为，求过点且与垂直的直线方程.
(2)记，求的最小值.
角度3：其它综合问题
典型例题
例题1．（2022·天津·南开大学附属中学高二期中）已知的顶点坐标分别是，，.
(1)求边上的中线所在直线的方程；
(2)求过点且与直线平行的直线方程；
(3)若点，当时，求直线倾斜角的取值范围．
例题2．（2022·山东省郓城第一中学高二期中）已知三条直线；，，：，且原点到直线的距离是．
(1)求的值；
(2)若，能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的2倍；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由．
例题3．（2022·湖南益阳·高二期中）已知点，，点关于直线的对称点为点
(1)求点坐标；
(2)在中，，求面积的最大值．
例题4．（2022·江苏省震泽中学高二阶段练习）一条直线经过点.分别求出满足下列条件的直线方程.
(1)与直线垂直；
(2)交轴､轴的正半轴于，两点，当三角形的面积最小值时直线方程.
同类题型归类练
1．（2022·海南·琼山中学高二期中）已知平面直角坐标系中，点.
(1)若M为的中点，求直线的斜率；
(2)求点C到直线的距离.
2．（2022·浙江杭州·高二期中）已知圆C的半径为3，圆心C在射线上，直线被圆C截得的弦长为
(1)求圆C方程;
(2)过点的直线l与圆C交于M、N两点，且的面积是为坐标原点，求直线l的方程.
3．（2022·浙江杭州·高二期中）已知直线
(1)求证：直线l过定点，并求出此定点;
(2)求点到直线l的距离的最大值.
4．（2022·广东·深圳中学高二期中）己知直线．
(1)若直线不经过第一象限，求k的取值范围；
(2)若直线交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线的方程．已知条件（使用前提）
直线过点和斜率（已知一点+斜率）
图示
点斜式方程形式
适用条件
斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
已知条件（使用前提）
直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）
图示
点斜式方程形式
适用条件
斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
已知条件（使用前提）
直线上的两点，（，）（已知两点）
图示
点斜式方程形式
适用条件
斜率存在且不为0；
当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程
已知条件（使用前提）
直线在轴上的截距为，在轴上的截距为
图示
点斜式方程形式
适用条件
，