(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念 (高频考点—精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念 (高频考点—精讲）（2份，原卷版+解析版），文件包含艺考基础新高考数学一轮复习精讲精练第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念高频考点精讲原卷版doc、艺考基础新高考数学一轮复习精讲精练第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念高频考点精讲解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：象限角、区域角、终边相同的角
角度1:象限角 角度2:区域角 角度3角:终边相同的角
高频考点二：角度制与弧制度的相互转化
高频考点三：弧长公式与扇形面积公式
角度1：弧长的有关计算
角度2：与扇形面积有关的计算
角度3：扇形弧长公式与面积公式的应用
高频考点四：任意角的三角函数
角度1：单位圆法与三角函数
角度2：终边上任意点法与三角函数
角度3：三角函数值符号的判定
高频考点五：解三角不等式
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
③终边相同的角：
终边与角相同的角可写成．
2、弧度制的定义和公式
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．
④弧度与角度的换算：；．
若一个角的弧度数为，角度数为，则，．
3、任意角的三角函数
3.1.单位圆定义法：
任意角的三角函数定义：设是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点，那么
（1）点的纵坐标叫角α的正弦函数，记作；
（2）点的横坐标叫角α的余弦函数，记作；
（3）点的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作（）.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
3.2.终边上任意点法：
设是角终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为（）那么：
；；（）
4、扇形的弧长及面积公式
(1)弧长公式
在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
5、三角函数线
6、常用结论
（1）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
（2）角度制与弧度制可利用进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，不可混淆.
（3）象限角：
（4）轴线角
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2021·北京·高一期中）化成弧度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：.
故选：B.
2．（2021·全国·高一专题练习）喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（ ）
A．30°B．﹣30°C．60°D．﹣60°
【答案】D
【详解】因为分针为顺时针旋转，所以10分钟时间钟表的分针走过的角度是 .
故选：D．
3．（2021·四川成都·高三开学考试（文））已知点为角的终边上的一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为点为角的终边上的一点，
所以，
故选：C
4．（2021·甘肃平凉·高一期末）已知角的终边经过，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意，
故选：A
5．（2021·四川·德阳五中高一阶段练习）半径为，面积等于的扇形的圆心角的大小是_________.
【答案】##
【详解】设扇形圆心角大小为，则，解得：.
故答案为：.
6．（2021·全国·高一课时练习）（1）如果，，则是第几象限角．
（2）若，则是第几象限角．
（3）若与异号，则是第几象限角．
（4）若与同号，则是第几象限角．
【答案】（1）第一象限角；（2）第二或第三象限角；（3）第二或第四象限角；（4）第一或第二象限角.
【详解】（1），，，由知：为第一象限角；
（2），，是第二或第三象限角；
（3）与异号，即或，是第二或第四象限角；
（4）与同号，即或，是第一或第二象限角.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：象限角、区域角、终边相同的角
角度1:象限角
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为轴的非负半轴，下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角
B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
C．第二象限角必大于第一象限角
D．钝角的终边在第二象限
【答案】D
【详解】－330°角是第一象限角，且是负角，故A错误；
三角形的内角可能为90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B错误；
α＝390°为第一象限角，β＝120°为第二象限角，此时α＞β，故C错误；
钝角是大于90°且小于180°的角，它的终边在第二象限，故D正确．
故选：D．
例题2．（2022·湖南·长沙市明德中学高一期末）已知角，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【详解】因为，所以是第四象限角．
故选：D．
例题3．（多选）（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）已知是第一象限角，那么可能是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】AC
【详解】解：是第一象限角，，，
，，
当取偶数时，是第一象限角，当取奇数时，是第三象限角，
故选：AC．
题型归类练
1．（2022·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．第二象限角大于第一象限角
B．若，则为第一或第二象限角
C．钝角一定是第二象限角
D．三角形的内角是第一或第二象限角
【答案】C
【详解】对A选项，如，故A错误.
对B选项，为第一或第二象限角或终边落在y轴正半轴上的角．故B错误.
对C选项，因为钝角大于90°且小于180°，所以钝角一定是第二象限角，故C正确.
对D选型，当三角形的一个内角为90°时，不是象限角，故D错误.
故选: C.
2．（2022·山东烟台·高一期末）已知是第三象限角，则可能是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】BD
【详解】因为是第三象限角，所以，，
，，
当为偶数时，是第二象限角；当为奇数时，是第四象限角，
故选：.
角度2:区域角
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤≤2nπ＋(n∈Z)，此时的终边和0≤≤的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤≤2nπ＋π＋ (n∈Z)，此时的终边和π≤≤π＋的终边一样．
故选：B．
例题2．（2021·全国·高一课时练习）若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】当取偶数时，，，
故角的终边在第一象限.
当取奇数时，，，
故角的终边在第三象限.
故选：C.
例题3．（2022·湖北·武汉中学高一阶段练习）集合中，角所表示的取值范围（阴影部分）正确的是___________（填序号）.
【答案】③
【详解】当时，集合，当时，集合，
则可得出角所表示的取值范围为③.
故答案为：③.
题型归类练
1．（2020·宁夏·隆德县中学高三阶段练习（理））已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】令，则，故B选项符合.
故选：B
2．（2020·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：在间阴影部分区域中边界两条终边表示的角分别为，.
所以阴影部分的区域在间的范围是.
所以终边在阴影部分区域的角的集合为：.
故选：C.
角度3角:终边相同的角
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）终边落在直线上的角的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】易得的倾斜角为，当终边在第一象限时，，；当终边在第三象限时，，．所以角的集合为．
故选：B
例题2．（2022·全国·高一课时练习）与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】CD
【详解】解：由弧度和角度不能在同一个表达式中，故选项A，B错误，与终边相同的角的集合是，经验证选项C，D正确.
故选：CD
例题3．（2022·上海·华东政法大学附属中学高一期中）终边在直线上的角构成的集合可以表示为_________.
【答案】
【详解】∵角的终边在直线上，
∴角的终边在一、三象限的角平分线上，
∴．
故答案为：．
题型归类练
1．（2022·辽宁朝阳·高一阶段练习）终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】终边为第一象限的平分线的角的集合,①
终边为第三象限的平分线的角的集合是②,
由①②得
故选：B
2．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一阶段练习）终边落在第四象限内的角的集合可表示为______________.
【答案】
【详解】终边落在第四象限内的角的集合可表示为.
故答案为：.
高频考点二：角度制与弧制度的相互转化
典型例题
例题1．（2022·广西·阳朔县阳朔中学高一阶段练习）把化为弧度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，
故选：B
例题2．（2022·全国·高一课时练习）将改写成的形式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，
所以转化弧度为.
故选：C
题型归类练
1．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）已知，若与的终边相同，且，则___________.
【答案】
【详解】因，所以在间与的终边相同的角为，
依题意，.
故答案为：
高频考点三：弧长公式与扇形面积公式
角度1：弧长的有关计算
典型例题
例题1．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知边长为的等边的外接圆圆心为，则所对的劣弧长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为边长为的等边的外接圆圆心为O，则O为等边的中心，故，且，故所对的劣弧长为
故选：D
例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知某扇形的圆心角为弧度，其所对的弦长为，则该扇形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意得：扇形的半径，则该扇形的弧长，
该扇形的周长为.
故选：D.
例题3．（2022·四川·遂宁中学高一开学考试）已知某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积，
由扇形的面积公式,得，解得，
由弧长公式，
故选：B
题型归类练
1．（2022·陕西西安·高一期末）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制（Dense psitin system），密位制的单位是密位.1密位等于圆周角的，即密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成0-03，123密位写成1-23，设圆的半径为1，那么5-00密位的圆心角所对的弧长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】5-00密位的圆心角的弧度为，则5-00密位的圆心角所对的弧长为.
故选：A
2．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）在半径为10的圆中，圆心角为的扇形所对的弧的长度为_________.
【答案】##
【详解】解：因为，即，又，
所以弧长.
故答案为：
3．（2022·甘肃酒泉·高一期末）已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为___________.
【答案】
【详解】设扇形的半径为r，由扇形的面积公式得：，解得，该扇形的弧长为.
故答案为：.
角度2：与扇形面积有关的计算
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为，，相同的圆心角为，则，得，又因为，所以，，
该扇形玉雕壁画面积
（）．
故选：D．
例题2．（2022·天津·南开中学模拟预测）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】解：设，则，所以，即，
所以，
故选：C
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的圆心角为，其周长是，则该扇形的面积是___．
【答案】
【详解】设扇形的半径为，弧长是，则其扇形周长是，解得，故该扇形的面积是．
故答案为：.
2．（2022·四川·宁南中学高一阶段练习（文））折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是______．
【答案】##
【详解】由题意可得，扇形AOB的面积是，
扇形COD的面积是．
则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是．
故答案为：
3．（2022·江苏·高三专题练习）如图，扇形的圆心角为，半径长为6，弓形的面积为__________．
【答案】
【详解】因为：
所以：
所以： 的长为4π．
因为：
如图所示，
有 （D为AB中点） ．
所以：S弓形ACB=S扇形OAB-S△OAB=．
所以：弓形ACB的面积为．
角度3：扇形弧长公式与面积公式的应用
典型例题
例题1．（2022·广西·浦北中学高一期中）（1）若某扇形的圆心角为75°，半径为，求扇形的面积？
（2）若一扇形的周长为，那么当它的半径和圆心角各为多少时，扇形的面积达到最大？最大值是多少？
【答案】（1）；（2），时，．
【详解】（1）因为，
扇形面积，
（2）设扇形的弧长为，半径为，
，得，，
扇形的面积，
当时，扇形面积达到最大，最大值是，
此时，圆心角，
所以当半径，圆心角时，扇形面积达到最大，最大值是.
例题2．（2022·全国·高一课时练习）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
（1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；
（2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，，
∴，即，得，
∴弧田面积，而，
∴.
（2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积，
∴当且仅当时等号成立.
∴当时，该扇形面积最大.
题型归类练
1．（2022·山东·广饶一中高一阶段练习）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为.
（1）若， ，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积.
【答案】（1）；（2），.
（1）∵， ,∴
（2）设扇形的弧长为，则，即（）,
扇形的面积，
所以当且仅当时， 有最大值36，
此时,∴
2．（2022·全国·高一课时练习）在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．
（1）求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；
（2）比较两种方案中的扇形面积的大小．
【答案】（1）； （2），.
【详解】（1）由题意，顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料中裁剪扇形，
方案一：可得，所以扇形的周长为；
方案二：可得，所以扇形的周长为，
所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值.
（2）由（1），根据扇形的面积公式，可得
方案一：扇形面积为；
方案二：扇形面积为.
高频考点四：任意角的三角函数
角度1：单位圆法与三角函数
典型例题
例题1．（2022·新疆伊犁·高一期末）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据三角函数的定义可知，．
故选：A．
例题2．（2022·河南省嵩县第一高级中学高一阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】在单位圆中，，解得，故.
故选：C.
题型归类练
1．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边与单位圆的交点为 ，则 ______.
【答案】##0.45
【详解】角α的终边与单位圆的交点为，则，，
则
故答案为：
2．（多选）（2022·江西·高一期中）已知角的终边与单位圆交于点，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】由题意可得，解得．
当时，；
当时，．
故A，C正确，B，D错误．
故选：AC
角度2：终边上任意点法与三角函数
典型例题
例题1．（2022·北京师大附中高一期末）若点在角的终边上，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵点在角的终边上，
∴.
故选:B.
例题2．（2022·北京·高一期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据正弦函数的定义可得.
故选：D.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知角的终边上有一点，则的值是（ ）
A．B．C．或D．不确定
【答案】B
【详解】角的终边上点，则，
于是得，
所以.
故选：B
例题4．（2022·全国·高一课时练习）若角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由三角函数的定义可得，
解得，因此．
故选：D.
题型归类练
1．（2022·浙江舟山·高二期末）已知角顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则___________.
【答案】
【详解】由三角函数定义知：.
故答案为：.
2．（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高三开学考试）已知点是角终边上一点， ，则__________．
【答案】
【详解】因为是角终边上一点， ，
所以，
解得（舍去），或，
故答案为：
3．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二期末（文））（1）已知角的终边过点，且，求的值；
【答案】（1）；
【详解】解：（1）因为角的终边过点，且，
所以，解得，即，所以，
所以，，
所以；
角度3：三角函数值符号的判定
典型例题
例题1．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）若角满足，，则角所在的象限是（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】解：由知，是一、三象限角，
由知，是三、四象限角或终边在y轴负半轴上，
故是第三象限角．
故选：C
例题2．（2022·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）如果点位于第二象限，那么角所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】∵M(sin θ，cs θ)位于第二象限，∴
∴θ为第四象限角.
故选：D.
例题3．（多选）（2022·全国·高一课时练习）给出下列各三角函数值：①；②；③；④.其中符号为负的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】ABC
【详解】解：对①：因为为第三象限角，所以；
对②：因为为第二象限角，所以；
对③：因为2弧度角为第二象限角，所以；
对④：因为1弧度角为第一象限角，所以；
故选：ABC.
题型归类练
1．（2022·全国·高一课时练习）点落在（ ）
A．第一象限内B．第二象限内C．第三象限内D．第四象限内
【答案】D
【详解】因为，
所以点落在第四象限内.
故选: D.
2．（2022·北京市第九中学高一期中）若，且，则角是（ ）
A．第一象限的角B．第二象限的角
C．第三象限的角D．第四象限的角
【答案】D
【详解】解：因为，且，所以角是第四象限的角
故选：D
3．（多选）（2022·福建·上杭一中高二学业考试）如果，则可能是（ ）
A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角
【答案】BC
【详解】根据余弦函数的定义，，其中，
所以，即，
所以在象限角中，可能是第二象限角或第三象限的角.
故选：BC
高频考点五：解三角不等式
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）作直线交单位圆于、两点，连接、，
则与围成的区域（阴影部分）即为角的终边的范围，故满足条件的角的
集合为．
（2）作直线交单位圆于、两点，连接、，
则与围成的区域（图中阴影部分）即为角终边的范围．
故满足条件的角的集合为.
题型归类练
1（2022·全国·高一课时练习）求函数的定义域.
【答案】
【详解】解:由题意得,自变量x应满足不等式组,即.如图中阴影部分所示,则所求定义域为.
2．（2021·全国·高一课时练习）求函数的定义域．
【答案】
【详解】要使原函数有意义，有，即．
如图，在单位圆中由可知角x的终边落在由OA，OB及劣弧AB围成的区域内（不含边界）．
由可知角x的终边落在由OC，OD及优弧CD围成的区域内（含边界），
所以，
所以原函数的定义域为．
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
2．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．
【答案】（满足即可）
【详解】与关于轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
角
不存在
三角函数线


正弦线：
余弦线：
正切线：
角度制
弧度制
象限角
集合
区间
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
角终边所在位置
角度制
弧度制
角终边在轴非负半轴
角终边在轴非正半轴
角终边在轴非负半轴
角终边在轴非正半轴
角终边在轴上
角终边在轴上
角终边在坐标轴上