(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念 (高频考点—精练）（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）将化为的形式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由知.
故选：B.
2．（2022·全国·高一课时练习）如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为（ ）
A．B．14πC．24πD．10π
【答案】B
【详解】扇形ABD的半径为1，圆心角为，所以的长，
同理可得之后的各段弧长分别为，，，
，，
所以“螺旋蚊香”图案的总长度.
故选：B．
3．（2022·全国·高一课时练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：将分针拨慢是逆时针旋转，所以分针拨慢分钟，转过的角为．
故选：C
4．（2022·北京师大附中高一期末）若点在角的终边上，则tan＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵点在角的终边上，
∴.
故选:B.
5．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】A
【详解】由，得，，，代入原式得．
故选：A
6．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为角的终边与单位圆交于点，
所以根据三角函数的定义可知，．
故选：C．
7．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）若满足，则的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】由可知的终边在第三象限或第四象限，又，则的终边在第三象限.故选：C.
8．（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】C
【详解】由题意，解得．
故选：C．
二、多选题
9．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）已知是第一象限角，那么可能是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】AC
【详解】解：是第一象限角，，，
，，
当取偶数时，是第一象限角，当取奇数时，是第三象限角，
故选：AC．
10．（2022·全国·高一课时练习）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为，圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，圆心角为，当与的比值为（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【详解】设扇形的半径为，由，故D正确；
由，
所以，解得，故C正确；
由，则，
所以，
所以，故B正确.
故选：BCD
三、填空题
11．（2022·全国·高一课时练习）若角是第四象限角，则______．
【答案】－1
【详解】因为角是第四象限角，所以，，，
所以．
故答案为：-1.
12．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）如图，已知扇环（注：扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）中弧长为，弧长为，线段长为，为圆心，则__________.
【答案】
【详解】设，，依题意，，解得，
所以.
故答案为：
四、解答题
13．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.
(1)求的值；
【答案】(1)8(2)
(1)解：因为角终边与单位圆相交于点 ，
所以，
所以；
14．（2022·全国·高一课时练习）如图，点是圆上的点.
(1)若，，求劣弧的长；
(2)已知扇形的周长为，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.
【答案】(1)(2)
（1）
，，又，为等边三角形，
，则劣弧的长为.
（2）
设圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，
扇形的周长为，，
方法一：扇形面积（当且仅当时取等号），
当扇形面积取得最大值时，圆心角.
方法二：扇形面积，
则当时，取得最大值，此时，
当扇形面积取得最大值时，圆心角.
B能力提升
15．（2022·全国·高一课时练习）如图，锐角（单位为弧度）的终边与单位圆交于点P，作轴于点M
(1)利用单位圆中的三角函数线证明：当时，；
(2)求的周长与面积之和的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）由题图可知，，，
在中，，即
所以当时，；
（2）的周长为.
的面积为，
记的周长与面积之和为L，则，
设，，
因为，，
所以，即，
且，则，
所以
易知函数在上单调递增，故，
得，即的周长与面积之和的取值范围为
16．（2022·湖北·高二期中）如图所示，某风景区在一个直径AB为400m的半圆形花园中设计一条观光路线，在点A与圆弧上一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿圆弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注:小路及绿化带的宽度忽略不计）
(1)设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；
(2)试确定的值，使得绿化带总长度最大，并求最大值．
【答案】(1)，；
(2)；.
（1）连接OC，BC，如图，
由AB是半圆直径得，而，，则，
，则圆弧BC长为，
所以(m)，.
（2）由（1）知，，，求导得：，
当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，
则当时，(m)，
所以时，绿化带总长度最大，最大值为.