(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第05讲 椭圆 (高频考点，精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：椭圆定义的应用
角度1：利用椭圆定义求轨迹方程
角度2：利用椭圆定义解决焦点三角形问题
角度3：利用椭圆定义求最值
题型二：椭圆的标准方程
题型三：椭圆的简单几何性质
角度1：椭圆的长轴、短轴、焦距
角度2：求椭圆的离心率
角度3：与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的
轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.
说明：
若，的轨迹为线段；
若，的轨迹无图形
定义的集合语言表述
集合.

知识点二：椭圆的标准方程和几何性质
1、椭圆的标准方程
知识点三：常用结论
1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：
2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）
3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：
（1）；
（2），，；
（3）,，；
（4）椭圆通经长=
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：椭圆定义的应用
角度1：利用椭圆定义求轨迹方程
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】错解：
∵△ABC的周长为20，顶点，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：D.
错因：
忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.
正解：
∵△ABC的周长为20，顶点，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：B.
例题2．（2022·全国·高二专题练习）动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．线段D．不能确定
【答案】A
【详解】由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，
故选：A
例题3．（2022·四川·双流中学高二期中（理））已知平面上动点到两个定点和的距离之和等于，则动点的轨迹方程为__．
【答案】
【详解】平面上动点到两个定点和的距离之和等于，
满足椭圆的定义，可得，，则，
动点的轨迹方程为：，
故答案为：.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点，的距离是6，动点P到这两个定点的距离之和是6，那么动点P的轨迹是什么？
【答案】线段.
【详解】因，是两个定点，且，而，即，
所以动点P的轨迹是线段.
2．（2022·全国·高二专题练习）已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.
【答案】
【详解】连接，由题意，，则，
由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2，
故短半轴长为1，故轨迹方程为：.
故答案为：.
角度2：利用椭圆定义解决焦点三角形问题
典型例题
例题1．（2022·山西吕梁·高二期中）设为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于，两点，则的周长是（ ）
A．8B．16C．D．
【答案】B
【详解】椭圆的长轴长
由椭圆的定义可知，
则的周长为，
故选：B．
例题2．（2022·浙江·元济高级中学高二期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，．若斜率为1，且过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】C
【详解】由椭圆：可得，
因为，在椭圆上，根据椭圆的定义可得，
所以的周长为，
故选：C
例题3．（2022·江苏·高二专题练习）已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由椭圆方程得..
故选：D.
例题4．（2022·黑龙江·高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点， ，若的面积为，则的短袖长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【详解】由椭圆的定义知，所以，
又，即，
两式相减，得，因为的面积为，
即，所以，解得，所以短轴长为6．
故选:D．
同类题型归类练
1．（2022·辽宁沈阳·高二期中）椭圆M的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆M于点A，B.若的周长为20，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为的周长为20，由椭圆定义可知：4a＝20，即a＝5，
又因为c＝3，所以，
所以该椭圆的标准方程为.
故选：B.
2．（2022·福建·莆田第四中学高二期中）设分别是椭圆的左、右焦点，P是C上的点，则的周长为_____________．
【答案】16
【详解】解：由椭圆，
得，
因为P是C上的点，所以，
所以的周长为.
故答案为：.
3．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，⊥x轴，则的面积为_________．
【答案】##
【详解】由题意不妨设﹣，0)，，0)，
∵P⊥x轴，∴P(，±)，
∵△P的面积＝|P|||＝2＝，
故答案为：．
4．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（文））已知椭圆的两个焦点是、，点是椭圆上一点，且，则的面积是______.
【答案】4
【详解】由椭圆的定义可知，，
又，
联立两式 ，可得
又，
所以，
所以是以为直角边的直角三角形，
所以的面积为.
故答案为：.
5．（2022·全国·高二单元测试）已知、是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若的面积为9，求实数b的值．
【答案】
【详解】因为，所以，
所以为直角三角形，
，，
，
即，
，
所以，所以．所以；
综上，b=3.
角度3：利用椭圆定义求最值
典型例题
例题1．（2022·重庆八中模拟预测）已知，分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【详解】椭圆上的点P满足，
当点P为的延长线与C的交点时，
达到最大值，最大值为．
故选：B
例题2．（多选）（2022·全国·高二单元测试）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值和最小值分别为（ ）
A．最大值为25B．最小值为15C．最大值为D．最小值为
【答案】AB
【详解】设椭圆的右焦点为，由椭圆的标准方程可知：，
可得，所以，
由椭圆的定义可知：，
，
当且仅当三点依次共线，
当且仅当三点依次共线，
故选：AB
例题3．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）已知椭圆：，为椭圆上任意一点，点，，则的最小值为________.
【答案】##
【详解】解：椭圆：中，，所以，所以为椭圆的左焦点，
又点，则，所以点在椭圆外，
所以当点为线段与椭圆的交点时最小，
其最小值为.
故答案为：
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x＋3）2＋y2＝1和圆（x－3）2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
【答案】7
【详解】由椭圆方程知a＝5，b＝4，c＝3.两圆的圆心分别为椭圆的左右焦点F1，F2，
设两圆半径分别为r1，r2，则r1＝1，r2＝2.
所以|PM|min＝|PF1|－r1＝|PF1|－1，|PN|min＝|PF2|－r2＝|PF2|－2，
故|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－3＝2a－3＝7.
故答案为：7
2．（2022·全国·高二单元测试）已知椭圆C的方程为，M为C上任意一点，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】由题意，，，所以为左焦点，为右焦点，
所，
当且仅当M､D､A共线时取等号.
故答案为：.
题型二：椭圆的标准方程
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A．（5，7）B．（5，6） C．（6，7） D．（5，6）∪（6，7）
【答案】D
【详解】错解：
由题意可知，解得 .
故选：A.
错因：
未考虑椭圆方程中分母不等的情况，
正解：
由题意可知解得且 .
故选：D.
例题2．（2022·山西太原·高二期中）已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】根据题意，椭圆的焦点在轴上，故设其方程为：，显然，，
则，故椭圆方程为.
故选：B.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6；
(2)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设双曲线的方程为.
由，，得，，，
所以双曲线的方程为.
（2）由题意可知，双曲线的焦点在轴上.
设双曲线的方程为，则，，，
所以双曲线的方程为.
同类题型归类练
1．（2022·河南安阳·高二期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题知：表示焦点在轴上的椭圆，
所以
，
解得 ，
故选：D.
2．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）求经过点和点的椭圆的标准方程.
【答案】.
【详解】设椭圆的方程为：，因该椭圆经过点和，
于是得，解得，即有，
所以椭圆的标准方程为：.
3．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)，，焦点在x轴上；
(2)，，焦点在y轴上；
(3)，．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或.
(1)
∵，，椭圆焦点在x轴上，∴其标准方程为：；
(2)
∵，，∴，
∵椭圆焦点在y轴上，∴其标准方程为：；
(3)
∵，，∴，
因为椭圆焦点位置不确定，其标准方程为：或.
题型三：椭圆的简单几何性质
角度1：椭圆的长轴、短轴、焦距
典型例题
例题1．（2022·广东·深圳外国语学校高二期中）椭圆的焦点坐标为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】D
【详解】由已知椭圆，其焦点在y轴上，
则，，
故焦点坐标为和
故选：D.
例题2．（2022·吉林·抚松县第一中学高二阶段练习）焦点在轴的椭圆的焦距是4，则的值为（ ）
A．8B．3C．5或3D．20
【答案】A
【详解】因为焦点在x轴，故，而焦距是4，故即，
故选：A.
例题3．（2022·四川成都·高二期中（理））焦点在轴上的椭圆的焦距是8，则椭圆的长轴长为（ ）
A．40B．C．D．20
【答案】B
【详解】由题意得，则椭圆的长半轴长为，长轴长为.
故选：B.
例题4．（2022·全国·高二单元测试）椭圆的短轴长为______．
【答案】4
【详解】解：因为椭圆，
所以，
所以，
所以椭圆的短轴长为，
故答案为：4.
同类题型归类练
1．（2022·辽宁葫芦岛·高二期中）椭圆的焦点坐标为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【详解】解：由得
，
，
，
∴ 焦点坐标为，．
故选：C．
2．（2022·福建·厦门双十中学高二期中）已知椭圆的焦距是，则的值是____．
【答案】
【详解】在椭圆中，，，
由已知可得，解得.
故答案为：.
3．（2022·四川成都·高二期中（理））椭圆的长轴长为______．
【答案】8
【详解】解：由椭圆的几何性质可知，∴，∴长轴长。
故答案为：8．
角度2：求椭圆的离心率
典型例题
例题1．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））数学家蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意，，所以，
离心率为．
故选：A．
例题2．（2022·北京市昌平区第二中学高二期中）已知为椭圆上的点，点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为18，
所以，
所以椭圆的离心率为：.
故选：B.
例题3．（2022·甘肃·兰州西北中学高三期中（理））已知椭圆与圆有四个交点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】椭圆与圆有四个交点，
则椭圆的焦点必在轴上，且必有
则椭圆C的离心率，又，
离心率的取值范围是
故选：C
例题4．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）设是椭圆的右焦点，若关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：依题意可得，
设，由题意可得，
可得，，代入得，即，
即，
可得，解得（舍去）或，
因为，所以，则．
故选：D．
例题5．（2022·山东青岛·高二期中）设，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，且，，则椭圆的离心率为___________；
【答案】
【详解】因为，
所以，即，
设椭圆的焦距为，长轴长为，
在中，，，
所以，，又，
所以，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
例题6．（2022·安徽·合肥市第八中学高二期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为坐标平面上一点，且满足的点均在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
所以点P的轨迹为以为直径的圆，且该圆在椭圆C的内部，
所以，所以，
所以，即，
所以．
故选：A．
同类题型归类练
1．（2022·江苏省海州高级中学高二阶段练习）若椭圆经过点，且焦点分别为和，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由于椭圆经过点，且焦点分别为和，
所以椭圆的焦点在轴上，且，
所以椭圆的离心率为.
故选：C
2．（2022·吉林省实验中学高二期中）椭圆的焦点为，，上顶点为A，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可得，如下图所示：
又因为,根据对称性可得,
可得,解得.
故，故离心率为，
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|＝2|FB|，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设椭圆的右焦点为，连接，如下所示：
设，则，
在△中，由余弦定理可得,整理可得：，即；
在△中，同理可得：，故，解得.
故选：.
4．（多选）（2022·新疆·乌市八中高二期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，若椭圆与坐标轴分别交于，四点，且从这六点中，可以找到三点构成一个等边三角形，则椭圆的离心率的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】不妨设A,B为长轴端点，C,D为短轴端点，已知关于原点对称，关于原点对称，关于原点对称，相应的三角形只取其中一个，
首先可能是等边三角形，因为，，不成立，
为等边三角形，则，；
为等边三角形，则，，，；
为等边三角形，则，，，
，．
故选：ABD．
5．（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中高二期中）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则k的值为___________.
【答案】
【详解】依题意，，解得，又椭圆离心率为，则有，解得，
所以k的值为.
故答案为：
6．（2022·天津河东·高二期中）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为______．
【答案】##
【详解】解：因为，由椭圆的定义可得，可得，，
在中，由余弦定理可得：，而，
即，可得，
可得离心率，
故答案为：
7．（2022·辽宁省康平县高级中学高二期中）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．直线与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为______
【答案】
【详解】由题意得：，，，
将代入椭圆方程，，
解得：，不妨设，
则直线方程为，令得：，
故，
直线方程为，令得：，
故，
由题意得：，解得：，
所以.
故答案为：.
8．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知椭圆C：（）左、右焦点分别为、，过且倾斜角为60°的直线与过的直线交于A点，点A在椭圆上，且.则椭圆C的离心率__________.
【答案】##
【详解】由与过的直线交于椭圆上A点，且，，
所以，而，故，，
所以，故.
故答案为：
角度3：与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：上的动点到右焦点距离的最小值为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【详解】解：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，
即 ，又，所以，
由，所以；
故选：A
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为( )
A．4B．C．D．
【答案】A
【详解】由于外心在的垂直平分线上,故外心在轴上,
而方向朝着轴的负半轴,
故点位于椭圆的上顶点,
此时三角形面积为.
所以,
故选:.
例题3．（2022·江西抚州·高二期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的值可以是______.（填写一个满足条件的值即可）
【答案】14（在区间中的任意实数）
【详解】依题意，，，由椭圆定义，，故，其中，故，由二次函数特征可知，时取到最大值16，或6时取到最小值12，故横线上填写的数值在此范围内即可.
故答案为：14（在区间中的任意实数）.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，则点的纵坐标的最大值为__________．
【答案】
【详解】解：当直线的斜率为0时，此时直线为，此时线段AB的中点M的纵坐标为0；
当直线的斜率不为0时，设过的直线为，设，
由，得，则，
所以线段AB的中点M的纵坐标为，
当时，M的纵坐标为0，
当时，，当且仅当，即时取等号，此时的最大值为，
当时，，
综上，的最大值为，
故答案为：
例题5．（2022·全国·高二）已知椭圆：，，为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线：，过点的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线分别交直线、直线于、两点，求最小值.
【答案】(1)
(2)4
(1)
解：设，则，所以，即.
，则由椭圆定义，
，则，故椭圆的标准方程为；
(2)
解：由题意直线的斜率必定不为零，于是可设直线：，
联立方程得，
设，，由题意，，
由韦达定理，，则，，
，，，
又，
，
当且仅当即时取等号.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意得，由,得，
则,
设()，由，得，
则，
又，由二次函数的性质可知，
，
所以的最小值为.
故选：C.
2．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））点为椭圆上的一点，为椭圆两焦点，那么的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则，
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知点分别是椭圆的左、右焦点，是此椭圆上的动点，则最小值是（ ）
A．6B．4C．D．
【答案】C
【详解】由椭圆方程可知，，
因为是该椭圆上的一个动点，所以，
得，所以，
即求的最大值，，
所以.
故选：C.
4．（2022·北京·高二期末）椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点、，则的面积的最大值为___________.
【答案】
【详解】在椭圆中，，，则，则，
由题意可知，、关于原点对称，
当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
5．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高二期中）已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，且长轴长与短轴长的比是.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点，点是椭圆上任意一点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）设，则，即
，
因为的对称轴为，所以在为减函数，
所以当时，的最大值为的最大值为.焦点位置
焦点在轴上
焦点在轴上
标准方程
（）
（）
图象
焦点坐标
，
，
的关系
范围
，
，
顶点
，，
，
轴长
短轴长＝，长轴长＝
焦点
焦距
对称性
对称轴：轴、轴 对称中心：原点
离心率
，