(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第01讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (高频考点，精练）（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2022·全国·高二专题练习）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】先后抛两枚骰子，可得所有的基本事件个数为种，
由得,满足条件的共有3对，分别为：且,且,且,故概率为，
故选：D
2．（2022·吉林·高二期末）某同学从4本不同的数学资料，2本不同的语文资料，2本不同的英语资料中任选一本购买，则不同的选法共有（ ）
A．6种B．8种C．12种D．16种
【答案】B
【详解】由题意，从8本不同资料任选一本购买，故共有8种选法.
故选：B
3．（2022·广西河池·高二期末（理））解1道数学题，有两种方法，有2个人只会用第一种方法，有3个人只会用第二种方法，从这5个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（ ）
A．4种B．5种C．6种D．9种
【答案】B
【详解】根据分类加法计数原理得：不同的选法共有（种）.
故选：B.
4．（2022·山东枣庄·高二期末）从1~7这七个数字中选3个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A．210B．120C．90D．45
【答案】C
【详解】先从2，4，6中选1个排在个位，有种情况，再从剩下的6个数选2个排在十位和百位，有种，则根据分步乘法计数原理可得偶数的个数为个.
故选：C.
5．（2022·内蒙古·满洲里远方中学高二期末（理））将4名消防队员分配到3个不同社区做宣传，每个社区至少1名，则不同的分配方案有（ ）
A．24种B．36种C．60种D．90种
【答案】B
【详解】将4个消防员分配到三个社区，则其中一个社区分两名消防员，另外两个社区分别分一名消防员；故先从4个消防员中选2人去其中一个小区共有种，然后剩下两名消防员分别去一个小区共有种，根据分步乘法原理得：
故选：B
6．（2022·江苏连云港·高二期中）按序给出两类元素，类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在两类中各取1个元素组成1个排列，则类中选取的元素排在首位，类中选取的元素排在末位的排列的个数为（ ）
A．240B．200C．120D．60
【答案】C
【详解】解：从类中取1个元素有10种取法，从类中取1个元素有12种取法，
则共有种取法.
故选：C.
7．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（ ）
A．60B．66C．72D．80
【答案】C
【详解】5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有种安排方法，
若甲乙在同一实验舱的种数有种，
故甲乙不在同一实验舱的种数有种.
故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）“杭帮菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟烩鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”、“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请远方来客.这六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（ ）
A．480B．240C．384D．1440
【答案】A
【详解】根据题意，先排列“糟烩鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，共有种方法，
4道菜排列后，有5个空，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空，有种方法，
所以由分步计数原理可知共有种不同的上菜顺序，
故选：A
二、多选题
9．（2022·全国·高二课时练习）现有6位同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每位同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数错误的是（ ）.
A．B．C．D．6×5×4×3×2
【答案】BCD
【详解】根据题意，每位同学都有5种选择，共有（种）不同的选法，
所以A正确，B，C，D错误．
故选：BCD.
10．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高二期末）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
【答案】ABD
【详解】解：A. 从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确；
B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确；
C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；
D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确.
故选：ABD
11．（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）已知数字，由它们组成四位数，下列说法正确的有（ ）
A．组成可以有重复数字的四位数有个
B．组成无重复数字的四位数有96个
C．组成无重复数字的四位偶数有66个
D．组成无重复数字的四位奇数有28个
【答案】AB
【详解】解：对A：四位数的首位不能为0，有4种情况，其他数位有5种情况，则组成可以有重复数字的四位数有个，故选项A正确；
对B：四位数的首位不能为0，有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3 个数位，有种情况，则组成无重复数字的四位数有个，故选项B正确；
对C：若0在个位，有个四位偶数，若0不在个位，有个四位偶数，则组成无重复数字的四位偶数共有个四位偶数，故选项C错误；
对D：组成无重复数字的四位奇数有个，故选项D错误；
故选：AB.
12．（2022·河北·藁城新冀明中学高二阶段练习）如图，线路从到之间有五个连接点，若连接点断开，可能导致线路不通，现发现之间线路不通，则下列判断正确的是（ ）
A．至多三个断点的有种B．至多三个断点的有种
C．共有种D．共有种
【答案】AC
【详解】若有1个断点，则1,5中断开1个，有2种情况；
若有2个断点，则1,5都断开有1种；1,5断开1个，2,3,4断开1个有种，共种情况；
若有3个断点，则2,3,4断开有1种；1,5都断开，2,3,4断开1个有3种；1,5断开1个，2,3,4断开2个有种，共种；
若有4个断点，则1,5都断开，2,3,4断开2个有3种；1,5断开1个，2,3,4都断开有2种，共有种；
若有5个断点，有1种情况.
综上，至多三个断点的有种，故A正确，B错误；所有情况共有种，故C正确，D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高二期中）如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法数为________.
【答案】12
【详解】根据题意，先涂A有3种涂法，
再涂B有2种涂法，
最后涂C有2种涂法，
所以不同的涂法有种，
故答案为：12.
14．（2022·江苏淮安·高二期末）某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有________种．（用数字作答）
【答案】180
【详解】先在1中种植，有5种不同的种植方法，再在2中种植，有4种不同的种植方法，
再在3中种植，有3种不同的种植方法，最后在4中种植，有3种不同的种植方法，
所以不同的种植方案共有（种）．
故答案为：180．
15．（2022·全国·高三专题练习）“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》、《春秋》分开排的情况有________种．
【答案】
【详解】先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列，共有种排法
再从产生的4个空位中选2个安排《诗经》、《春秋》，共有种排法
所以满足条件的情形共有种．
故答案为：
16．（2022·全国·高二单元测试）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数（图中白圈为阳数，黑点为阴数）.现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：（从左往右数）第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数有___________个
【答案】120
【详解】据题意，阳数为：1，3，5，7，9，阴数为：2，4，6，8，第一位数的选择有5种，第二位数的选择有4种，第三位数和第四位数可以的组合有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共有6种选择，根据分步乘法计数原理，这样的四位数共有个.
故答案为：
四、解答题
17．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期中）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.
(1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
(2)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
【答案】(1)种；
(2)种.
(1)
从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：
第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法，
第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法，
第3步从第3层取1本体育书，有2种方法，
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是.
(2)
第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有种方法
第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法，
第3类方法是3本不同的文艺书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法
根据分类加法计数原理，不同取法的种数是.
18．（2022·湖北·枣阳一中高二期中）从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛．
(1)如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？
(2)如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？
(3)如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？
【答案】(1)60
(2)91
(3)14
(1)
从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，，故有60种选法；
(2)
若小王和小红均未入选，则有种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，则有种选法；
(3)
若2个考点派送人数均为2人，则有种派送方式，
若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有种派送方式，故一共有8+6=14种派送方式.
B能力提升
19．（2022·湖北·十堰东风高级中学高二期中）如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.（列出过程，用数字作答）
(1)由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？
(2)由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？
(3)求出图中总计有多少个矩形？
【答案】(1)20
(2)175
(3)102
【详解】（1）由题意得A沿着图中的线段到达点E的最近路线需要移动6次,向右移动3次,向上移动3次,所以 A沿着图中的线段到达点E的最近路线有条.
（2）设点G、H、P的位置如图所示：
则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况：
①沿着A→E→C，共有条最近路线；
②沿着A→G→C，共有条最近路线；
③沿着A→H→C，共有条最近路线；
④沿着A→P→C，共有条最近路线；
故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有条；
（3）由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：
①矩形的边不在CD上，共有个矩形；
②矩形的一条边在CD上，共有个矩形；故图中共有个矩形.
20．（2022·全国·高三专题练习）有7本相同的笔记本作为奖品颁发给甲、乙、丙三名同学.
(1)若先将这7本笔记本分成3份，每份至少1本，有多少种不同的分法？
(2)若甲、乙、丙三名同学每人至少获得1本，并且丙同学最多获得3本，有多少种不同的分法？
(3)若这7本笔记本分别被老师写上了不同的颁奖词，并且要求甲同学恰好得到2本，乙同学至少得到1本，丙同学至少得到1本且不超过3本，有多少种不同的分法？
【答案】(1)4；
(2)12；
(3)525
（1）
因为7本笔记本相同，，故有4种分法；
（2）
若丙分得3本，则甲乙分剩下的4本，，有3种分法；
若丙分得2本，则甲乙分剩下的5本，，有4种分法；
若丙分得1本，则甲乙分剩下的6本，，有5种分法；
故共有种分法；
（3）
因为7本笔记本不相同，先从7本中选2本给甲有种；剩下的5本中，若乙2本丙3本，有种，
若乙3本丙2本，有种，若乙4本丙1本，有种，共有种，总共有种.