新高考数学一轮复习讲与练9.5 构造函数常见的方法（精讲）（基础版）（2份，原卷版+解析版）

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考点呈现
例题剖析
考点一 直接型
【例1】（2023·全国·高三专题练习）设函数是奇函数（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B．（0，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【答案】D
【解析】由题意设，则
∵当x＞0时，有，∴当x＞0时，，∴函数在（0，+∞）上为增函数，
∵函数f（x）是奇函数，∴g（﹣x）＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
g（x）在（﹣∞，0）上递减，由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，
∵不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0，∴或，即有x＞1或﹣1＜x＜0，
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D．
【一隅三反】
1．（2022·陕西西安 ）已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造，
当，，故在上单调递减，
且易知为奇函数，故在上单调递减，由，
所以.
故选：B.
2．（2022·河北·石家庄二中 ）已知定义域为的函数满足，且当时，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得关于成中心对称．
令，可得
当时，则在上单调递增.
由关于成中心对称且，故在上单调递增
由，则，或
解得，或，故
故选：A
3．（2022·四川遂宁 ）已知定义在R上的函数满足：函数为奇函数，且当时，成立（为的导函数），若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，
因为当时，成立，所以，为递增函数，
又因为函数为奇函数，可得，
则，所以函数为偶函数，
所以函数在为单调递减函数，
由，，，
因为，所以，即.故选：B
考点二 加乘型
【例2】（2022·江苏）已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，，
所以当时，，
令，则当时，，
故在时，单调递减，
又因为在在R上为偶函数，
所以在R上为奇函数，
故在R上单调递减，
因为，所以，
当时，可变形为，
即，
因为在R上单调递减，
所以，解得：，
与取交集，结果为；
当时，可变形为，
即，
因为在R上单调递减，
所以，解得：，
与取交集，结果为；
综上：不等式的解集为.故选：A
【一隅三反】
1．（2022·辽宁锦州）已知定义在上的函数的导函数，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】构造函数，因为，
所以，因此函数是增函数，
于是有，
构造函数，因为，
所以，因此是单调递减函数，
于是有，
故选：D
2（2022·陕西师大附中）是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】构造，则，
因为定义域为，且，
所以
所以函数在上单调递增，
不等式可化为：，
即，所以有，
解得：.
即不等式的解集为：.
故选：D
3．（2021·江西·金溪一中 ）设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】构造函数，
所以，
又因为，所以，在上单调递增，
因为，所以，
不等式，可整理为，即，
因为函数在上单调递增，所以.故选：D.
考点三 减除型
【例3】（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则与的大小关系为（ ）
A．＜B．=
C．＞D．不能确定
【答案】C
【解析】设，则有，
又因为，所以在R上恒成立，
则函数在R上单调递增，
则，即，
即＞.故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意，在上的函数恒成立，
构造函数，则，
∵上，即，
∴在上单调递减，而，故
∴，可得.
故选：B
2．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）设是定义在R上的连续的函数的导函数，（e为自然对数的底数），且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，则，
∵，∴，函数在R上单调递增，
又，∴,
由，可得，即，又函数在R上单调递增，
所以，即不等式的解集为.故选：C．
3．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知函数的定义域为的导函数是，且.给出下列不等式：①；②；③，其中不等式恒成立的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】令，则.
因为，所以，函数在上单调递增.
对于①，因为，即，整理得，①恒成立；
对于②，因为，所以，即，整理得，②恒成立；
对于③，因为，所以，即，整理得，③错误.所以恒成立的不等式有①和②，共2个.故选：C.
考点四 三角函数型
【例4】（2022·吉林）（多选）已知函数是偶函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】构造函数，其中，则，
∵对于任意的满足，
∴ 当时，，则函数在上单调递增，
又函数是偶函数，，∴，
∴在上为偶函数，
∴函数在上单调递减．
∵，则，即，即，化简得，A正确；
同理可知，即，即，化简得，B正确；
，且即，即，化简得，C错误；
，且，即，即，化简得，D正确．故选：ABD.
【一隅三反】
1．（2021·山东·高三开学考试）（多选）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ）
A．0
C．>D．>
【答案】CD
【解析】令，则，
因为，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减，故，即，即，故A错；
又，所以，所以在上恒成立，
因为，所以，故B错；
又，所以，即，故C正确；
又，所以，即，故D正确.
故选：CD
2．（2022·安徽蚌埠·一模）已知函数的定义域是，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，则在上是减函数.，
所以
得，又，所以.
故选：A.
3．（2022·全国·专题练习）函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】令，则，
因为，所以，
因为，
所以，
所以在上为减函数，
由，得，
所以，
因为在上为减函数，
所以，
所以不等式的解集为，
故答案为：
考点五 题意型
【例5】（2022·江西·金溪一中）已知a，b，c∈（0，1），且a2－2lna＋1＝e，b2－2lnb＋2＝e2，c2－2lnc＋3＝e3则 （ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a
【答案】A
【解析】设，则，
又，所以在上单调递增，
所以，即，
因为，所以在上单调递减，
所以，
故选：A
【一隅三反】
1．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））​， 则（ ）
A．​B．​
C．​D．​
【答案】A
【解析】构造，，则，
令，则，
所以在上递减，
所以，所以，
所以在上递减，
所以，所以，
所以，即，所以，
令（），则，
所以在上递增，
所以，所以，
所以，
所以，即
故​.
故选：A
2．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，，
令，
则，令，则，
当时，，∴在上单调递减，
∴，即，
∴，即；
令，
∴，令，则，
当时，，∴在上单调递减，
∴，即，
∴，即，
综上可知：．
故选：A．
3．（2022·云南大理·模拟预测）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，由，得，
设，则，
当时，单调递增，因，
当且仅当时取等号，故，
又，所以，故，
∴，则，即有，故.
故选:C．