新高考数学一轮复习讲与练9.6 导数的综合运用（精练）（基础版）（2份，原卷版+解析版）

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(1)若，求的单调区间；
(2)讨论的零点情况．
【答案】(1)递增区间为，递减区间为
(2)答案见解析
【解析】（1）解：当时，则，可得，
令，解得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以在单调递增，在单调递减．
（2）解：当时，；
当时，等价于，
令，则，
当时，；
当时，；
当时，；
所以在单调递增；在单调递减，
且当时，，当时，；当时，，
如图所示，可得为的极大值，
当，即时，与只有1个交点，即只有1个零点；
当时，与有2个交点，即有2个零点；
当时，与有3个交点，即有3个零点．
综上，时，只有1个零点；当时，有2个零点；
当时，有3个零点．
2．（2020·陕西·榆林市第十中学高三期中（理））已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)设，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）解：函数的定义域为，且.
当时，即当时，对任意的，，此时函数的增区间为；
当时，即当时，由可得，由可得，
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：由，可得，其中，
构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点，
，当时，，此时函数单调递增，
当时，，所以，函数单调递减，
所以，函数的极大值为，且当时，，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
3．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）已知函数，和，
(1)若与有相同的最小值，求的值；
(2)设有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1），
当时，在R上单调递减，无最值，舍去
当时，令，则
∴在上单调递减，在上单调递增，则
∵，则的定义域为
，令，则
∴在上单调递减，在上单调递增，则
依题
（2）
由题意可知：
令，即，则
即，则
∵在上单调递增
则，即在上有两个零点
由（1）可得：，解得：
此时在上有一个零点
当时，下证在上有一个零点
取，则
令，则
∴在单调递减，则，即
∵，令，则
∴
令，则
又∵，则
∴在上单调递增，则
即
∴在上有一个零点
则的取值范围为
4．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）已知函数，为的导数．
(1)判断并证明在区间上存在的极大值点个数；
(2)判断的零点个数．
【答案】(1)在区间上存在的极大值点个数为1，理由见解析；
(2)2个零点，理由见解析.
【解析】（1）在区间上存在的极大值点个数为1，理由如下：
，，
，令，，
则，令，，
，
当时，，所以，
即在上单调递减，
又， ，
故存在，使得，
且当时，，当时，，
所以在处取得极大值，
故在区间上存在的极大值点个数为1；
（2）
的定义域为，
①当时，由（1）知，在上单调递增，而，
所以当时，，
故在上单调递减，又，
所以是在上的唯一零点；
②当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
而，，
所以存在，使得，
且当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
又，所以当时，，
所以在上没有零点；
③当时，，所以在上单调递减，
而，
所以在上有唯一零点；
④当时，，所以，从而在上无零点；
综上：有且仅有两个零点.
题组二 不等式成立
1．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时，若在恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【解析】（1）函数定义域为..
令，则有.
i.当时，恒成立，有，所以在上单增，无减区间；
ii. 当时，令解得：，.
当时，的对称轴，所以在上单增.
又，所以恒成立，所以有，所以在上单增，无减区间；
当时，的对称轴，且，
.
由二次函数的性质可得：
在上；在上；在上.
所以在上，有，单增；在上有，单减；在上有，单增.
即在上单增，
在上单减，
在上单增.
综上所述：当时，的递增区间为，，
递减区间为，
当时，的递增区间为，无减区间.
（2）
当时，.
在恒成立，可化为在恒成立.
即，
即在恒成立.
令，因为为增函数，为增函数，所以为增函数，
所以可化为在恒成立，
只需在恒成立.
记，只需.
由（1）可知，在上单调递增，所以，即，解得：.
即实数的取值范围为.
2．（2022·河南·南阳市第六完全学校高级中学高三阶段练习（文））已知.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
当时，，，
，，
所以切线方程为：，即.
（2）
恒成立，即在上恒成立，
设，，
令，得，
在上，，
所以函数在上单调递减，
所以，，
故有.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)的递增区间为，无递减区间；
(2)
【解析】（1）解：当时，，
求导，
设，
则，
令 ，解得： ；，，
∴ 在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
则，
∴在（0，+∞）上恒成立，
∴的递增区间为（0，+∞），无递减区间；
（2）解：，
由（1）知：＝，
又因为在（1，+∞）单调递增，
则g（x）≥g（1）＝2，
①当a≤2时，，在[1，+∞）单调递增，
∴，满足题意．
②当a＞2时，设，则，
当时，，
∴在[1，+∞）递增， ，，
∴∃，使，
∵在[1，+∞）单调递增，
∴当时，＜0，即＜0，所以在上单调递减，
又，
∴当时，，不满足题意．
∴的取值范围为，
综上可知：实数的取值范围（﹣ ，2]．
4．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（理））已知函数.
(1)若函数有一个零点，求k的取值范围；
(2)已知函数，若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）定义域为，由于有一个零点，可得方程有且仅有一个实根，
令，，由得；由得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴最大值，又，∴时，；时，.
画出大致图像如图所示，
若直线y＝k与的图像有一个交点，则或.
∴k的取值范围是.
（2）
方法一：若恒成立，即恒成立.
∵，∴恒成立，只需，
令，，
令，，所以在上单调递减，
而，∴，；，，
即时，，，.
∴在上单调递增，在上单调递减.
故.所以的取值范围是.
方法二：由得，现证明在前提下，原式恒成立.
∵，∴（*），
现证明，，，构造，，
令解得，令解得，
即在上单调递减，在上单调递增，
∴成立；
构造，，
令解得，令解得，
即在上单调递减，在上单调递增，成立，
∴（*）式成立，原式得证.
5．（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高三开学考试）已知函数， （）
(1)求在点处的切线方程
(2)若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)a4
【解析】（1）解：因为，所以，
所以切线的斜率，．
所以在处的切线方程为，即；
（2）
解：若对任意的恒成立，则对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，，只需满足，，
又，
因为，所以由得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时函数取得极小值即为最小值，即，所以a4.
6．（2022·北京·高三开学考试）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若曲线不存在斜率为－2的切线，求a的取值范围；
(3)当时，恒成立，求a的取值范围.（只需直接写出结论）
【答案】(1)单调递增区间为和；单调递减区间为；极大值，极小值
(2)a的取值范围为；
(3)a的取值范围为.
【解析】（1）由， 得.
当时，
令，得
此时，随的变化如下：
所以的单调递增区间为和
的单调递减区间为
函数在时，取得极大值，
在时，取得极小值.
（2）
因为不存在斜率为的切线， 所以
即方程无解，所以
解得，
所以a的取值范围为；
（3）
不等式可化为，
设， ，
设，则
当时，，，又
所以，
函数在上单调递增，
所以当时，，此时，
所以函数在上单调递增，又，
所以当时，，
所以时，在上恒成立，
当时，方程的判别式，
因为，所以，所以，
所以方程有两个不相等的实数根，
设其根为，且，则，
所以，
所以当时，，
此时，所以函数在上单调递减，又，
所以当时，，
所以时，在上不可能恒成立，
综上可得a的取值范围为.
题组三 双变量
1．（2022·黑龙江·高三开学考试）已知函数存在两个极值点.
(1)求的取值范围；
(2)求的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由题意知：定义域为，；
令，则有两个不等正根，
，解得：，实数的取值范围为.
（2）由（1）知：，是的两根，则；
；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
，
即的最小值为.
2．（2022·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）已知函数 .
(1)求的单调区间；
(2)若有两个不同的零点，证明：.
【答案】(1)详见解析；
(2)证明见解析.
【解析】（1）∵，
∴，
当时， 令， 解得，令， 解得，
所以的单调递减区间为，的单调递增区间为；
当， 即时，在上恒成立，
所以的单调递减区间为，
当， 即时， 令， 解得，
令 ， 解得或，
所以的单调递增区间为 ，的单调递减区间为，；
当 ， 即时， 令， 解得 ， 令 ， 解得或 ，
所以的单调递增区间为 ，的单调递减区间为 ，；
综上，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为 ，的单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为 ，的单调递减区间为 ，；
（2）
令， 即， 即，
所以，
令， 所以，
所以，
令 ， 解得，令， 解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又当时，， 当时，，
不妨设 ， 则，
要证， 即证，
又在上单调递增，
所以只需证 ，即证，
即证， 即证 ，
令， 所以，
令， 所以在上恒成立，
所以在上单调递减， 即 在上单调递减，
所以， 所以在上单调递减，
又，
所以，
所以.
3．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））已知，为自然对数的底数.
(1)若是上的单调函数，求实数的取值范围；
(2)当时，若有两个正极值点，，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）
若是上的单调函数, 则 或在上恒成立,
若时, 即,
当时, 显然不成立,
故在上恒成立, 即 ,
时, 成立,
时,,问题转化为在恒成立,且在恒成立
令, 则 ,
令, 解得: 或, 令, 解得:,
故在递增, 在递减, 在递增,
趋向于时, 趋向于；趋向于时, 趋向于；
时, ；趋向于时, 趋向于
画出函数的大致图象, 如图示：
故的取值范围是;
（2）
证明: 结合（1）由, 得:,
若有两个正极值点, 不妨设,则,
则 ① ②
①②整理得: ,
要证, 只需证明: 即可，
只需证明, 即只需证明即可, 而,
故原命题成立.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若时，，求的取值范围；
(2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）∵， ，∴，设 ，，当时，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，与已知矛盾．当时，，∴在上单调递增，∴，满足条件；综上，取值范围是．
（2）证明：当时，，当，，当，，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，不妨设，则，要证，只需证，∵在区间上单调递增，∴只需证，∵，∴只需证．设，则，∴在区间上单调递增，∴，∴，即成立，∴．
5．（2022·四川凉山 ）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：若，，则．
【答案】(1)时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意知：．
当时，当时，，在上单调递增；
当时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：∵，即，
又，∴要证，只需证，
即证 ①
设，，则，
∴在上单调递增，
∵，∴，不等式①成立，即成立．
6．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知函数，
(1)讨论的极值点个数；
(2)若在内有两个极值点，，且，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1），令，，
当时，，即，则在上单调递减，无极值点；
当时，有两个零点，，
当，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增，
所以在处取极小值，在取极大值，有2个极值点，
综上，当时，无极值点，当时，有2个极值点；
（2）
由题意可得在有两个零点，故且，所以，
由得，故，同理，
又，所以，
结合知，
令，则，
当时，，单调递增，又，
所以即，所以，则，
因为，所以.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（，）.
(1)求函数的极值；
(2)若函数的最小值为0，，（）为函数的两个零点，证明：.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)证明见解析
【解析】(1)（），，
若时，则恒成立，
在上单调递增，故没有极值；
若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
有极小值，极小值为，无极大值.
(2)证明：由（1）可知，当时，有最小值，，
由函数的最小值为0，得，
由题知，
，，
，
，，
，（），
令，则，
令，则在上单调递增，
又，在上，，，单调递减，
在上，，，单调递增，
，
得证.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个极值点，证明
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】(1)解：
当时，
当时，，则
令，则，或，，则，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
(2)有两个极值
是方程的两个不等实根，则
要证：，即证：
不妨设，即证：
即证：对任意的恒成立
令，，则
从而在上单调递减，故，所以0
0
↗
极大值
↘
极小值
↗