新高考数学一轮复习讲与练9.6 导数的综合运用（精讲）（基础版）（2份，原卷版+解析版）

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考点呈现
例题剖析
考点一 零点问题
【例1】（2022·全国·成都七中）设函数​为常数).
(1)讨论​的单调性；
(2)讨论函数​的零点个数.
【答案】(1)递减区间，递增区间；(2)答案见解析.
【解析】（1）当时，由求导得：，显然函数在上单调递增，而，则当时，，当时，，即在上递减，在上递增，所以函数的递减区间是，递增区间是.
（2）由（1）知函数在上递减，在上递增，，
令，，求导得，函数在上单调递增，函数在上递减，
当时，取值集合为，函数取值集合为，
因此函数在上的函数值集合为，
当时，函数的取值集合为，函数取值集合为，
因此函数在上的函数值集合为，
所以当，即时，函数无零点，当时，函数有一个零点，
当时，函数有两个零点.
【一隅三反】
1．（2022·全国·兴国中学）已知函数在点处的切线方程为．
(1)求函数的单调区间，
(2)若函数有三个零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是(2)
【解析】（1）由题可得，由题意得，解得，
所以，
由得或，由得，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
（2）因为，
由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值，
的单调递减区间是，单调递增区间是，
依题意，要使有三个零点，则，即，
解得，经检验，，
根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，所以m的取值范围为．
2．（2022·黑龙江）已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线.
(1)求的值；
(2)判断函数在上零点的个数，并说明理由.
【答案】(1)1(2)1个零点，理由见解析
【解析】（1）依题意得：函数，其导函数为 ，，所以．
曲线和在原点处有相同的切线.，．
（2）由（1）可知，，所以；
当时，，，此时无零点．
当时，
令
则，显然在上单调递增，
又，，所以存在使得，
因此可得时，，单调递减；
时，，单调递增；又，
所以存在，使得，
即时，，，单调递减；
时，，，单调递增；
又，，所以在上有一个零点．
综上，在上有1个零点．
3．（2022·河南）已知.
(1)讨论的单调性；
(2)若有一个零点，求k的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】（1）的定义域为，
，当时，恒成立，在上单调递增.
当时，在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
综上可知，时，在上单调递增.
时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）有一个零点，可得有一个实根，
令，.
令，得；令，得.
∴在上单调递增，在上单调递减.
∴.
又，
∴时，；时，.
大致图象如图所示，
若直线y＝－k与的图象有一个交点，
则或，即或.∴k的取值范围是.
考点二 不等式成立
【例2】（2022·江西南昌）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为(2)
【解析】（1）解：当时，，
，
当时，，，所以，即在上单调递增，
当时，，，所以，即在上单调递减，
则的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：因为，
则，
①当时，即时，因为，，，
所以，因此函数在区间上单调递增，
所以，不等式在区间上无解；
②当时，即时，当时，，，
因此，所以函数在区间上单调递减，
，不等式在区间上有解．
综上，实数的取值范围是．
【例2-2】（2022·四川成都）已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）当时，函数，∴，
当时，，∴在上单调递减，
当时，，∴在上单调递增，
∴，即．
（2）由已知得，
当时，令，解得；令，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
∴，
由恒成立得，即，
取对数得，即，
令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴，
又∵，
∴，得，即，
所以a的取值范围为．
【一隅三反】
1．（2022·甘肃定西）已知函数，
(1)求在处的切线方程
(2)若存在时，使恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由，可得，
所以切线的斜率，．
所以在处的切线方程为，即；
（2）令，
则，
令，，
在上，，
在上单调递增，
，
．
2．（2022·四川眉山）已知.
(1)求的极值点；
(2)若不等式存在正数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)极大值点为，极小值点为(2)
【解析】（1）解：函数的定义域为，，令可得或，列表如下：
所以，函数的极大值点为，极小值点为.
（2）解：由题意可知，存在，使得，即，令，其中，则，令，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，则，所以，函数在上单调递增，则，所以，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，则，所以，.
3．（2022·广东广州·一模）已知函数，.
(1)若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；
(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）当时，显然满足题意
当时，若函数只有一个零点，
即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为
只有一个根，
即直线与函数（且）的图像只有一个交点.
，令，得，
在和上，，在上，，
所以在和上单调递减，在上单调递增.
在时有极小值，图像如图所示：
由图可知：若要使直线与函数的图像只有一个交点，
则或，
综上.
（2）
恒成立，
等价于，
令（），
，
①若时，，
所以在上单调递增，
，即，满足，
②若时，则，，
所以在上单调递增，
当时，，不成立
故不满足题意.
③若时，令，，
，，
，单调递减，
，单调递增，
只需即可，
，，
令
，在上单调递增，
，时，，
，，
所以在上单调递增，
，即，
综上：
考点三 双变量
【例33】（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））设函数（​为常数）.
(1)讨论​的单调性；
(2)若函数​有两个不相同的零点​， 证明:​.
【答案】(1)在​上单调递减，​上单调递增.(2)证明见解析
【解析】（1）由（），
得，
令，则，
所以在上单调递增，
因为，
所以当时，，当时，，
所以​在​上单调递减，​上单调递增.
（2）
由（1）的结论，不妨设​.
又​均​，
只需证​.
构造函数​.
则，
因为，所以，
所以，
所以
，
当且仅当时取等号，而，所以取不到等号，
所以，
所以在上单递增，
所以，
所以​恒成立，结论得证.
【一隅三反】
1．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若在有两个极值点，求证：．
【答案】(1)当时，在上单调递增；
当或时，在上单调递减，
在和上单调递增.
(2)见解析
【解析】（1）由，
求导得，
易知恒成立，故看的正负，即由判别式进行判断，
①当时，即，，则在上单调递增；
②当时，即或，
令时，解得或，
当时，，
则在上单调递减；
当或，，
则在和上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递增；
当或时，在上单调递减，
在和上单调递增.
（2）
在上由两个极值点，
或，且为方程的两个根，即，，
，，即，
将，代入上式，可得：
，
由题意，需证，令，
求导得，
当时，，则在上单调递减，即，
故.
2．（2022·四川·高三开学考试（理））已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)当时，已知，是两个不相等的正数且，求证：．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）当时，函数，∴，
当时，，∴在上单调递减，
当时，，∴在上单调递增，
∴，即．
（2）当时，函数，∴，
当时，，∴在上单调递增，
当时，，∴在上单调递减，
根据题意不妨设，
①先证明，即证，
∵在上单调递增，∴只需证，
设，
则，
∵，，∴，，
∴，在上单调递减，
∴由得，
即得证，∴．
②再证明，构造过函数的切线，
过与两点函数的割线，
不妨设，
设，，
∴，，∴单调递增，
∵得，单调递增，
∴得，
∴得．
设，，
由（当地取等），得，
则，
∴得，∴得．
由得，得，
∴，
∴．
综上得．
8．（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（理））已知函数．
(1)当时，，求实数m的取值范围；
(2)若，使得，求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】（1）
由，得，
即，其中，
令，得，
设，
则，所以在上单调递增，
所以，所以，
所以在上单调递增，所以在上有最大值，
，
所以m的取值范围为；
（2）
由，可得，
整理为，
令，
则，所以在上单调递增，
不妨设，所以，从而，
所以，
所以，
下面证明，即证明，
令，即证明，其中，只要证明，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，
所以，
所以．
4．（2022·河南·郑州市第七中学高三阶段练习（理））巳知函数.
(1)求函数f（x）的最大值;
(2)若关于x的方程有两个不等实数根证明:
【答案】(1)2(2)证明见详解
【解析】（1）因为，所以.
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
（2）
方程
可化为.
设，显然在上是增函数，又，
所以有，即方程有两个实数根，.
由（1）可知，则有，所以的取值范围为.
因为方程有两个实数根，，所以，
则，要证，即证.
，
需证.
需证.
不妨设，令，则，即要证.
设，则，
所以在上是增函数，，即成立，故原式成立.增
极大值
减
极小值
增