新高考数学一轮复习基础巩固9.5 构造函数常见的方法（精讲）（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习基础巩固9.5 构造函数常见的方法（精讲）（含解析），共15页。试卷主要包含了直接型，加乘型，减除型，题意型等内容，欢迎下载使用。
9.5 构造函数常见的方法（精讲）（基础版）考点一 直接型【例1】（2023·全国·高三专题练习）设函数是奇函数（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（0，1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】D【解析】由题意设，则∵当x＞0时，有，∴当x＞0时，，∴函数在（0，+∞）上为增函数，∵函数f（x）是奇函数，∴g（﹣x）＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，g（x）在（﹣∞，0）上递减，由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，∵不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0，∴或，即有x＞1或﹣1＜x＜0，∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D．【一隅三反】1．（2022·陕西西安 ）已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造，当，，故在上单调递减，且易知为奇函数，故在上单调递减，由，所以.故选：B.2．（2022·河北·石家庄二中 ）已知定义域为的函数满足，且当时，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得关于成中心对称．令，可得当时，则在上单调递增. 由关于成中心对称且，故在上单调递增由，则，或解得，或，故 故选：A3．（2022·四川遂宁 ）已知定义在R上的函数满足：函数为奇函数，且当时，成立（为的导函数），若，，，则a、b、c的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，因为当时，成立，所以，为递增函数，又因为函数为奇函数，可得，则，所以函数为偶函数，所以函数在为单调递减函数，由，，，因为，所以，即.故选：B考点二 加乘型【例2】（2022·江苏）已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，，所以当时，，令，则当时，，故在时，单调递减，又因为在在R上为偶函数，所以在R上为奇函数，故在R上单调递减，因为，所以，当时，可变形为，即，因为在R上单调递减，所以，解得：，与取交集，结果为；当时，可变形为，即，因为在R上单调递减，所以，解得：，与取交集，结果为；综上：不等式的解集为.故选：A【一隅三反】1．（2022·辽宁锦州）已知定义在上的函数的导函数，且，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】构造函数，因为，所以，因此函数是增函数，于是有，构造函数，因为，所以，因此是单调递减函数，于是有，故选：D2（2022·陕西师大附中）是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】构造，则，因为定义域为，且，所以所以函数在上单调递增，不等式可化为：，即，所以有，解得：.即不等式的解集为：.故选：D3．（2021·江西·金溪一中 ）设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】构造函数，所以，又因为，所以，在上单调递增，因为，所以，不等式，可整理为，即，因为函数在上单调递增，所以.故选：D.考点三 减除型【例3】（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则与的大小关系为（　　）A．＜ B．=C．＞ D．不能确定【答案】C【解析】设，则有，又因为，所以在R上恒成立，则函数在R上单调递增，则，即，即＞.故选：C.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，在上的函数恒成立，构造函数，则，∵上，即，∴在上单调递减，而，故∴，可得.故选：B2．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）设是定义在R上的连续的函数的导函数，（e为自然对数的底数），且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，则，∵，∴，函数在R上单调递增， 又，∴,由，可得，即，又函数在R上单调递增，所以，即不等式的解集为.故选：C．3．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知函数的定义域为的导函数是，且.给出下列不等式：①；②；③，其中不等式恒成立的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】令，则.因为，所以，函数在上单调递增.对于①，因为，即，整理得，①恒成立；对于②，因为，所以，即，整理得，②恒成立；对于③，因为，所以，即，整理得，③错误.所以恒成立的不等式有①和②，共2个.故选：C.考点四  三角函数型【例4】（2022·吉林）（多选）已知函数是偶函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】构造函数，其中，则，∵对于任意的满足，∴ 当时，，则函数在上单调递增，又函数是偶函数，，∴，∴在上为偶函数，∴函数在上单调递减．∵，则，即，即，化简得，A正确；同理可知，即，即，化简得，B正确；，且即，即，化简得，C错误；，且，即，即，化简得，D正确．故选：ABD.【一隅三反】1．（2021·山东·高三开学考试）（多选）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（    ）A．< B．>0C．> D．>【答案】CD【解析】令，则，因为，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减，故，即，即，故A错；又，所以，所以在上恒成立，因为，所以，故B错；又，所以，即，故C正确；又，所以，即，故D正确.故选：CD2．（2022·安徽蚌埠·一模）已知函数的定义域是，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，则在上是减函数.，所以得，又，所以.故选：A.3．（2022·全国·专题练习）函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为__________．【答案】【解析】令，则，因为，所以，因为，所以，所以在上为减函数，由，得，所以，因为在上为减函数，所以，所以不等式的解集为，故答案为： 考点五 题意型【例5】（2022·江西·金溪一中）已知a，b，c∈（0，1），且a2－2lna＋1＝e，b2－2lnb＋2＝e2，c2－2lnc＋3＝e3则 （    ）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【答案】A【解析】设，则，又，所以在上单调递增，所以，即，因为，所以在上单调递减，所以，故选：A【一隅三反】1．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））​， 则（    ）A．​ B．​C．​ D．​【答案】A【解析】构造，，则，令，则，所以在上递减，所以，所以，所以在上递减，所以，所以，所以，即，所以，令（），则，所以在上递增，所以，所以，所以，所以，即故​.故选：A2．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知，，，则的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，令，则，令，则，当时，，∴在上单调递减，∴，即，∴，即； 令，∴，令，则，当时，，∴在上单调递减，∴，即，∴，即，综上可知：．故选：A．3．（2022·云南大理·模拟预测）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，由，得，设，则，当时，单调递增，因，当且仅当时取等号，故，又，所以，故，∴，则，即有，故.故选:C．