新高考数学一轮复习讲与练4.4 构造函数常见方法（精练）（提升版）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022·重庆）已知定义在上的奇函数，且其图象是连续不断的，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，
令，
，则，在单调递减．
又为上的奇函数，，，
，．
而，
，，即，故选：．
2．（2022·江苏）设函数f'（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导数，f（2）＝0，当x＜0时，f'（x）﹣2x+1＜0，则使得函数f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，2）
【答案】C
【解析】因为x＜0时，f'（x）﹣2x+1＜0，所以f′（x）＜2x﹣1＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，
又f（x）是偶函数，所以f（2）＝0，f（﹣2）＝0，
所以使f（x）＞0成立的x的范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：C．
3．（2021·四川）设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且分别是的导数，当时，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，可设，则为奇函数，又当时，所以在R上为增函数，且，转化为,当时，则，当，则，则，故解集是，故选C.
4．（2021·四川）设函数在上存在导函数，且有，；若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，所以在上单调递增
由，得，即，又因为，所以，
所以，所以，解得.故选：D
题组二 加乘型
1．（2022·河北承德）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，因为当时，，所以在上单调递减．
又是定义在上的奇函数，所以，
所以为偶函数，所以在上单调递增．
又不等式可化为，即，所以且，得或．故选：A.
2．（2022·四川雅安）定义在R上的偶函数的导函数为，且当时，．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，因为是偶函数，所以为偶函数，
当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
则，即，则，故A错误；
，即，故B错误；
，即，故C错误；
，即，则，故D正确.
故选：D.
3．（2022·陕西渭南）设函数的定义域为，是函数的导函数，，则下列不等关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，则，
令，，则，即在上单调递增，
对于A，，即，A正确；
对于B，，即，B不正确；
对于C，，即，C不正确；
对于D，，即，有，D不正确.
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数的图象关于点对称，若对任意的有（是函数的导函数）成立，且，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为函数的图象关于点对称，所以函数是奇函数，
因为，所以．
令，则在R上单调递增．又，，
所以，．
因为，所以，即，所以，
所以．故选：C．
5（2022·广东）已知定义在上的函数满足为偶函数，且当，有，若，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为定义在上的函数满足为偶函数，
所以函数关于直线对称，即.
因为当，有，即，
故令，则在上单调递增，
因为，
所以关于点对称，
所以在上单调递增，
因为，所以
所以，当时，，所以.
当时，，所以且，即无解.
所以，不等式的解集是
故选：A
6．（2022·广东广州·三模）设为函数的导函数，已知，则（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．在上有极大值 D．在上有极小值
【答案】D
【解析】由题意知：，，令，则，显然当时，，单减，
当时，，单增，故A，B错误；在上有极小值，令，则，
又，则，故在上有极小值，C错误；D正确.
故选：D.
7．（2022·四川攀枝花）已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令函数，则，因为定义域为的是奇函数，所以函数为偶函数；当时，因为，所以，即，所以在上为单调递增，
，，，因为，所以，
根据在上单调递增，所以．即．故选：D．
题组三 减除型
1．（2022·广西）函数的导函数为，对，都有成立，若，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，都有成立，∴，
令，则于是有 ，所以在上单调递增，
∵，∴，∵不等式，
∴，即不等式的解集是.故选：B．
2．（2022·江苏·昆山柏庐高级中学）已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，则，所以函数在区间上单调递增，所以，解之得或，即原不等式的解集为，故选：B.
3．（2022·四川攀枝花）设是定义在R上的连续奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令.
则，所以在上单调递减.
又，所以当时，，而，所以；
所以当时，，而，所以.
在中，令x=1可得：.所以当时都要.
又是定义在R上的连续奇函数，所以，当时，.
所以可化为：或或，解得：或或.
综上所述：.故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）在上的导函数为，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，则，
，，在上单调递增，
，即，.
故选：A.
5．（2022·天津外国语大学附属外国语学校）己知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，，，在定义上单调递减；①
又为偶函数，，，，
则不等式，即，由①得，故选：C．
6．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））已知函数的定义域为，且对任意，恒成立，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，该函数的定义域为，
则，所以在上单调递增．
由可得，即，
又在上单调递增，所以，解得，
所以原不等式的解集是，故选：D．
7．（四川省眉山第一中学2022届高考适应性考试数学（理）试题）已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是________．
【答案】
【解析】设，则 ，
因为，，所以，可得在上单调递减，
不等式，即，即，所以，
因为在上单调递减，所以，又因为，所以不等式的解集为：，故答案为：．
8．（河北省衡水市部分学校2022届高三下学期4月联考数学试题）已知函数的导函数为，定义域为，且满足，则不等式恒成立时m的取值范围为__________.
【答案】
【解析】由题意，函数的定义域为，
因为，可得，
设，可得，所以函数在上单调递减，
又由，所以，且，
则，解得，即m的取值范围为.
故答案为：.
题组四 三角函数型
1．（2021·河南新乡市·高三一模）设函数是定义在上的奇函数，函数的导函数为，且当时，，为自然对数的底数，则函数在上的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得.
令，因为，所以等价于.当时，，在上单调递增，又是定义在上的奇函数，所以也是定义在上的奇函数，从在上单调递增，又，所以在上只有个零点，从而可得在上只有个零点.
故选：B.
2．（2022·湖北）奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（，π）B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，因为当时，有，
所以，当时，，
所以，函数在(内为单调递减函数，
所以，当时，关于的不等式可化为，即，
所以；
当时，，则关于的不等式可化为，即
因为函数为奇函数，故，也即
所以，即，
所以，．
综上，原不等式的解集.
故选：D．
3．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误.
偶函数在上为增函数，在上为减函数，
，故B正确；
，，故C错误；
，，故D错误.
故选：B
4．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，则
则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数
则是上的偶函数，且在单调递减，
由，可得，则，
则时，不等式
可化为
又由函数在上单调递增，且，，
则有，解之得
故选：D
题组五 题意型
1．（2022·江西赣州）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，取得极大值，则，，
故．故选：D
2．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知实数a，b，，e为自然对数的底数，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，，得，，，
构造函数，求导得，令，得．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
因为，所以，所以，
又因为，在上单调递减，所以.
故选：A．
3．（2022·新疆乌鲁木齐）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又，，，
又，所以.故选：A.
4（2022·辽宁大连·二模）下列不等式正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
则当0