新高考数学一轮复习讲与练9.5 构造函数常见的方法（精练）（基础版）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023·全国·高三专题练习）已知是函数的导数，且，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
因为当时，，所以当时，，
即在上单调递增，
因为，所以为偶函数，则也是偶函数,所以在上单调递减.
因为,所以,
即,
则，解得，
故选：D.
2．（2022·全国·高二单元测试）已知定义在上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为可化为，
令，则，
因为，
所以，所以在上单调递减，
因为，所以，
所以，所以，即不等式的解集为．故选：A．
3．（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）设函数在上存在导数，对于任意的实数x，有，当时，，若，则实数m的取值范围是（ ）
A．[1，2）B．
C．[，2）D．
【答案】B
【解析】因为，所以，令，
所以，
因为，所以，所以为奇函数；
，当时，单调递减，因此在R上单调递减；
当，即时，；则：
所以：，
即，所以，
由于递减，所以，解之得；所以AC错误；
当，即时，，
同理可得：，
所以，解之得：；
综上，，
故选：B
4．（2022·辽宁·沈阳二中 ）（多选）已知函数的定义域为，且，，则下列结论中正确的有（ ）
A．为增函数B．为增函数
C．的解集为D．的解集为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以为增函数，故A正确；
对于B，由，，所以为增函数，故B正确；
对于C，，则等价于，又为增函数，
所以，解得，所以的解集为，故C错误；
对于D，等价于，
即，又为增函数，
所以，解得，所以的解集为，故D正确；
故选：ABD.
5．（2022·黑龙江）已知是定义在上的奇函数，当时，且，则不等式的解集是______．
【答案】
【解析】设，则
因为是定义在上的奇函数，
所以，
所以是上的偶函数，
当时，，所以在上单调递增，
所以在上单调递减．因为，所以，
所以．
对于不等式，
当时，，即，解得；
当时，，即，解得，
所以不等式的解集是．
故答案为：
题组二 加乘型
1．（2022·山东）已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，则，
因为当时，有，
所以当时，，
所以在上为增函数，
因为为奇函数，所以，
所以，
所以为R上的奇函数，
所以在R上为增函数，
由，得
，
，
所以，
因为为奇函数，所以，
所以，得，
所以不等式的解集为，故选：C
2．（2022·山西太原·高三阶段练习）定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】令 ，
则，由于,
故,故在单调递增，
而 ，
由，得 ，
∴ ，即 ,
∴不等式的解集为,
故选：D．
3．（2022·陕西渭南）已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】构造函数,则,因为,故,因此可得在上单调递减，由于，故，
故选：A
4．（2022·广东·高三阶段练习）（多选）已知定义在上的函数满足，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】由，得，
设，则,
设，则在上为增函数,且，
则当时，，此时，此时函数为增函数；
当时，，此时，此时函数为减函数，
故由，即，A正确；
由，得，即，B错误；
与不在一个单调区间上，C中算式无法比较大小，C错误；
由，得，即，D正确．
故选：AD
5．（2022·重庆·高三阶段练习）（多选）已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在定义域上单调递增
B．函数在定义域上有极小值
C．函数的单调递增区间为
D．不等式的解集为
【答案】AC
【解析】令，则，
因为，可得，
又由，可得，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
即，所以单调递增，所以A正确，B不正确；
由函数，可得，
令，即，解得，
所以函数的单调递增区间为，所以C正确；
设，则，则
因为，所以，
所以，
令，
则
注意到时，，进而单减，
知时“，即.”
时单减，而，所以D错误.
故选：AC.
6（2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，记为函数的导函数，且满足，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，故，
又，所以，即，
所以是定义在上的奇函数；
又因为，所以，即，
两式相加，再整理得：，
所以由得，即，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以在上，由，解得；
又当时，，即，故，即，
综上： 的解集为，
故的解集为.
故答案为：.
题组三 减除型
1（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，所以，因为，所以，化简得，所以是上的奇函数；
，
因为当时，，
所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；
考虑到，由，
得，即，
由在上单调递增，得解得，
所以不等式的解集为，
故选：B.
2．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）定义在上的函数的导数为，若对任意实数都有，且函数为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数为上的奇函数，则，所以.
原不等式可化为，即.
令，则，
故在上单调递减，且由所以.
故选：B.
3．（2022·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（文））已知函数的定义域为R，且对任意，恒成立，则解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得，
记，则在R上单调递增.
由得，
即，
∴，
∴.故选：B.
4．（2022·山东 ）已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵是定义在R上的奇函数，则，
令，则，
∴为上的偶函数，
又当时，，∴，
∴在上是增函数，在上是减函数；
又，∴，，，
当时，不等式即为，即，
∴，
当时，不等式即，即，
∴，
当时，，不等式不成立；
综上，不等式的解集是，
故选：D.
5．（2021·陕西宝鸡市·高三一模）若定义在上的函数满足，，则不等式 (其中为自然对数的底数)的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，
则，
所以在上单调递增，
又因为，
所以，
即不等式的解集是，
故选：C
题组四 三角函数型
1．（2021·全国高三专题练习）已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，由在上恒有，
，
在上为增函数，
又由，为偶函数，
，，，
，故A错误.
偶函数在上为增函数，在上为减函数，
，，
，，故B正确；
，，，，故C错误；
，，，，故D错误.
故选：B.
2．（2021·全国高三专题练习）已知定义R在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
又由，所以.
故，即为定义在R上的偶函数；
当时，，
所以在上单调递增，
由，
即，
所以，
解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
3．（2021·全国高三专题练习（理））定义在上的函数的导函数为，当时，且，.则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，，，
所以，，
，所以，函数为上的奇函数，
，
当时，，即，，
所以，在上单调递增，
由奇函数的性质可知，函数在上单调递增，
所以，函数在上单调递增.
对于A选项，，则，即，A选项错误；
对于B选项，，，即，B选项正确；
对于C选项，，，即，C选项错误；
对于D选项，，，即，D选项错误.
故选：B.
4．（2021·全国高三专题练习（理））设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设函数，则，
因为，所以，
所以在上是增函数，
，，，
所以，
故选：A
5．（2021·浙江高三专题练习）定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵且，∴是奇函数，
设，则时，，∴在是减函数．
又是奇函数，∴也是奇函数，因此在是递减，
从而在上是减函数，
不等式为，即，∴．
故选：B．
题组五 题意型
1（2022·天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，上单调递减，又，所以，，即，，
又，所以，
所以；
故选：A
2．（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以，所以，
设，则，
所以在上单调递增.
所以，即，
于是有，所以，即，
所以.
故选：B.
3．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知为自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，，令，则，，.，易知在上单调递增．
又，而，所以．
故选：A.
4．（2022·四川巴中·模拟预测（理））已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，，可得，则，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，，
所以，所以在上单调递减，从而，
所以，即，从而可知.
由，,可得，则，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，，
所以，所以在上单调递减，从而，
所以，即，从而可知.
综上可得.
故选：C
5．（2022·湖北·高三开学考试）已知是自然对数的底数，若，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
又因为，
所以，
即，
又因为，且递减，
所以，
故选：A
6．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，
令，，所以为单调递增函数，
且，所以，
所以，即，所以，
设，，
所以单调递减，得，
可得，
所以，即
.
故选：A.
7．（2022·全国· 课时练习）已知且，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】构造函数，则，，．
因为在上恒成立，所以函数在上单调递减.
又因为，所以，且，故.
故选：C．
8．（2022·江苏南通·模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由不等式可得，即；，
设，
因为，所以在上单调递增，
所以当，所以，即.
所以.
故选：C