人教版九上数学第二十二章第五节二次函数的最值 专题训练

这是一份人教版九上数学第二十二章第五节二次函数的最值 专题训练，共22页。试卷主要包含了设二次函数y＝a等内容，欢迎下载使用。
1．二次函数y＝2x2﹣8x+1的最小值是（ ）
A．7B．﹣7C．9D．﹣9
2．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b，c的值分别是（ ）
A．2，4B．2，﹣4C．﹣2，4D．﹣2，﹣4
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）
A．20cmB．18cmC．25cmD．32cm
4．设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（ ）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
5．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是−54，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2B．0≤m≤12C．﹣2≤m≤−12D．m≤−12
6．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（ ）
A．1或﹣3B．﹣3或﹣5C．1或﹣1D．1或﹣5
7．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（ ）
A．8B．6C．4D．22
8．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，此函数最大值与最小值的差（ ）
A．与p、q的值都有关B．与p无关，但与q有关
C．与p、q的值都无关D．与p有关，但与q无关
10．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A．12B．22C．32D．1
二．填空题（共5小题）
11．已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 ．
12．在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数y=14x2+bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝ ．
13．已知实数x，y满足2x2+13x+y﹣8＝0，则x+y的最大值为 ．
14．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
15．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接BE、CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．
（1）若BE=5，则正方形CEFG的面积为 ；
（2）连接DF、DG，则△DFG面积的最小值为 ．
三．解答题（共8小题）
16．已知周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所示．
（1）直接写出a的值和y关于x的函数表达式；
（2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？
17．某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为30cm的正方形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
（1）若无盖纸盒的底面积为484cm2，则剪掉的小正方形的边长为多少？
（2）折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．
18．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）如果筝形的两条对角线长分别为6cm、8cm，求筝形的面积？
（2）已知筝形ABCD的对角线AC，BD的长度为整数值，且满足AC+BD＝6．试求当AC，BD的长度为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少？
19．如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB．
（1）求b、c的值；
（2）求△PAB的面积的最大值．
20．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．P、Q分别从A、B同时出发，当P、Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为t s．（t≥0）
（1）当t为何值时，PQ的长度等于5cm；
（2）求出S△BPQ关于t的函数解析式，计算P、Q出发几秒时，S△BPQ有最大值，并求出这个最大面积？
21．在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标互为相反数，则称点M为智慧点，例如：点（1，﹣1），（−12，12），（3，−3），…都是智慧点．
（1）判断函数y＝2x﹣1的图象上是否存在智慧点，若存在，求出其智慧点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2﹣5x+c（a≠0）的图象上有且只有一个智慧点（2，﹣2），当1≤x≤n时，函数y＝ax2﹣5x+c（a≠0）的最小值为−94，最大值为0，求实数n的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），如果B（x，y′）的纵坐标满足y'＝x﹣y，那么称点B为点A的“友好点”．
（1）求点（5，3）的“友好点”的坐标；
（2）如果点M（m，n）的“友好点”N在函数y=14x2的图象上，当0≤m≤6时，求线段MN的最大值．
23．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：
（1）max{5，2}＝ ，max{0，3}＝ ；
（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；
（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．
22.3.1实际问题与二次函数（二次函数的最值）
一．选择题（共10小题）
1．解析：根据二次函数的最值公式列式计算即可得解．
解：∵二次函数有最小值，
∴4×2×1−(−8)24×2=−7，
故选：B．
2．解析：根据二次函数y＝﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1来确定该函数的图象的开口方向，由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3）确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答b、c的值．
解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1＜0，
∴该函数的图象的开口方向向下，
∴二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶点坐标，
∴﹣1=b2，即b＝﹣2；①
﹣3=−4c−b2−4，即b2+4c+12＝0；②
由①②解得，b＝﹣2，c＝﹣4；
故选：D．
3．解析：根据已知条件得到CP＝6﹣t，得到PQ=PC2+CQ2=(6−t)2+t2=2(t−3)2+18，于是得到结论．
解：∵AP＝CQ＝t，
∴CP＝6﹣t，
∴PQ=PC2+CQ2=(6−t)2+t2=2(t−3)2+18，
∵0≤t≤2，
∴当t＝2时，PQ的值最小，
∴线段PQ的最小值是25，
故选：C．
4．解析：令y＝0，求出二次函数与x轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可．
解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+k，
∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），
∴二次函数的对称轴是：直线x=x1+x22=m+m+k2=2m+k2，
∵a＞0，
∴y有最小值，
当x=2m+k2时，y最小，
即y=a(2m+k2−m)(2m+k2−m−k)=−k24a，
当k＝2时，函数y的最小值为y=−224a=−a；
当k＝4时，函数y的最小值为y=−424a=−4a，
故选：A．
5．解析：先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是−54，得出m≤−12；再求得当x＝1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限．
解：解法一：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x=−12，
∴当x=−12时，y有最小值，此时y=14−12−1=−54，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是−54，
∴m≤−12；
∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x=−12，
∴当x=−12−[1﹣（−12）]＝﹣2时，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤−12；
∴﹣2≤m≤−12．
解法二：画出函数图象，如图所示：
y＝x2+x﹣1
＝（x+12）2−54，
∴当x＝1时，y＝1；
当x=−12，y=−54，当x＝﹣2，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是−54，
∴﹣2≤m≤−12．
故选：C．
6．解析：利用配方法可得出：当x＝m时，y的最小值为1．分m＜﹣3，﹣3≤m≤﹣1和m＞﹣1三种情况考虑：当m＜﹣3时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值；当﹣3≤m≤﹣1时，y的最小值为1，舍去；当m＞﹣1时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较大值．综上，此题得解．
解：∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，
∴当x＝m时，y的最小值为1．
当m＜﹣3时，在﹣3≤x≤﹣1中，y随x的增大而增大，
∴9+6m+m2+1＝5，
解得：m1＝﹣5，m2＝﹣1（舍去）；
当﹣3≤m≤﹣1时，y的最小值为1，舍去；
当m＞﹣1时，在﹣3≤x≤﹣1中，y随x的增大而减小，
∴1+2m+m2+1＝5，
解得：m1＝﹣3（舍去），m2＝1．
∴m的值为﹣5或1．
故选：D．
7．解析：作PM⊥AD于M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（4﹣x），由三角形面积公式得出S△APF=12×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果．
解：作PM⊥AD于M，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM，
设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，
∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝4﹣x，
∴AF＝2（4﹣x），
∵S△APF=12AF•PM，
∴S△APF=12×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，S△APF有最大值4，
故选：C．
8．解析：先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y＝15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3），
∴当y＝﹣3时，x＝1，
当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15，
解得x＝4或x＝﹣2，
∵当0≤x≤a时，y的最大值为15，
∴a＝4，
故选：D．
9．解析：先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值与最小值即可得到结论．
解：∵二次函数y＝x2+px+q＝（x+p2）2+4q−p24，
∴该抛物线的对称轴为x=−p2，且a＝1＞0，
当x=−p2＜0，
∴当x＝0时，二次函数有最小值为：q，
∴当x＝1时，二次函数有最大值为：1+p+q，
∴函数最大值与最小值的差为1+p；
当x=−p2＞1，
∴当x＝0时，二次函数有最大值为：q，
∴当x＝1时，二次函数有最小值为：1+p+q，
∴函数最大值与最小值的差为﹣1﹣p；
当0≤x=−p2＜12，
此时当x＝1时，函数有最大值1+p+q，
当x=−p2时，函数有最小值q−p24，差为1+p+p24，
12＜x=−p2≤1，当x＝0时，函数有最大值q，当x=−p2时，函数有最小值q−p24，差为p24，
x=−p2=12，当x＝0或1时．函数有最大值q，
当x=−p2时，函数有最小值q−p24，差为p24，
综上所述，此函数最大值与最小值的差与p有关，但与q无关，
方法二：设当x＝x2时，次函数取得最大值为y2，
当x＝x1时，二次函数取得最小值y1，
∴y2﹣y1＝x22+px2+q﹣（x12+px1+q）＝x22﹣x12+p（x2﹣x1），
∴此函数最大值与最小值的差与p有关，但与q无关，
故选：D．
10．解析：分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式可得AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），易证△ADG∽△ABH，所以DGBH=AGAH，即m−a2b2−a2=aa+b．可得m＝ab．再证明△AEO∽△OFB，所以AEOF=EOBF，即a2b=ab2，可得ab＝1．即得点D为定点，坐标为（0，1），得DO＝1．进而可推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即12时最大．
解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，
设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝x2，
则AE＝a2，BF＝b2，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴DGBH=AGAH，即m−a2b2−a2=aa+b．
化简得：m＝ab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB．
∴AEOF=EOBF，
即a2b=ab2，
化简得ab＝1．
则m＝ab＝1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）．
∵∠DCO＝90°，DO＝1，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为12DO=12时，点C到y轴的距离最大．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．解析：根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．
解：∵a﹣b2＝4，
∴b2＝a﹣4，
∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14
＝a2﹣3a+12+a﹣14
＝a2﹣2a﹣2
＝a2﹣2a+1﹣1﹣2
＝（a﹣1）2﹣3，
∵1＞0，
又∵b2＝a﹣4≥0，
∴a≥4，
∵1＞0，
∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，
∴当a＝4时，原式取最小值为6，
故答案为：6．
12．解析：根据题意求得点A（3，0），B（3，4），C（0，4），然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可．
解：由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
∵A（3，0），四边形ABCO是矩形，
∴B（3，4），
①当抛物线经过O、B时，将点O（0，0），B（3，4）代入y=14x2+bx+c（0≤x≤3）得
c=014×9+3b+c=4，
解得b=712；
②当抛物线经过A、C时，将点A（3，0），C（0，4）代入y=14x2+bx+c（0≤x≤3）得
c=414×9+3b+c=0，
解得b=−2512，
综上所述，b=712或b=−2512，
故答案为：712或−2512．
13．解析：由题意可得y＝﹣2x2﹣13x+8，代入x+y中，再根据二次函数的性质解答即可．
解：∵2x2+13x+y﹣8＝0，
∴y＝﹣2x2﹣13x+8，
∴x+y＝x+（﹣2x2﹣13x+8）＝﹣2（x+3）2+26．
∵﹣2＜0，
∴当x＝﹣3时，x+y有最大值，最大值为26．
故答案为：26．
14．解析：设P（x，x2﹣2x﹣3）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x−32）2+212．根据二次函数的性质来求最值即可．
解：设P（x，x2﹣2x﹣3），
∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，
∴四边形OAPB为矩形，
∴四边形OAPB周长＝2PA+2OA
＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x
＝﹣2x2+6x+6
＝﹣2（x2﹣3x）+6，
＝﹣2(x−32)2+212．
∴当x=32时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为212．
故答案为212．
15．解析：（1）利用勾股定理求出EC2即可解决问题；
（2）设DE＝x，则CE=4+x2，根据S△DEC+S△DFG=12S正方形ECGF，求出△DFG面积的函数表达式，配方求最值即可．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝2，∠A＝∠D＝90°，
∵BE=5，
∴AE=BE2−AB2=(5)2−22=1，
∴DE＝AD﹣AE＝2﹣1＝1，
∴EC2＝DE2+CD2＝12+22＝5，
∴正方形CEFG的面积＝EC2＝5．
故答案为5；
（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE=4+x2，
∵S△DEC+S△DFG=12S正方形ECGF，
∴S△DFG=12（x2+4）−12×x×2
=12x2﹣x+2
=12（x﹣1）2+32，
∵12＞0，
∴x＝1时，△DFG的面积的最小值为32．
故答案为32．
三．解答题（共8小题）
16．解析：（1）根据矩形的周长公式得出a＝2（x+y），再把P（12，10）代入求出a的值，用x表示出y的值即可；
（2）利用矩形的面积公式得出S矩形与x的函数关系式，求出S的最大与最小值即可．
解：（1）∵周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm），
∴a＝2（x+y），
∵当x＝12时，y＝10，
∴a＝2（12+10）＝44（cm）．
a＝44cm，a＝2（x+y），
∴y＝22﹣x；
（2）∵由（1）知，
∴S矩形＝xy＝x（22﹣x）＝﹣x2+22x（x＞0），
∴当x=−22−2=11时，S矩形最大＝﹣112+22×11＝121（cm2）．
答：当x＝11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm2．
17．解析：（1）根据题意和图示，设剪掉的小正方形的边长为a cm，列式求解即可；
（2）根据题意，设剪掉的小正方形的边长为x cm，无盖纸盒的侧面积为s，结合几何图形面积的计算方法，二次函数图象最值的计算方法即可求解．
解：（1）设剪掉的小正方形的边长为a cm，
∴无盖纸盒的底面的边长为（30﹣2a），
∵30﹣2a＞0，a＞0，
∴0＜a＜15，
∴（30﹣2a）2＝484，
解得，a1＝4，a2＝26（舍去），
∴剪掉的小正方形的边长为4cm；
（2）设剪掉的小正方形的边长为x cm，无盖纸盒的侧面积为s，
∴s=4(30−2x)x=−8x2+120x=−8(x−152)2+450，
∴当x=152时，s有最大值，最大值为450cm2，
∴无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为152cm时，有最大值，最大值为450cm2．
18．解析：（1）由AD＝CD和AB＝BC可得出点B和点D都在AC的垂直平分线上，推导出AC⊥BD，即可解决问题．
（2）设AC的长为x，用x表示出筝形的面积，再求最值即可．
解：（1）∵AD＝CD，
∴点D在AC的垂直平分线上．
同理点B在AC的垂直平分线上．
∴BD垂直平分AC．
∴AC⊥BD．
∴S筝形＝S△ADC+S△ABC
=12AC⋅DO+12AC⋅BO
=12AC⋅(DO+BO)
=12AC⋅BD．
又∵筝形的两条对角线长分别为6cm，8cm，
∴S筝形=12×6×8=24（cm2）．
（2）令AC＝x cm，则BD＝（6﹣x） cm，
由（1）知，
S筝形ABCD=12x•（6﹣x）
=−12x2+3x
=−12（x﹣3）2+92，
又∵AC，BD的长度为整数值，
则当AC＝3时，
S筝形ABCD有最大值，最大值为92．
此时BD＝6﹣3＝3（cm）．
即当AC＝3，BD＝3时，S筝形ABCD有最大值，最大值为92．
19．解析：（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c；
（2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PC∥OA，交AB于E，则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2，得出面积，即可解答．
解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+5＝5；当x＝4时，y＝﹣x+5＝1，则A（0，5），B（4，1），
则c=516+4b+c=1，
解得：c=5b=−5；
（2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PE∥OA，交AB于E，
则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2，
∴S△ABP=12(4m−m2)×(4−0)=−2(m−2)2+8，
当m＝2时，最大值为8．
20．解析：（1）利用t的代数式分别表示出线段AP，PB，BQ，利用勾股定理在Rt△PBQ中列出关于t的方程，解方程即可得出结论；
（2）利用（1）中的结论和三角形的面积公式即可得到S△BPQ关于t的函数解析式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论．
解：（1）由题意得：AP＝t cm，BQ＝2t cm，
∵AB＝5cm，
∴PB＝AB﹣AP＝（5﹣t）cm．
在Rt△PBQ中，
∵PB2+BQ2＝PQ2，
∴（5﹣t）2+（2t）2＝52，
解得：t＝2或t＝0，
答：当t为0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm．
（2）由（1）知：AP＝t cm，BQ＝2t cm，
∵当P、Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动，
∴0≤t≤50≤2t≤7，
∴0≤t≤72．
∴S△BPQ=12×PB•BQ=12×（5﹣t）•2t＝﹣t2+5t，
∴S△BPQ关于t的函数解析式为S△BPQ＝﹣t2+5t；
∵S△BPQ＝﹣t2+5t=−(t−52)2+254，
∵﹣1＜0，
∴当t=52秒时，S△BPQ有最大值，最大值为254．
∴P、Q出发52秒时，S△BPQ有最大值，这个最大面积为254cm2．
21．解析：（1）根据新定义列方程求解；
（2）根据新定义和只有一个，列方程组求出函数解析式，再根据二次函数的性质求解．
解：（1）存在；
由题意，函数y＝2x﹣1的图象上存在智慧点，
根据题意﹣x＝2x﹣1，解得x=13．
故其智慧点的坐标为（13，−13）．
（2）由题意，∵二次函数y＝ax2﹣5x+c（a≠0）的图象上有智慧点，
∴﹣x＝ax2﹣5x+c，即ax2﹣4x+c＝0．
∵二次函数y＝ax2﹣5x+c（a≠0）的图象上有且只有一个智慧点（2，﹣2）．
∴Δ=(−4)2−4ac=04a−10+c=−2，
解得：a＝1，c＝4．
∵a＝1，c＝4，
∴二次函数为y＝x2﹣5x+4，
∴x＝1时，y＝0，
∵y＝x2﹣5x+4＝（x−52）2−94，
∴对称轴为直线x=52，
∴当x＝1或4时，函数值为0，
∵若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2﹣5x+c（a≠0）的最小值为0，最大值为−94，
∴实数n的取值范围是52≤n≤4．
22．解析：（1）依据题意，由“友好点”的定义进行计算可以得解；
（2）依据题意，点M（m，n）的“友好点是点N，点N在 y=14x2 的图象上，从而可以列式m−n=14m2，再表示出M(m，−14m2+m)，N(m，14m2)，进而得到MN=|−14m2+m−14m2|=|−12m2+m|，然后画出图象，再结合0≤m≤6，即可求出MN的最大值．
解：（1）由题意，∵（5，3），
∴x＝5，y＝3．
∴y'＝5﹣3＝2．
∴点（5，3）的“友好点”的坐标为（5，2）．
（2）∵点M（m，n）的“友好点是点N，点N在 y=14x2 的图象上，
∴m−n=14m2．
∴n=−14m2+m．
又∵M(m，−14m2+m)，N(m，14m2)，
∴MN=|−14m2+m−14m2|=|−12m2+m|．
由 MN＝|−12m2+m|函数图象可知，
又0≤m≤6，
∴当m＝6时，线段MN有最大值，MN=|−12×(6−1)2+12|=12．
23．解析：（1）根据max{a，b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论；
（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y＝﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．
解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．
故答案为：5；3．
（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，
∴3x+1≤﹣x+1，
解得：x≤0．
（3）联立两函数解析式成方程组，
y=x2−2x−4y=−x+2，解得：x1=−2y1=4，x2=3y2=−1，
∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．
画出直线y＝﹣x+2，如图所示，
观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
A
C
D
C
D
D
A