人教版九上数学第二十三章第五节中心对称 专题训练

这是一份人教版九上数学第二十三章第五节中心对称 专题训练，共16页。
1．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC于E、F两点，则阴影部分的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（ ）
A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心
B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段
C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分
D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分
3．如图，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
4．如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，修路的方法有（ ）
A．1种B．2种C．4种D．无数种
5．下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（ ）
A．点GB．点HC．点MD．点N
7．如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（ ）
A．点AB．点B
C．线段AB的中点D．无法确定
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，点O是对角线BD的中点，将△BCD绕点O旋转180°得到△DEB，DE交边AB于点F，若∠A+∠E＝165°，AD＝10，CD=72，则线段BC的长为（ ）
A．102B．112C．122D．132
9．已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（2，3），则B点与D点的坐标分别为（ ）
A．（﹣2，3），（2，−3）
B．（−3，2），（3，﹣2）
C．（−3，2），（2，−3）
D．（−72，212），（72，−212）
10．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
二．填空题（共5小题）
11．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 ．
12．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为 ．
13．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是 ．
14．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在AD的延长线上，且DE＝2，过点E作直线l分别交边CD，AB于点M，N．若直线l将▱ABCD的面积平分，则线段CM的长为 ．
15．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝2，∠CAB＝90°，则AE的长是 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，△ABO与△CDO关于O点成中心对称，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．
求证：FD＝BE，FD∥BE．
17．如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE，求证：FD＝BE．
18．在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB．
（1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明；
（2）如图2，若点D在边BC上，DC＝2，AC=19，求AB的长．
19．在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，﹣4），B（4，﹣2）．C是第四象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
（1）填空：C点的坐标是 ，△ABC的面积是 ；
（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1、BA1，则四边形AB1A1B的形状是何特殊四边形？ ．
（3）请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心O；
（2）若AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△DEF的周长．
23.2.1中心对称
一．选择题（共10小题）
1．解析：首先证明△DEO≌△BFO，阴影面积就等于三角形BOC面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDB＝∠OBF，DO＝BO，
在△EDO和△FBO中，
∠EDO=∠FBODO=BO∠FOB=∠EOD，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴S△DEO＝S△BFO，
阴影面积＝三角形BOC面积=14×2×2＝1．
故选：A．
2．解析：根据中心对称的性质，①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，判断各选项即可得出答案．
解：A、成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段一定经过对称中心，故本选项错误；
B、成中心对称的两个图形中，对称中心一定平分连接对称点的线段，故本选项错误；
C、成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，故本选项错误；
D、成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，故本选项正确．
故选：D．
3．解析：根据中心对称的性质：“成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心且被对称中心平分．”，连接BE和CF，其交点即为对称中心．
解：如图，连接BE、CF，发现其交于点M，
根据中心对称的性质可知点M即为其对称中心．
故选C．
4．解析：根据正方形的性质，过对角线的交点，作两条互相垂直的直线即可．
解：∵正方形是中心对称图形，
∴经过正方形的对称中心作互相垂直的两条直线，
则这两条直线把草地分成的四部分面积相等，
故选：D．
5．解析：根据中心对称的性质解答即可．
解：由题可知，A、B、D不是中心对称图形，C是中心对称图形图形．
故选：C．
6．解析：A、D两点到M的距离相等且三点在一条直线上，B、E两点到M都是2×3的网格且三点在一条直线上，C、F两点到M都是1×2的网格且三点在一条直线上，可得对称中心是点M．
解：AD、CF、BE相交于点M，
∴点M是△ABC与△DEF的对称中心，
故选：C．
7．解析：由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点．
解：如图对称中心是AB的中点，
故选：C．
8．解析：先根据旋转得出∠C＝∠E，再根据∠A+∠E＝165°，结合四边形的内角和为360°，得出∠ADC为135°，过点A作CD的垂线，构造直角三角形，最后根据△ABC为等边三角形即可解决问题．
解：由旋转可知，
∠C＝∠E，
∵∠A+∠E＝165°，
∴∠A+∠C＝165°，
又∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝360°﹣60°﹣165°＝135°．
过点A作CD的垂线，垂足为M，
∵∠ADC＝135°，
∴∠ADM＝45°．
在Rt△ADM中，
sin∠ADM=AMAD，
∴AM10=22，
∴AM=52，
同理可得，DM=52．
∴MC=52+72=122．
在Rt△ACM中，
AC=(52)2+(122)2=132．
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC=132．
故选：D．
9．解析：连接OA、OD，过点A作 AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，易证△AFO≌△OED（AAS），则OE＝AF=3，DE＝OF＝2，D（3，﹣2），因为B、D关于原点对称，所以B（−3，2）．
解：如图，连接OA、OD，过点A作 AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，
易证△AFO≌△OED（AAS），
∴OE＝AF=3，DE＝OF＝2，
∴D（3，﹣2），
∵B、D关于原点对称，
∴B（−3，2），
故选：B．
10．解析：通过作图观察即可得出答案．
解：画图如下，
，
由图可知最后会与原有矩形重合，
∴四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．解析：根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=12×6×8＝24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=12×24＝12．
故答案为：12．
12．解析：根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
解：如图，
∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝3，OD＝2，
∴AB＝2，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×2＝6．
故答案为：6．
13．解析：利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，
∴AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴AE=AD2+DE2=22，
故答案为22．
14．解析：依据题意，连接AC交l于点O，由直线l将▱ABCD的面积平分，从而O为AC的中点，结合平行四边形的性质可得△AON≌△COM，进而AN＝CM，再由AN∥DM有DMAN=EDEA，求出AN，故而可以得解．
解：连接AC交l于点O．
∵直线l将▱ABCD的面积平分，AC为▱ABCD的对角线，
∴O为AC的中点，为平行四边形的中心．
∴OA＝OC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠NAO＝∠MCO，DMAN=EDEA．
又∠AON＝∠COM，
∴△AON≌△COM（ASA）．
∴AN＝CM．
∴DMCM=EDEA．
又ED＝2，AD＝4，AB＝3，
∴3−CMCM=26．
∴CM=94．
故答案为：94．
15．解析：证明∠D＝90°，利用勾股定理求解．
解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ACB≌△DCE，
∴AC＝CD＝2，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE＝3，
∴AD＝4，
∴AE=DE2+AD2=32+42=5，
故答案为：5．
三．解答题（共5小题）
16．解析：根据中心对称的性质可得BO＝DO，AO＝CO，证明四边形BEDF是平行四边形，可得DF＝BE，FD∥BE．
证明：连接BF、DE，
∵△ABO与△CDO关于O点成中心对称，
∴OB＝OD，OA＝OC．
∵AF＝CE，
∴OF＝OE．
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴FD＝BE，FD∥BE．
17．解析：根据中心对称的性质可得BO＝DO，AO＝CO，再利用等式的性质可得FO＝EO，然后再证明△FOD≌△EOB，利用全等三角形的性质可得DF＝BE．
证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AF＝CE，
∴AO﹣AF＝CO﹣CE，
∴FO＝EO，
在△FOD和△EOB中
FO=EO∠FOD=∠EOBBO=DO，
∴△FOD≌△EOB（SAS），
∴DF＝BE．
18．解析：（1）由旋转的性质可得BC＝BE，可得∠BCE＝∠BEC，由平行线的性质可得∠ABC＝∠BCE＝∠BEC；
（2）过点D作DF⊥CE于点E，由旋转的性质可得AC＝DE=19，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，可证△BCE是等边三角形，由直角三角形的性质可求CF的长，由勾股定理可求EF的长，可得CE＝BC＝10，即可得BD＝AB的长．
解：（1）∠ABC＝∠BEC，理由如下：
∵△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，
∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠BEC；
（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，
∵△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，
∴AC＝DE=19，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，AB＝BD，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵CE∥AB，
∴∠BCE＝∠ABC，
∴∠DBE＝∠BEC＝∠BCE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝EC，∠DCE＝60°，且DF⊥CE，
∴∠CDF＝30°，
∴CF=12CD＝1，DF=3CF=3，
在Rt△DEF中，EF=DE2−DF2=19−3=4，
∴CE＝EF+CF＝5＝BC，
∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3＝AB，
∴AB的长为3．
19．解析：（1）根据题意点C在线段AB的垂直平分线上，且腰长为无理数，所以C（1，﹣1），利用分割法求出△ABC的面积即可；
（2）如图2，根据旋转的性质得到A1，C，A在同一直线上，B1，C，B在同一直线上，A1C＝AC，B1C＝BC，推出四边形AB1A1B是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（3）由（1）知S△ABC＝4，则S四边形ABOP＝8．同（1）中的方法得S△ABO＝16﹣4﹣4﹣2＝6；当P在x轴负半轴时，当P在y轴负半轴时，而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP；于是得到结论．
解：（1）根据题意点C坐标为（1，﹣1），如图1．
S△ABC＝3×3−12×3×1−12×3×1−12×2×2＝4．
故答案为：（1，﹣1），4
（2）如图2，
∵将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，
∴A1，C，A在同一直线上，B1，C，B在同一直线上，A1C＝AC，B1C＝BC，
∴四边形AB1A1B是平行四边形，
∵AC＝BC，
∴A1A＝B1B，
∴平行四边形AB1A1B是矩形，
故答案为：矩形；
（3）存在．
由（1）知S△ABC＝4，则S四边形ABOP＝8．同（1）中的方法得S△ABO＝16﹣4﹣4﹣2＝6；
当P在x轴负半轴时，S△APO＝2，高为4，那么底边长为1，所以P（﹣1，0）；
当P在y轴负半轴时，S△APO＝2，高为2，所以底边长为2，此时P（0，﹣2）；
而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP；
故点P的坐标为（﹣1，0），（0，﹣2）．
20．解析：（1）连接AD，CF，其交点就是对称中心O；
（2）依据△ABC和△DEF关于点O成中心对称，即可得到△ABC≌△DEF，进而得出△DEF的周长．
解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE＝6，AC＝DF＝5，BC＝EF＝4，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝6+5+4＝15；
答：△DEF的周长为15．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
D
C
C
C
D
B
A