人教版九上数学第二十二章第三节抛物线与x轴交点 专题训练

这是一份人教版九上数学第二十二章第三节抛物线与x轴交点 专题训练，共28页。试卷主要包含了关于抛物线y＝，抛物线y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
1．如表是一个二次函数的自变量x与函数值y的4组对应值：
下列说法：
①函数图象的开口向下；
②函数图象与x轴有两个交点；
③函数的最大值是5；
④当x＞3时，y的值随x值的增大而减小．正确说法的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴相交于点C，已知它的对称轴为直线x＝2，小丽同学得出了以下结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③x1+x2＝4；④a+b+c＜0．其中正确的序号为（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④
3．已知二次函数y＝x2﹣6x+8，则下列说法错误的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标是（0，8）
B．图象的顶点坐标是（3，1）
C．图象与x轴的交点坐标是（2，0），（4，0）
D．当x＜3时，y随x增大而减小
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有实数根
D．没有实数根
5．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m﹣2013的值是（ ）
A．﹣2012B．﹣2013C．2012D．2013
6．关于抛物线y＝（x﹣2）2+4图象的性质，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线x＝2
C．顶点坐标是（2，4）D．与x轴有两个交点
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
8．已知抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0），则关于x的方程x2﹣bx+c＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣3B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝1，x2＝3
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且AB＝2．若将此抛物线先向左平移5个单位，再向下平移n个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为4，则n的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．下列四个结论，其中正确的有（ ）
①b＜0；
②4ac﹣b2＜4a；
③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则0＜m≤13．
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（ ）
A．α＜β＜M＜NB．M＜α＜β＜NC．α＜M＜β＜ND．M＜α＜N＜β
12．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
二．填空题（共8小题）
13．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣2024）（x﹣2025）+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝ ．
14．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，4），B（2，4），则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2﹣4＝b（3﹣x）﹣c的解为 ．
15．我们定义：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的图象如图所示，则下列结论：①a＞0；②bc＞0；③−b2a=1；④若直线y＝﹣x+m与y＝|ax2+bx+c|的图象有2个公共点，则﹣1＜m＜3或m＞214，正确的有 ．（填序号）
16．若抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则x1+x2＝ ．
17．已知A（3，2），B（﹣1，﹣2）是抛物线上两点，下面有四个推断：
①该抛物线与x轴有两个交点；
②若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点一定在y轴的负半轴上；
③若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线x＝1右侧；
④若该抛物线开口向上，则在A，B两点中，点B到它的对称轴距离较小．
所有正确推断的序号是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 ．
19．如图，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，原抛物线x轴上方的图象与翻折得到图象组成一个新函数的图象，若直线y＝x+b与新函数的图象有三个交点，则b的取值范围是 ．
20．若函数y＝mx2+（m+2）x+12m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为 ．
三．解答题（共7小题）
21．已知函数y＝2x2﹣3x﹣2，解答下列问题：
（1）画出函数的图象；
（2）观察图象，填空、回答：
①抛物线y＝2x2﹣3x﹣2与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 ；
②x取什么值时，y≥0．
22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为C，对称轴为直线x＝1，且经过点A（3，﹣1），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）经过点A的直线交抛物线于点P，交x轴于点Q，若S△OPA＝2S△OQA，试求出点P的坐标．
23．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴上的点，若AM+CM最小，求点M的坐标；
（3）如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合），若△PBC的面积为3，求点P的坐标．
24．如图1，点A，B的坐标分别为（﹣1，﹣1），（3，﹣1），抛物线L：y＝a（x﹣h）2+k（﹣1≤x≤3）的两个端点分别为A，B．
（1）求h的值．
（2）若抛物线L：y＝a（x﹣h）2+k（﹣1≤x≤3）与x轴只有一个交点，求抛物线L的解析式．
（3）如图2，当k＝4时，经过点C（﹣2，4）的一条直线y＝mx+n与抛物线L：y＝a（x﹣h）2+k（﹣1≤x≤3）只有一个交点，请直接写出n的取值范围．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣ax﹣2与x轴交于点A（﹣2，0）、B两点，交y轴于点C，直线y=−13x+b经过点B．
（1）求a，b的值；
（2）将△BOC平移，平移后点B仍在抛物线上，记作点P，此时点C恰好落在直线y=−13x+b上，求点P的坐标．
26．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣2，0），C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（﹣1，2），且交x轴于点A，B（1，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC于点D，过点P作y轴的平行线交直线AC于点E，求PE+DE的最大值及此时点P的坐标．
22.2.1二次函数与一元二次方程（抛物线与x轴交点）
一．选择题（共12小题）
1．解析：先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案．
解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
将（﹣1，﹣7），（1，3），（2，5）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）可得：
a−b+c=−7a+b+c=34a+2b+c=5，
解得：a=−1b=5c=−1，
∴y＝﹣x2+5x﹣1，
∴a＝﹣1＜0，
∴函数图象的开口向下，故①正确；
令y＝0，则﹣x2+5x﹣1＝0，
∵Δ＝52﹣4×（﹣1）×（﹣1）＝21＞0，
∴函数图象与x轴有交点，故②正确；
∵y＝﹣x2+5x﹣1
＝﹣（x2﹣5x）﹣1
=−(x−52)2+254−1
=−(x−52)2+214，
∴函数的最大值为214，故③错误；
∴当x＞3时，y的值随x值的增大而减小，故④正确．
故选：C．
2．解析：根据二次函数的性质结合函数图象，逐一判断即可．
解：∵抛物线x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
即Δ＝b2﹣4ac＞0，故①正确；
对称轴为x=−b2a=2=x1+x22
整理得4a+b＝0，x1+x2＝4故②③正确；
由图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确．
故选：A．
3．解析：令x＝0，求出二次函数图象与y轴的交点即可判断A；把二次函数解析式化为顶点式即可判断B；令y＝0，解方程即可求出抛物线与x轴的交点，即可判断C；根据抛物线解析式，由函数的性质即可判断D．
解：A、令x＝0，则y＝8，
∴图象与y轴的交点坐标是（0，8），
故A正确，不符合题意；
B、∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
∴图象的顶点坐标是（3，﹣1），
故B错误，符合题意；
C、令y＝0，则x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
∴图象与x轴的交点坐标是（2，0），（4，0），
故C正确，不符合题意；
D、∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，
∴当x＜3时，y随x增大而减小，
故D正确，不符合题意．
故选：B．
4．解析：依据题意，关于x的方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，据此即可求解．
解：∵y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点，且方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是没有实数根．
故选：D．
5．解析：把点（m，0）代入抛物线的解析式得到m2﹣m＝1，整体代入即可解决问题．
解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m﹣2013＝1﹣2013＝﹣2012，
故选：A．
6．解析：由抛物线的解析式可求得开口方向、对称轴及顶点坐标，可判断A、B、C，令y＝0计算相应的一元二次方程的判别式即可判断D，则可求得答案．
解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+4，
∴抛物线开口向上、对称轴为直线x＝2、顶点坐标为（2，4），故A、B、C说法是正确的；
在y＝（x﹣2）2+4中，令y＝0可得（x﹣2）2+4＝0，
∴（x﹣2）2＝﹣4，
∵（x﹣2）2≥0，﹣4＜0，
∴该方程无解．
∴抛物线与x轴没有交点，
∴选项D的说法是错误的，
故选：D．
7．解析：由题干条件可以得出二次函数解析式y＝﹣（x+1）2+4，再分别判断四个选项，也可以通过二次函数对称性去判断．
解：选项A：∵顶点坐标为（﹣1，4），∴对称轴为直线x＝﹣1，故选项A错误；
选项B：由对称性可知，（﹣3，0）关于x＝﹣1对称的点为（1，0），故选项B错误；
选项C：开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
选项D：设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+4，将（﹣3，0）代入得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）2+4，令x＝0得y＝3，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确．
故选：D．
8．解析：利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系即可得出结论．
解：∵y＝x2﹣bx+c与x交于点A（1，0），B（﹣3，0）两点，
∴方程x2﹣bx+c＝0个根为x1＝1，x2＝﹣3，
故选：C．
9．解析：设x2+bx+c＝0两根为x1、x2，根据AB＝2得到b2﹣4c＝4，由题意得出当y＝n时，抛物线上两点之间距离为4，得b2﹣4c+4n＝16，解方程求出即可．
解：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且AB＝2．
当y＝0时，设x2+bx+c＝0两根为x1、x2，
则x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c，
∴|x1﹣x2|＝2，
∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=4，
∴b2﹣4c＝4，
∵将此抛物线先向左平移5个单位，再向下平移n个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为4，
即当y＝n时，抛物线上两点之间距离为4，
设x2+bx+c＝n两根为x3、x4，
则x3+x4＝﹣b，x3•x4＝c﹣n，
∴|x3﹣x4|＝4，
∴(x3−x4)2=(x3+x4)2−4x3x4=16，
∴b2﹣4×（c﹣n）＝b2﹣4c+4n＝16，
∵b2﹣4c＝4，
∴4+4n＝16，
解得：n＝3．
故选：B．
10．解析：①根据图象经过（1，1），c＜0，且抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，判断出抛物线的开口向下，即a＜0，再把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即可判断①错误；②先得出抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，得出4ac−b24a＞1，根据4a＜0，利用不等式的性质即可得出4ac﹣b2＜4a，即可判断②正确；③先得出抛物线对称轴在直线 x＝1.5 的右侧，得出（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，根据a＜0，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确；④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，求出a＝c，根据根与系数的关系得出 mn=ca=1，即 n=1m，根据 n≥3，得出 1m≥3 求出m的取值范围，即可判断④正确．
解：①图象经过（1，1），c＜0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点 都在（1，0）的左侧，
∵（n，0）中n≥3，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即a＜0，
把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得：a+b+c＝1，
即b＝1﹣a﹣c，
∵a＜0，c＜0，
∴b＞0，
故①错误；
②∵a＜0，b＞0，c＜0，ca＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根的积大于0，
即mn＞0，
∵n≥3，
∴m＞0，
∴m+n2＞1.5，
即抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，
∴抛物线的顶点在点（1，1）的上方或者右上方，
∴4ac−b24a＞1，
∵4a＜0，
∴4ac﹣b2＜4a，
故②正确；
③∵m＞0，
∴当 n＝3 时，m+n2＞1.5，
∴抛物线对称轴在直线x＝1.5的右侧，
∴（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，
∵a＜0，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴t＞1，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝x可变为ax2+（b﹣1）x+c＝0，
∵方程有两个相等的实数解，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0．
∵把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，
∴（a+c）2﹣4ac＝0，
即a2+2ac+c2﹣4ac＝0，
∴（a﹣c）2＝0，
∴a﹣c＝0，
即a＝c，
∵（m，0），（n，0）在抛物线上，
∴m，n为方程 ax2+bx+c＝0 的两个根，
∴mn=ca=1，
∴n=1m，
∵n≥3，
∴1m≥3，
∴0＜m≤13．
故④正确．
综上，正确的结论有：②③④．
故选：C．
11．解析：依题意画出函数y＝（x﹣α）（x﹣β）和y＝2的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解．
解：依题意，画出函y＝（x﹣α）（x﹣β）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为α，β（α＜β），
方程x2+bx+c﹣2＝0的两根是抛物线y＝（x﹣α）（x﹣β）与直线y＝2的两个交点．
由M＜N，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N．
由图象可知，M＜α＜β＜N，
故选：B．
12．解析：根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．
解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0
∴k＞﹣1
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数
∴k≠0
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
13．解析：利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣2024）（x﹣2025），然后解方程x﹣2024）（x﹣2025）＝0得到点P、Q的坐标，从而得到PQ的长．
解：二次函数y＝（x﹣2024）（x﹣2025）+5的图象向下平移5个单位长度所得抛物线解析式为y＝（x﹣2024）（x﹣2025），
当y＝0时，（x﹣2024）（x﹣2025）＝0，
解得x1＝2024，x2＝2024，
∴点P、Q的坐标为（2024，0），（2025，0），
∴PQ＝2025﹣2024＝1．
故答案为：1．
14．解析：根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，4），B（2，4），可以得到方程4＝ax2+bx+c解为x1＝﹣4，x2＝2，然后将所求方程变形，即可求得所求方程的解．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，4），B（2，4），
∴当y＝4时，可以得到方程4＝ax2+bx+c解为x1＝﹣4，x2＝2，
∵方程a（x﹣3）2﹣4＝b（3﹣x）﹣c可以转化为方程a（x﹣3）2+b（x﹣3）+c＝4，
∴x﹣3＝﹣4或x﹣3＝2，
解得x3＝﹣1，x4＝5，
故答案为：x3＝﹣1，x4＝5．
15．解析：依据题意，根据图象，可直接判断a，b，c的符号；根据二次函数和横轴的交点坐标可得对称轴；两个函数的交点可直接画出图象进行判断．
解：由图可知，a＜0或a＞0，故①错误；
由图可知，∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过（﹣1，0），（3，0），
∴对称轴是直线x=−b2a=−1+32=1．
∴b＝﹣2a．
∴当a＜0，b＞0；当a＞0，b＜0．
又由图象知，当x＝0时，y＝|c|＝c，
∴c＞0，则bc＜0或bc＞0，故②错误；
③对称轴为−1+32=1=−b2a，故③正确；
④如图，
由图示知，当﹣1≤x≤3时，该抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3）．
将（0，3）代入并求得a＝﹣1，
则该抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）．
当m=214时，直线y＝﹣x+214．
则﹣x+214=−（x+1）（x﹣3）．
此时Δ＝0，即直线y＝﹣x+214与抛物线＝﹣（x+1）（x﹣3）（﹣1≤x≤3）只有一个交点，
∴当m＞214时，直线y＝﹣x+m与y＝|ax2+bx+c|的图象有2个公共点．
当m＝1时，直线y＝﹣x+1；当m＝3时，直线y＝﹣x+3；由图可知，1＜m＜3时，直线y＝﹣x+m与y＝|ax2+bx+c|的图象有2个公共点．
综上所述，﹣1＜m＜3时，直线y＝﹣x+m与y＝|ax2+bx+c|的图象有2个公共点；当m＞214时，直线y＝﹣x+m与y＝|ax2+bx+c|的图象有2个公共点．
故④正确；
故答案为：③④．
16．解析：根据抛物线与x轴的交点问题，x1、x2为方程﹣x2﹣3x+4＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．
解：∵抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），
∴x1、x2为方程﹣x2﹣3x+4＝0的两根，
∴x1+x2=−−3−1=−3．
故答案为：﹣3．
17．解析：依据题意，设抛物线为y＝ax2+bx+c，从而9a+3b+c=2a−b+c=−2．解得b＝1﹣2a，c＝﹣1﹣3a，再求出Δ＝b2﹣4ac＝1+16a2，进而可以判断①；依据题意，a＜0，从而c＝﹣1﹣3a＞﹣1，则它与y轴的交点可能在y轴下方或y轴上方，故可判断②；又b＝1﹣2a，从而b2a=12a−1，进而−b2a=−12a+1，再结合a＜0，可以判断③；若a＞0，从而对称轴直线x=−b2a=−12a+1＜1，再分B（﹣1，﹣2）在对称轴右侧或左侧，结合增减性可以判断④．
解：由题意，设抛物线为y＝ax2+bx+c，
∴9a+3b+c=2a−b+c=−2．
∴b＝1﹣2a，c＝﹣1﹣3a．
∴Δ＝b2﹣4ac＝（1﹣2a）2﹣4a（﹣1﹣3a）
＝1﹣4a+4a2+4a+12a2
＝1+16a2．
∵对于任意a都有a2≥0，
∴Δ＝1+16a2≥1＞0．
∴该抛物线与x轴有两个交点，故①正确．
∵a＜0，
∴3a＜0．
∴﹣3a＞0．
∴﹣1﹣3a＞﹣1．
∴c＝﹣1﹣3a＞﹣1．
∴它与y轴的交点可能在y轴下方或y轴上方．
∴②错误．
∵b＝1﹣2a，
∴b2a=12a−1．
∴−b2a=−12a+1．
∵a＜0，
∴对称轴直线x=−b2a=−12a+1＞1．
∴它的对称轴在直线x＝1右侧，故③正确．
若a＞0，
∴对称轴直线x=−b2a=−12a+1＜1．
∴当A（3，2），B（﹣1，﹣2）在对称轴右侧，y随x的增大而增大，显然B到它的对称轴距离较小；
当A（3，2），B（﹣1，﹣2）在对称轴两侧，又B关于直线x=−b2a对称的点−ba+1＜3，故B到它的对称轴距离较小．
∴④正确．
故答案为：①③④．
18．解析：依据题意，由抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），可得9a+3b+3=04a+2b+3=3，求出a，b后可得抛物线的解析式，再求得对称轴，依据对称性可得A的坐标，进而可以判断得解．
解：由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），
∴9a+3b+3=04a+2b+3=3．
∴a=−1b=2．
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3．
∴抛物线的对称轴是直线x=−22×(−1)=1．
∵抛物线与x轴的一交点为B（3，0），
∴另一交点为A（1﹣2，0），即A（﹣1，0）．
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4．
故答案为：4．
19．解析：依据题意，分三段：如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有一个公共点；当直线y＝x+b过点A时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点；当直线y＝x+b与抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
解：由题意，翻折后开口向下的二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
把抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，
则翻折部分的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，4），
如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有一个公共点，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b过点A时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴﹣1+b＝0，解得b＝1；
∴当﹣3＜b＜1时，抛所得新函数的图象与直线y＝x+b的图象恰有2个公共点时．
当直线y＝x+b与物线y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即﹣（x﹣1）2+4＝x+b有两个相等的实数解，整理得x2﹣x+b﹣3＝0，
∴Δ＝12﹣4（b﹣3）＝0，解得b=134．
综上，当b＝1或b=134时，抛所得新函数的图象与直线y＝x+b的图象恰有3个公共点时，
故答案为：b＝1或b=134．
20．解析：当m＝0时，函数为一次函数与x轴有一个交点，当m≠0时，Δ＝0时，抛物线与x轴只有一个交点．
解：当m＝0时，函数为y＝2x+1，其图象与x轴只有一个交点．
当m≠0时，Δ＝0，即（m+2）2﹣4m（12m+1）＝0．
解得：m＝±2．
∴当m＝0，或m＝±2时，函数y＝mx2+（m+2）x+12m+1的图象与x轴只有一个交点．
故答案为：0或2或﹣2．
三．解答题（共7小题）
21．解析：（1）利用描点法直接画图即可．
（2）①由（1）可知，抛物线y＝2x2﹣3x﹣2与y轴的交点坐标是（0，﹣2），与x轴的交点坐标是（−12，0）和（2，0）．
②结合图象可直接得出答案．
解：（1）列表：
画出函数y＝2x2﹣3x﹣2的图象如图所示．
（2）①抛物线y＝2x2﹣3x﹣2与y轴的交点坐标是（0，﹣2），与x轴的交点坐标是（−12，0）和（2，0）．
故答案为：（0，﹣2）；（−12，0）和（2，0）．
②由图可知，x≤−12或x≥2时，y≥0．
22．解析：（1）根据题意得出方程组，求出b、c的值，即可求出答案；
（2）求出B、C的坐标，根据点的坐标求出AB、BC、AC的值，根据勾股定理的逆定理求出即可；
（3）分为两种情况，画出图形，根据相似三角形的平行和性质求出点PE的长，即可得出答案．
解：（1）由题意得：−b2×(−1)=1−9+3b+c=−1，
解得：b=2c=2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2；
（2）∵由y＝﹣x2+2x+2得：当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
由y＝﹣（x﹣1）2+3得：C（1，3），
∵A（3，﹣1），
∴AB＝32，BC=2，AC＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）①如图，当点Q在线段AP上时，
过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D
∵S△OPA＝2S△OQA，
∴PA＝2AQ，
∴PQ＝AQ
∵PE∥AD，
∴△PQE∽△AQD，
∴PEAD=PQAQ=1，
∴PE＝AD＝1
∵由﹣x2+2x+2＝1得：x＝1±2，
∴P（1+2，1）或（1−2，1），
②如图，当点Q在PA延长线上时，
过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D
∵S△OPA＝2S△OQA，
∴PA＝2AQ，
∴PQ＝3AQ
∵PE∥AD，
∴△PQE∽△AQD，
∴PEAD=PQAQ=3，
∴PE＝3AD＝3
∵由﹣x2+2x+2＝﹣3得：x＝1±6，
∴P（1+6，﹣3），或（1−6，﹣3），
综上可知：点P的坐标为（1+2，1）、（1−2，1）、（1+6，﹣3）或（1−6，﹣3）．
23．解析：（1）用待定系数法即可解决问题．
（2）利用轴对称的性质即可解决问题．
（3）令点P的横坐标为m，根据△PBC的面积为3建立方程即可解决问题．
解：（1）将A，B，C三个点的坐标代入函数解析式得，
a−b+c=09a+3b+c=0c=3，
解得a=−1b=2c=3，
所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）因为点A和点B关于抛物线的对称轴对称，
则连接BC，
当点M在BC与对称轴的交点处时，CM+BM取得最小值，即AM+CM的值最小．
因为−b2a=−22×(−1)=1，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1．
设直线BC的函数解析式为y＝k1x+b1，
则3k1+b1=0b1=3，
解得k1=−1b1=3，
所以直线BC的函数解析式为y＝﹣x+3．
将x＝1代入直线BC的函数解析式得，
y＝﹣1+3＝2，
所以点M的坐标为（1，2）．
（3）令点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
连接PC，PB，PO，
因为OB＝OC＝3，
所以S△OBC=12×3×3=92，
又因为△PBC的面积为3，
所以S四边形COBP=3+92=152．
则S△POC+S△POB=152，
所以12×3×m+12×3×(−m2+2m+3)=152，
解得m＝1或2，
当m＝1时，﹣m2+2m+3＝4；
当m＝2时，m2+2m+3＝3；
所以点P的坐标为（1，4）或（2，3）．
24．解析：（1）利用对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，利用二次函数的性质解答即可；
（2）根据抛物线L与x轴只有一个交点，得到抛物线L的顶点在x轴上，则k＝0，再利用待定系数法解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：①当直线从CA（含CA）位置旋转到CB（不含CB）位置时，直线与抛物线L：y＝a（x﹣h）2+k（﹣1≤x≤3）只有一个交点，利用待定系数法分别求得直线CA，CB的解析式解答即可；②当直线经过抛物线L的顶点时，利用平行于x轴的直线的特征解答即可．
解：（1）∵点A（﹣1，﹣1），B（3，﹣1）的纵坐标相等，
∴点A，B关于抛物线L的对称轴对称，
∴抛物线L的对称轴为直线 x=−1+32=1．
∵抛物线 L：y＝a（x﹣h）2+k 的对称轴为直线：x＝h，
∴h＝1．
（2）∵抛物线L与x轴只有一个交点，
∴抛物线L的顶点在x轴上，顶点纵坐标为0．
由（1）可知，抛物线L的对称轴为直线 x＝1，
∴顶点的横坐标为1，
∴顶点的坐标为（1，0）．
设抛物线L的解析式为 y＝a（x﹣1）2，
将 A（﹣1，﹣1）代入，得：
a×（﹣1﹣1）2＝﹣1，
解得：a=−14，
∴抛物线L的解析式为：y=−14(x−1)2(−1≤x≤3)．
（3）n的取值范围为﹣6≤n＜2或n＝4．
将直线 y＝mx+n 看作绕点C（﹣2，4）旋转的一条直线，有两种情况：
①当直线从CA（含CA）位置旋转到CB（不含CB）位置时，直线与抛物线L：y＝a（x﹣h）2+k（﹣1≤x≤3）只有一个交点，如图，
由 A（﹣1，﹣1），C（﹣2，4），得直线CA的解析式为：y＝﹣5x﹣6；
由 B（3，﹣1），C（﹣2，4），得直线CB的解析式为：y＝﹣x+2．
故n的取值范围为：﹣6≤n＜2．
②当直线经过抛物线L的顶点时，如图，
∵抛物线的顶点为（1，4），与点C（﹣2，4）的纵坐标相等，
∴直线与x轴平行，与抛物线L只有顶点这一个交点，
此时 y＝4，即m＝0，n＝4．
综上所述，n的取值范围为﹣6≤n＜2或n＝4．
25．解析：（1）将点A代入抛物线解析式即可求得a，根据求出的抛物线解析式求出点B坐标后，将其代入直线解析式即可求得b；
（2）先求出C点坐标，设P(p，13p2−13p−2)，根据平移性质求出平移后点C的坐标，再将其代入直线解析式后即可求出p，从而求得点P的坐标．
解：（1）将A（﹣2，0）代入抛物线解析式y＝ax2﹣ax﹣2可得，
4a+2a﹣2＝0，
解得a=13，
即抛物线解析式为y=13x2−13x−2，
当y＝0，13x2−13x−2=0，
解得x＝3或x＝﹣2（舍），
∴B（3，0），
将其代入y=−13x+b可得−13×3+b=0，
解得b＝1，
故a=13，b＝1；
（2）将x＝0代入抛物线解析式得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
设P(p，13p2−13p−2)，
∴根据平移性质可得，平移后得到的点C坐标应为C(p−3，13p2−13p−2−2)，
此时点C恰好落在直线y=−13x+1中，
则−13(p−3)+1=13p2−13p−2−2，
解得p=±32，
当p=32时，13p2−13p−2=4−2；
p=−32时，13p2−13p−2=4+2，
故点P(32，4−2)或P(−32，4+2)．
26．解析：（1）依据题意，将A（﹣2，0），C（0，﹣2）代入 y＝x2+bx+c建立方程组求出b，c即可得解；
（2）依据题意，设P（m，n）（m＜0，n＞0），又△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，从而可得S△PDBS△CDB=2，12BD⋅n12BD⋅CO=2．，进而可得 nCO=2．，又CO＝2，可得n＝2CO＝4，进而建立方程求出m即可得解．
解：（1）由题意，将A（﹣2，0），C（0，﹣2）代入 y＝x2+bx+c得4−2b+c=0，c=−2，
∴b=1，c=−2
∴二次函数的表达式为y＝x2+x﹣2．
（2）由题意，设P（m，n）（m＜0，n＞0），
又△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，
∴S△PDBS△CDB=2，即12BD⋅n12BD⋅CO=2．
∴nCO=2．
又CO＝2，
∴n＝2CO＝4．
由m2+m﹣2＝4，
∴m1＝﹣3，m2＝2 （舍去）．
∴点P坐标为 （﹣3，4）．
27．解析：（1）将（﹣1，2），B（1，0）两点坐标代入抛物线解析式，可得a+b+2=0a−b+2=2，解方程组即可求出a，b的值，进而得到抛物线的表达式；
（2）由（1）可得，抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，先求抛物线与x轴的交点坐标，即令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，解方程即可求得点A坐标，然后再求抛物线与y轴的交点坐标，令x＝0求y的值，即可求得点C坐标，求出直线AC的表达式，由△AOC中的几何关系可求得∠ACO＝∠CAO＝45°，由△PED中的几何关系可求得ED=22PE，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+2），则点E（x，x+2），于是可得PE＝﹣x2﹣2x，进而可得PE+DE=−(1+22)(x+1)2+(1+22)，然后根据二次函数的图象与系数的关系及y＝a（x﹣h）2+k的图象与性质，即可得出PE+DE的最大值及此时点P的坐标．
解：（1）由题意可得：
a+b+2=0a−b+2=2，
∴a=−1b=−1，
∴y＝﹣x2﹣x+2；
（2）令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝1，
∴A（﹣2，0），
当x＝0时，y＝﹣02﹣0+2＝2，
∴C（0，2），
设直线AC的表达式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣2，0），C（0，2）代入y＝kx+b（k≠0），得：
0=−2k+b2=b，
解得：k=1b=2，
∴直线AC的表达式为：y＝x+2，
∴OA＝0﹣（﹣2）＝0+2＝2，OC＝2﹣0＝2，
∴OA＝OC，
∴∠ACO=∠CAO=12(180°−∠AOC)=12×(180°−90°)=45°，
∵PE∥y轴，
∴∠PED＝∠ACO＝45°，
∴△PED是等腰直角三角形，
∴ED=22PE，
设点P的坐标为：（x，﹣x2﹣x+2），则点E（x，x+2），
∴PE＝（﹣x2﹣x+2）﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，
∴PE+DE=(1+22)PE=(1+22)(−x2−2x)=−(1+22)(x+1)2+(1+22)，
∵−(1+22)＜0，故PE+DE有最大值，
∴当x＝﹣1时，PE+DE的最大值为：1+22，此时点P（﹣1，2）．
x
…
﹣1
1
2
4
…
y
…
﹣7
3
5
3
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
B
D
A
D
D
C
B
C
B
题号
12
答案
C
x
...
−12
0
34
32
2
...
y
...
0
﹣2
−258
﹣2
0
...