云南省保山市腾冲市腾冲市第八中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份云南省保山市腾冲市腾冲市第八中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共8页。
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
一、单选题（每题5分，共40分）
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．关于函数，有下列命题：
①由可得必是的整数倍；
②的表达式可改写为；
③的图象关于点对称；
④的图象与图象连续三个交点构成的三角形的面积为.
其中所有正确的命题的序号为（ ）
A．②③B．①③④C．③④D．②③④
3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝
A． B． C． D．
4．已知函数，则的（ ）
A．最小正周期为B．在区间上单调
C．图象关于直线对称D．图象关于点对称
5．设向量是三个非零向量，若，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
6．已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量共面，且满足，则（ ）
A．B．C．D．2
7．下列命题正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，则不共线
C．若是平面内不共线的向量，且存在实数y使得，则A，B，C三点共线
D．若，则在上的投影向量为
8．若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每题6分，18分）
9．对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（ ）
A．“”是“”的必要条件
B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C．“”是“”的充要条件
D．“且”是“”的充分而不必要条件
10．下列判断正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．下列结论中，错误的是（ ）
A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
B．若，则，不是共线向量；
C．若，则四边形是平行四边形；
D．与同向，且，则
三、填空题（15分）
12．半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上，，若，则 .
13．已知向量，则与夹角的余弦值为 ．
14．函数的单调减区间为 .
四、解答题（77分）
15．（13分）已知函数的最小正周期为.
(1)求；
(2)求图象的对称轴方程；
(3)若的一个零点为，求的值.
16．（15分）已知向量，.
(1)若，求实数m的值；
(2)若非零向量满足，求与的夹角.
17．（15分）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边都在第一象限，并且与单位圆的交点分别为，如图所示，已知点的纵坐标为，点的横坐标为．求：
(1)的值；
(2)在内与终边相同的角．
18．（17分）已知函数的图像过点和．
(1)求此函数的表达式；
(2)已知函数，若两个函数图像在区间上有公共点，求t的最小值．
19．（17分）对于函数，解答下列问题：
（1）若函数定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数的值域为，求实数的值；
（3）若函数在内为增函数，求实数的取值范围
参考答案
1．D
【分析】根据交集的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
2．D
【分析】先求出函数的最小正周期，可知①错；利用诱导公式化简②，即可判断正误；将代入函数中，求出函数值，即可判断③是否正确；解出三个连续的交点坐标，求出三角形面积，即可判断④是否正确.
【详解】①函数的最小正周期为，
函数值等于的之差最小值为，
必是的整数倍， ①错误.
②，
②正确.
③，
的图象关于点对称，③正确.
④的图象与图象连续三个交点为，，，所构成三角形面积为④正确.
故选：D.
3．B
【分析】根据正弦定理，将条件转化为边的关系，结合余弦定理，即可得结果.
【详解】∵ ，
∴ 由正弦定理得，即，
所以，
又，所以，
故选：B
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查分析求解的能力，属基础题.
4．C
【分析】求得最小正周期判断A；由，得，可判断B；计算可判断C；求得对称中心可判断D.
【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A错误；
对于B，当时，可得，所以在不单调，故B错误；
对于C，当时，，
所以图象关于直线对称，故C正确；
对于D，由，所以，
所以函数的对称中心为，当时，函数的图象关于，故D错误.
故选：C.
5．A
【分析】均为单位向量，不妨设，利用向量数量积运算法则和向量不等式得到，求出最大值，再得到，从而确定答案.
【详解】均为单位向量，不妨设，
故，
，
当且仅当同向共线时，等号成立，
即三个向量同向共线时，最大，最大值，
又，当三个向量两两成时，
，故等号成立，
故的取值范围为.
故选：A．
6．A
【分析】设，然后由解方程组求出，再利用模长的定义求出即可.
【详解】设，
因为，
又，即，
解得，
所以，
所以，
故选：A.
7．C
【分析】利用向量垂直的坐标表示可判断A，利用向量共线定理可判断BC，利用投影向量的定义可判断D.
【详解】若，且，则，所以A选项错误；
若满足，但不满足不共线，所以B错误；
由，可得，即，故A，B，C三点共线，所以C正确；
若在上的投影向量为，所以D错．
故选：C．
8．C
【解析】由题意知利用基本不等式求出，解不等式即可求解.
【详解】若对任意满足的正数，都有成立，
则，
当且仅当即时等号成立，所以，
所以，即，即，解得或，
所以实数的取值范围是，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由不等式恒成立转化为， 再由再利用基本不等式可以求出最值，变形很关键，最后解分式不等式需要先移项，注意分母不为，避免出错.
9．ABD
【分析】根据不等式表示范围的大小可判断A项；根据充要条件的概念可判断B项；举反例可说明C项不正确；根据不等式的性质即可判断D项.
【详解】对于A项，因为表示的范围大于表示的范围，所以 “”是“”的必要条件，故A项正确；
对于B项，是无理数，则a是无理数，反之也成立，所以“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B项正确；
对于C项，若，则，正确；取，，，则，但是，所以“”是“”的充分不必要条件，故C项错误；
对于D项，若且，由不等式的性质可知，，则成立；取，，成立，显然不成立，不成立，
所以“且”是“”的充分而不必要条件，故D项正确.
故选：ABD.
10．BD
【分析】利用同角的正余弦的平方关系求解可判断A；利用两角和的正切公式计算可判断B；利用诱导公式计算可判断CD.
【详解】因为，所以的终边在一，二象限，
当的终边在一象限时，，
当的终边在二象限时，，故A错误；
由，可得，所以，解得，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：BD.
11．BCD
【分析】根据平面向量的表示，共线向量的定义，以及向量的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确；
对B：若，也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误；
对C：若，则，可以方向不同，所以四边形不一定是平行四边形，故C错误；
对D：因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故D错误.
故选：BCD.
12．
【分析】建立直角坐标系，由，，可得．由，可得，又，，利用向量相等可得出，，进而得解．
【详解】建立直角坐标系，如图所示，
，，
，即
，
，即
，
，解得．
．
故答案为：
13．
【分析】根据向量的坐标运算求数量积和模，进而求夹角余弦值.
【详解】由题意可得：，，
所以与夹角的余弦值.
故答案为：.
14．
【分析】首先求出函数定义域，再利用“同增异减”的原则分析即可.
【详解】令，解得或，
则函数的定义为，又因为内函数的对称轴为，
所以内函数在上单调递减，又因为外函数为单调递增函数，
根据复合函数单调性“同增异减”的原则得的单调递减区间为，
故答案为：.
15．(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后根据周期公式列方程可求出；
（2）由可求出图象的对称轴方程；
（3）由题意得，可求出的值.
【详解】（1），
因为，，所以.
（2）由（1）可知，
令.
得图象的对称轴方程为.
（3）由（1）知，
则，
由，
得.
16．(1)
(2)或
【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示即可求解；
（2）由，得，又，得，设向量与的夹角为，，则，然后分和讨论即可得答案.
【详解】（1）解：∵，，∴，
又，∴，即，
∴；
（2）解：，
由，得，
∵，∴，
设向量与的夹角为，，
则，
当时，，，
当时，，，
∴与的夹角为或.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数的定义可得，再由同角三角函数的关系以及余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果；
（2）由正弦的和差角公式代入计算可得，然后求得的范围，再结合余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由三角函数的定义知，.
又的终边都在第一象限，
所以，.
所以.
（2），
，，
，又由（1）知，
，
，
，
，
所以在范围内与终边相同的角是.
18．(1)
(2)2
【分析】（1）将点带入，即可求解.
（2）问题转化为在上有解，求出函数的最小值，即可求解.
【详解】（1）由题意解得
所以．
（2）由（1），在上有解，则
函数在严格单调递增，
所以当时，取最小值2．
所以，即：t的最小值为2．
19．（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由题得恒成立，由即可解出；
（2）由题得的最小值为，列出式子即可求出；
（3）可得求出.
【详解】（1）函数定义域为，即恒成立，
当时，不恒成立，不满足题意，
当时，则，解得，
综上，；
（2）若函数的值域为，
即，即的最小值为，
可知当时，，解得；
（3）若函数在内为增函数，
则在为减函数，且在的函数值为正，
，解得.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
C
A
A
C
C
ABD
BD
题号
11









答案
BCD