2022-2023学年云南省保山市腾冲市第八中学高二下学期开学考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年云南省保山市腾冲市第八中学高二下学期开学考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在等比数列中，，则（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】A
【分析】根据求出，再根据可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，
由，可得q＝2，所以.
故选：A.
2．已知复数满足，且，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】设出，求得，利用复数的运算进行化简，求得的实部和虚部即可得出答案.
【详解】设，，由得，而，，
，得，，则在复平面内对应的点为,
故选：D
3．已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的焦距得，双曲线的一条渐近线与直线垂直得可得答案.
【详解】因为双曲线的焦距为，所以①，
因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，所以②，
由①②解得，
则双曲线的方程为.
故选：B.
4．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
【解析】三角函数图像与性质
5．春运期间，小明和小华两位同学报名参加了去本地客运站疏导乘客的公益活动，若两人分别被随机分配到、、三个客运站中的一个，则两人被分在同一个客运站的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用古典概型计算公式计算即可．
【详解】两人被随机分到三个客运站，一共有种分法，其中，两人被分到同一个客运站的分法有3种，所以所求概率为．
故选：D．
6．已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先变形递推公式为，判断数列是等比数列，再利用累乘法求数列的通项公式，可得答案.
【详解】∵，，，
∴数列是首项为，公比为4的等比数列，
∴，
当时，
，
∵n＝1时，，∴，
，
故选：D.
7．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，
直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，
整理可得，即即，
从而，则椭圆的离心率，
故选A.
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
8．若为所在平面内一点，且满足，且，则为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．正三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由推出是等腰三角形；由推出为直角三角形，从而可得为等腰直角三角形.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，所以，
是等腰三角形；
由可得，即为直角三角形.
综上所述：为等腰直角三角形.
故选：D.
二、多选题
9．下列结论错误的是（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为30°
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是5
【答案】ABC
【分析】由斜率公式求出直线AB的斜率即可判断A，
根据两条直线垂直求出a，进而判断B，
利用平行线间的距离公式即可求出答案，进而判断C，
作B关于x轴的对称点C，进而利用对称性得到答案，进而判断D.
【详解】对A，，故A错误；
对B，若两条直线垂直，则2a-3=0，得，故错误；
对C，直线可化为，则两条直线间的距离，故C错误；
对D，如图，设点B关于x轴的对称点为C（-1，-1），
则，当且仅当A,P,C三点共线时取“=”，故D正确.
故选：ABC.
10．下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
A．焦点在x轴上
B．焦点到准线的距离等于10
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的定义和性质逐项进项检验即可.
【详解】抛物线的焦点在x轴上，，正确，错误；
设是上的一点，则，所以正确；
由于抛物线的焦点为，过该焦点的直线方程为，若由原点向该直线作垂线，垂足为时，则，此时存在符合题意的垂线，所以正确.
故选：.
11．已知曲线：，、为实数，则下列说法错误的是（ ）
A．曲线可能表示两条直线
B．若，则是椭圆，长轴长为
C．若，则是圆，半径为
D．若，则是双曲线，渐近线方程为
【答案】BD
【分析】根据曲线的方程，结合直线，椭圆，双曲线的标准方程及其性质判断即可．
【详解】当，时，曲线：即为，表示两条直线，选项A正确；
当，曲线：可化为，此时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，长轴长为，选项B错误；
若，曲线：可化为，表示半径为的圆，选项C正确；
若，则是双曲线，其渐近线方程为，选项D错误．
故选：BD．
12．如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.则以下结论正确的为（ ）

A．三棱锥体积为定值
B．异面直线成角为
C．直线与面所成角的正弦值
D．当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为
【答案】ACD
【分析】易证平面，故三棱锥体积为定值；易得，为等边三角形，故B错误；由向量法可判断C正确；转化顶点，易证平面，利用正、余弦定理求出的外接圆半径，将所求问题转化为圆柱外接球问题，进而判断D项.
【详解】因为，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，又为线段上动点，所以到平面距离为定值，故三棱锥体积为定值，当点与重合时，，故A正确；
因为，故与所成角等价于与所成角，为等边三角形，所以异面直线成角为，故B项错误；
以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，则，即，令，得，故，设直线与面所成角为，
则，故C项正确；
当点为中点时，，易得，平面，又平面，所以，，平面，所以平面，即平面，，，
所以，，的外接圆半径为，故所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积，设三棱锥的外接球半径为，则，故三棱锥的外接球表面积为，故D项正确.
故选：ACD
三、填空题
13．已知，，若，则 .
【答案】
【分析】根据空间共线向量的坐标表示计算即可得出结果.
【详解】因为，所以.所以，，解得，所以.
故答案为：
14．一组数据21，30，53，41，35，76，37，18，29，10，第80百分位数是 ．
【答案】47
【分析】根据百分位的定义可得第80百分位数是第8个和第9个数据的平均数，计算即可得解.
【详解】把21，30，53，41，35，76，37，18，29，10，进行从小到大排序可得：
10，18，21，29，30，35，37，41，53，76，
共10个数据，，
故第80百分位数是第8个和第9个数据的平均数，
即，
故答案为：
15．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为 .
【答案】
【详解】试题分析：设，则，故圆C的方程为
【解析】直线与圆位置关系
【名师点睛】求圆的方程有两种方法：
（1）代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解．
（2）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆的位置关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．
16．2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东的方向上，仰角为，则直升机飞行的高度为 千米．（结果保留根号）
【答案】
【分析】根据飞行时间和速度可求飞行距离，结合两次观察的方位角及三角形知识可得.
【详解】如图，
根据已知可得
设飞行高度为千米，即，则;
在直角三角形中，,所以，；
在直角三角形中，同理可求；
因为飞行速度为千米/小时，飞行时间是1分钟，所以,
所以，解得，故答案为.
【点睛】本题主要考查以现实问题为背景的解三角形问题，准确理解方位角是求解本题的关键，融合了简单的物理知识，侧重考查了直观想象和逻辑推理的核心素养.
四、解答题
17．的内角A，B，C的对边分别为，已知.
（I）求B；
（II）若的周长为的面积.
【答案】（Ⅰ） (Ⅱ)
【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，求出B的值；
（Ⅱ）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．
【详解】（Ⅰ）,
，
,
，
.
,
.
(Ⅱ)由余弦定理得，
，
，
，
.
【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用．
18．某市为了解疫情期间本地居民对当地防疫工作的满意度，从本市居民中随机抽取若干人进行满意度测评（测评分满分为100分）．根据测评的数据制成频率分布直方图如下：
根据频率分布直方图，回答下列问题：
（1）估计本次测评分数的中位数（精确到0.01）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）估计本次测评分数的第85百分位数（精确到0.01）；
（3）若该市居民约为250万人，估计全市居民对当地防疫工作满意度测评分数在85分以上的人数．
【答案】（1）76.67分，76.2分；（2）90.63；（3）万人．
【分析】（1）先判断出中位数所在区间，设中位数为x，利用频率和为列出方程，解出x；利用频率分布直方图中，平均数的计算公式计算可得答案；
（2）利用百分位数的定义计算即可；
（3）由频率直方图先求出满意度测评分数在85分以上的频率，进而可得人数．
【详解】解：（1）在频率分布直方图中，由，
，
所以中位数位于（70，80）内，设中位数为x，则
，
解得，即本次测评分数的中位数约为76.67分．
由频率分布直方图可知
，
本次测评分数的平均数为
＝76.2，即本次测评分数的平均数约为76.2分．
（2）在频率分布直方图中，前5组频率之和为0.84，小于0.85，故第85百分位数位于第6组，
所以
≈90.63，即第85百分位数约为90.63，
（3）由频率分布直方图知测评分在85分以上的频率为，
所以估计该市居民测评分在85分以上的人数约为（万人）．
19．已知数列是单调递增的等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，前项和为
(2)
【分析】（1）根据等差中项的性质得到，再根据等差数列的通项公式得到方程，求出与，即可求出的通项公式及前项和；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可；
【详解】（1）解：由题，∴，，又，即，
即，解得或，由数列单调递增可知，，
，；
（2）解：由（1）可知，所以①，
∴②，
①②得，
∴.
20．如图，已知PA⊥平面，为矩形，，M，N分别为AB，PC的中点，

(1)求证：MN平面PAD；
(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取PD中点Q，连接AQ，QN，说明四边形AMNQ为平行四边形，然后证明MN平面PAD；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面PMC法向量，设PD与平面PMC所成角为θ，然后利用空间角的向量求法求解即可．
【详解】（1）证明：取PD中点Q，连接AQ，QN，N分别为PC的中点，则，，

又因为为矩形，则，M分别为AB的中点，则，
故，所以四边形AMNQ为平行四边形，
所以，因为平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD；
（2）以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，
因为，
所以，
，．
设平面PMC法向量为：，
则，令，则．
设PD与平面PMC所成角为，，
则.
即PD与平面PMC所成角的正弦值为.
21．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
【答案】（1）；（2）2．
【详解】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由，解得：．
故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点．
（2）设M；N，
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，
可得，
∴，
∴，
由，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2
【解析】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算
22．若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程．
【答案】(1)
(2)面积的最大值为，此时直线的方程为
【分析】(1)根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的的关系求解；
(2)利用韦达定理求出弦长，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解.
【详解】（1）抛物线的焦点为，所以，
因为双曲线的焦点坐标为，
所以则，
所以椭圆E的方程为.
（2）设，
联立可得，
因为直线与椭圆E交于A、B两点，
所以解得，
由韦达定理可得，
由弦长公式可得，
点到直线的距离为，
所以
当且仅当即时取得等号，
所以面积的最大值为，此时直线的方程为.