云南省保山市腾冲市第八中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试卷（含解析）

这是一份云南省保山市腾冲市第八中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试卷（含解析），共10页。
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，在中，是的中点.若，则（ ）
A．B．C．D．
3．定义在上的偶函数满足：且，都有，设则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（ ）
A．B．0C．D．2
5．若函数（，，）的部分图象如图，则函数图象的一条对称轴方程可能为（ ）.
A．B．C．D．
6．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为
A．B．
C．D．
7．设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．72B．73C．74D．75
二、多选题（每题6分，18分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．“”是“”的充要条件
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
10．下列选项正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．函数图象的对称中心为，
C．命题“，”的否定是，
D．函数的零点所在的区间是
11．对都有，且．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为偶函数
C．
D．
三、填空题（15分）
12．折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是 .

13．函数的单调递增区间是 ．
14．已知实数x，y满足，，则 .
四、解答题（77分）
15．（13分）在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
16．（15分）如图，圆心角为的扇形的半径为2，C是弧AB上一点，作矩形，且点D在半径上，点E，F在半径上．记.
(1)用表示四边形的面积.
(2)当四边形的面积取得最大值时，角得取值是多少？最大面积是多少？
17．（15分）已知函数.
(1)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(2)判断函数的奇偶性，并用定义证明；
(3)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式.
18．（17分）文化自信，服装先行，近年来汉服文化成为了一种时尚的潮流，“汉服热”的本质是对中华民族传统文化的自觉、自知、自信.内育文化强底气，外引项目强经济，汉服体验项目的盛行也带动了文化古镇的经济发展.近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量P（件）与日租赁价格W（元/件）都是时间t（天）的函数，其中，.每件汉服的日综合成本为20元.
(1)写出该店日租赁利润Y与时间t之间的函数关系；
(2)求该店日租赁利润Y的最大值.（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本）
19．（17分）已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数．
(1)证明；
(2)求函数的零点；
(3)解关于的不等式：
参考答案
1．B
【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解.
【详解】由，得到，即，
又，所以，
故选：B.
2．C
【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】因为是的中点，，，
所以
.
故选：C.
3．A
【分析】先判断函数的单调性，再利用偶函数和对数和指数的运算性质比较即可；
【详解】因为定义在上的偶函数，且，都有，
所以在上单调递增，，
，
又因为，所以，
即.
故选：A.
4．B
【分析】由幂函数的性质求解即可；
【详解】因为是幂函数，
所以，解得或，
又因为该函数在上为增函数，所以，
故选：B.
5．A
【分析】利用函数的图象求得其解析式，再判断即可.
【详解】由题意得，，
即，
把点代入方程可得，
所以，，即，，
因为，所以，
，
因为，
经检验，其他选项都不满足，所以函数的一条对称轴方程为，
故选：A．
6．D
【解析】根据函数的图象变换规律即可得解，注意三角函数的平移原则为左加右减上加下减．
【详解】解：将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到的图象对应的解析式为，
再将所得图象向左平移个单位，
则所得函数图象对应的解析式为，
故选：．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，属于基础题．
7．B
【分析】根据的图象经过的点及范围求出，再根据的范围得，结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可解得范围，即可得答案.
【详解】因为的图象经过点，所以.
又，所以，则函数，，
当时，，
因为在上恰有2个零点，所以，
所以，即实数的取值范围是.
故选：B.
8．B
【分析】由题意先得，接着由和得，再结合对数运算性质解不等式即可得解.
【详解】由题，，所以，
又由题当时，，即，
所以，令即即，
解得，故，
所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73.
故选：B.
9．BD
【分析】由不等式的性质判断选项A；由正弦函数的单调性判断选项B；由不等式的性质和充要条件的定义判断选项C；由函数定义域的求法判断选项D.
【详解】对于A：，当，有，所以A错误；
对于B：正弦函数在上单调递增，，可得，所以B正确；
对于C：时满足，时不能得到，“”是“”的充分不必要条件，所以C错误；
对于D：函数的定义域为，由，得，则函数的定义域为，所以D正确．
故选：BD．
10．ACD
【分析】利用充分不必要条件定义判断A；求出对称中心判断B；由存在量词命题的否定判断C；由零点存在性定理判断D.
【详解】对于A，由，得或，则是的充分不必要条件，A正确；
对于B，由，得，函数图象的对称中心为，，B错误；
对于C，命题，的否定是命题，，C正确；
对于D，在上单调递增，，，
函数的零点所在的区间是，D正确.
故选：ACD
11．BC
【分析】利用赋值法可判断A；利用赋值法与奇偶函数的定义可判断B；利用赋值法与为偶函数可判断C；利用周期为2，，，计算即可判断D，从而得解.
【详解】对于A，因为，
令，，则，
又，所以，
令，则，
即，所以，故A错误；
对于B，因为函数的定义域为，
令，得，
所以，所以为偶函数，故B正确；
对于C，令，又，则，
则，则，
两式相减得，
又为偶函数，即，
所以，故C正确；
对于D，由C知，则周期为2，，又，
所以，故D错误.
故选：BC.
12．
【分析】利用扇形的面积公式求解，用大扇形的面积减去小扇形的面积即可.
【详解】由题可知，，，所以扇形的面积，
扇形的面积，所以扇面的面积.
故答案为：.
13．
【分析】先求得函数的定义域,根据复合函数的单调性同增异减,即可求得答案.
【详解】 函数,
,
解得: ,
函数的定义域为:
根据对数函数可知:是增函数,
令
根据二次函数图像可知:当时,函数是单调递增
根据复合函数单调性同增异减可知:
当满足:,单调递增.
解得:
故答案为:．
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性,解题关键是掌握复合函数单调性的判断方法,对函数的内层和外层分别判断,即可得出单调性,注意定义域的要求,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
14．/
【分析】利用指数与对数运算，结合函数的单调性即可求解．
【详解】因为，所以，
又，所以，
即，
即有，
因为函数在上为增函数，
所以，所以．
故答案为：．
15．(1)；
(2).
【分析】（1）应用二倍角正弦公式及三角形内角的性质有，即可确定角的大小；
（2）由已知及三角形面积公式可得，再应用余弦定理可得，即可得周长.
【详解】（1）由，得，即且，则.
（2）因为，所以，解得，
由余弦定理得，
所以，所以的周长为.
16．(1)
(2)最大值，．
【分析】（1）结合图形，由几何关系和三角函数表示边长计算即可；
（2）由二倍角的正余弦公式结合辅助角公式和正弦的值域计算即可；
【详解】（1），，，
所以，
矩形面积
（2）
，，
当即，即为弧的中点时，
取最大值，此时．
17．(1)在上的单调递增，证明见解析；
(2)奇函数，证明见解析；
(3).
【分析】（1）任取，，且，用作差法判断的大小，即可证结论；
（2）根据奇偶性定义证明函数的奇偶性；
（3）根据（1）（2）结论，不等式可化为，解不等式求解集.
【详解】（1）因为函数，在上单调递增，故在上的单调递增.
证明如下：任取，，且，
则
，
因为，所以，，
所以，即，即在上单调递增.
（2）函数，定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以为奇函数.
（3）由，得，
即，又，，
由（1）知在上单调递增，所以，所以，
所以不等式的解集为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）按照“租赁利润＝租赁收入－租赁成本”可以写出利润Y与时间t之间的函数关系；
（2）应用二次函数性质与对勾函数性质分段求出最大值，再比较两值大小即可得到利润Y的最大值.
【详解】（1）解：依题意可知，，
即
（2）解：因为，
所以当时，，
所以当时；
当时，
，
当且仅当,，
即时等号成立，而，
由对勾函数性质可知在单调递减，
所以当，即时，，
又因为，
所以当时，该店日租赁利润Y的最大值为.
19．(1)证明见解析；
(2)；
(3)；
【分析】（1）利用指数幂的运算证明；
（2）由，令，得到求解；
（3）由，，原不等式可化为求解.
【详解】（1）因为，
，
，
所以；
（2）因为，
令，则，
即，解得或，
又，所以，于是，
整理得，于是，
解得，
所以函数的零点为
（3）因为，
，，
所以原不等式可化为，
于是，整理得，，
也即（舍去）或，则
不等式的解集为；
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
B
A
D
B
B
BD
ACD
题号
11









答案
BC