云南省保山市腾冲市第八中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份云南省保山市腾冲市第八中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知由样本数据组成一个样本，可得到回归直线方程为，且，则样本点的残差为（ ）
A．0.3B．-0.3C．1.3D．-1.3
2．某校为了丰富课后服务活动，提高学校办学水平和教育质量，开设近20门选修课供学生自愿选择.甲、乙2名同学都对其中的合唱、足球、篮球、机器人课程感兴趣，若这2名同学从这4门课程中各自任选一门课程参加，则不同的选法有（ ）
A．4种B．6种C．8种D．16种
3．设随机变量 X 服从两点分布，若 PX=1-PX=0=0.3 ，则成功概率 PX=1= （ ）
A．0.3B．0.35C．0.65D．0.7
4．甲、乙、丙等6人相约到电影院看电影，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，则不同的坐法共有（ ）
A．120种B．240种C．360种D．720种
5．△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ， B=π6,C=π4,S△ABC=3+12 ，则 c=
A． 2 B． 3 C．2D． 6+2
6．为促进消费，某商场推出抽奖游戏：甲、乙两袋中装有大小、材质均相同的球，其中甲袋中为4个黑球和6个白球，乙袋中为3个黑球和5个白球.顾客要从甲袋中随机取出1个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出1个球，若从乙袋中取出的球是黑球，则获得100元消费券，否则获得50元消费券.则顾客获得100元消费券的概率为（ ）
A． 415 B． 1745 C． 2645 D． 1115
7．一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次任取两个球，设事件 A 为“第一次取出白球”，事件 B 为“第二次取出黑球”，则在 A 发生的条件下 B 发生的概率为 （ ）
A． 13 B． 12 C． 34 D． 35
8．已知等差数列 an 满足 a3=9,a9=3 ，则 a12= （ ）
A． -2 B．1C．0D． -1
二、多选题（本大题共3小题）
9．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列结论不正确的是（ ）
A．男人、女人中患色盲的频率分别为0.038，0.006
B．男、女患色盲的概率分别为 19240 ， 3260
C．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的
D．不能说明患色盲与性别是否有关
10．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．该正方体的外接球体积为
B．底面半径为，高为的圆锥体能够被整体放入该正方体
C．三棱锥的体积为定值
D．当与重合时，异面直线与所成的角为
11．已知 A,B 为随机事件， PA=0.5,PB=0.4 ，则下列结论正确的有（ ）
A．若 A,B 为互斥事件，则 PAB=0.9 B．若 A,B 为互斥事件，则 PA+B=1
C．若 A,B 相互独立，则 PA+B=0.7 D．若 PB|A=0.3 ，则 PB|A=0.5
三、填空题（本大题共3小题）
12．在二项式 2+x11 的展开式中， 系数为有理数的项的个数是_____.
13．过三点 O0,0､M1-1,3､M2-3,-1 的圆的标准方程是_________.
14．同时抛掷5枚均匀的硬币160次，设5枚硬币正好出现1枚正面向上，4枚反面向上的次数为 ξ ，则 ξ 的数学期望是_______.
四、解答题（本大题共5小题）
15．新冠疫情下，为了应对新冠病毒极强的传染性，每个人出门做好口罩防护工作刻不容缓．某口罩加工厂加工口罩由 A,B,C 三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别， A,B,C 三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级； A,B,C 工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级(表示最低过滤效率为99.97%)； C 工序的加工质量层次为高， A,B 工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级(表示最低过滤效率为99%)；其余均为95级(表示最低过滤效率为95%)．
表①:表示 A,B,C 三道工序加工质量层次为高的概率；表②:表示加工一个口罩的利润．
表①
表②
(1) X 表示一个口罩的利润，求 X 的分布列和数学期望；
(2)由于工厂中 A 工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对 A 工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了 a ( 0⩽a⩽0.4 )元时，相应的 A 工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了 b ;试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则 a 与 b 应该满足怎样的关系?
16．如图是我国2010年至2018年 GDP 总量 y （单位：万亿元）的折线图．
注：年份代码1~9分别对应年份2010~2018．
(1)由折线图看出，可用一元线性回归模型拟合y与年份代码t的关系，请用相关系数 r 加以说明（ r 精确到0.001）；
(2)建立y关于t的经验回归方程（系数精确到0.01），并据此预测2022年我国 GDP 总量．
参考数据：
i=19i=582.010,y≈64.668,i=19iyi=3254.800 ， i=19ti-t2i=19yi-y2≈345.900.
参考公式：相关系数 fx=ax2-a+2x+lnxa∈R.
经验回归方程 fx=ax2-a+2x+lnxa∈R. 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 fx=ax2-a+2x+lnxa∈R. fx=ax2-a+2x+lnxa∈R.
17．如图，在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中， DD1⊥ 平面 ABCD ．底面 ABCD 是平行四边形， AB=AD=2A1B1 ， ∠BAD=60 ，连接 AC 、 BD ，设交点为 O ，连接 B1O ．

(1)证明： BB1⊥AC ；
(2)若 AB=4 ，且二面角 B1-AB-C 大小为60°，求三棱锥 B1-ABO 外接球的表面积．
18．已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1a＞b＞0 的左､右焦点分别为 F1,F2 ，离心率为 23 ，且经过点 A2,53
(1)求椭圆E的方程；
(2)求 ∠F1AF2 的角平分线所在直线 l 的方程；
(3)在椭圆E上是否存在关于直线 l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
19．已知 a＜1 ，函数 fx=xsinx+acsx ， x∈0,π .
(1)求曲线 y=fx 在点 π2,fπ2 处的切线方程；
(2)证明： fx 存在唯一的极值点；
(3)若存在 a ，使得 fx＜-12a+b 对任意 x∈0,π 成立，求实数 b 的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【分析】先将中心代入回归方程求出，将代入回归方程求得，结合残差的定义即可求解.
【详解】由题意知，将点代入，
得，所以，
将代入，解得，
所以样本点的残差为.
故选A.
2．【答案】D
【详解】由题设，甲乙两人均有4种选课方法，
所以2名同学从这4门课程中各自任选一门课程参加的方法有 42=16 种.
故选D.
3．【答案】C
【详解】随机变量 X 服从两点分布， PX=1-PX=0=0.3 ，
根据两点分布概率性质可知： PX=1-PX=0=0.3PX=1+PX=0=1 ，
解得 PX=1=0.65 .
故选C.
4．【答案】B
【详解】由题意可知不同的坐法有 A22A55=240 .
故选B.
5．【答案】C
【详解】由题意得 12ac·sinπ6=3+12csinπ4=asinπ-π6+π4 ，解得 c=2 ，
故选C．
6．【答案】B
【详解】记顾客获得100元消费券的事件为 A ，从甲袋中取出黑球的事件为 B ，
则 PB=410=25 ， PB=35 ， PA|B=49,PA|B=39=13 ，
所以 PA=PAB+AB=PBPA|B+PBPA|B=25×49+35×13=1745 .
故选B.
7．【答案】D
【详解】设事件 A 为“第一次取出白球”，事件 B 为“第二次取出黑球”，
PA=36=12 ， PAB=36×35=310 ，
第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率为：
PBA=PABPA=35 .
故选D.
8．【答案】C
【详解】由 a3=9,a9=3 可得： d=a9-a39-3=3-96=-1 ，
所以 a12=a9+3d=3-3=0 ，
故选C.
9．【答案】ABD
【详解】对于A中，男人、女人中患色盲的频率分别为 38480≈0.079 ， 6520≈0.012 ，故A不正确；对于B中， 19240 ， 3260 分别为男人、女人中患色盲的频率，并不是男、女患色盲的概率，故B不正确；
对于C、D中，由男人中患色盲的比例为 38480≈0.079 ，女人中患色盲的比例为 6520≈0.012 ，可得 38480＞6520 ，又由 χ2=1000×38×514-6×442244×956×480×520≈27.139＞6.635 ，
所以患色盲与性别是有关的，故C正确，D不正确．
故选ABD．
10．【答案】BC
【详解】记该正方体的外接球半径为，可得，解得，
所以外接球体积为，所以A不正确；
将该圆锥的顶点放在正方体上表面中心，底面圆为正方体下表面内切圆时，
恰好可以放得下底面半径为，高为的圆锥体，所以B正确；
如图（1）所示，由正方体性质，可得是矩形，
且，
连接交于点，因为正方形，可得，
又由平面，且平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
所以是点到平面的距离，且，
所以（定值）所以C正确；
如图（2）所示，当与重合时，与上底面中心重合，
连接与交于点，连接，可得，
所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，
在中，因为，
由余弦定理得，所以D错误.
故选BC.
11．【答案】BCD
【详解】对于A，若 A,B 为互斥事件，则 PAB=0 ，即可得A错误；
对于B，由 PA=0.5,PB=0.4 可得 PA=0.5,PB=0.6 ，
又 A,B 为互斥事件，则 PAB=0 ，又 PA+B=PA∪B=PAB=1-0=1 ，即B正确；
对于C，若 A,B 相互独立，则 PAB=PAPB=0.2 ,
所以 PA+B=PA+PB-PAB=0.5+0.4-0.2=0.7 ，即C正确；
对于D，若 PB|A=PABPA=PAB0.5=0.3 ，所以 PAB=0.15 ；
可得 PAB=PB-PAB=0.25 ，
所以 PB|A=PABPA=PAB1-PA=0.251-0.5=0.5 ，即D正确.
故选BCD.
12．【答案】6
【详解】二项展开式的通项公式为 Tr+1=C11r211-rxr,r=0,1,2,⋯,11 ，
第 r+1 项的系数为 C11r211-r ，
当 11-r=0,2,4,6,8,10 即 r=1,3,5,7,9,11 时，系数为有理数，
这样的项的个数为6.
13．【答案】 x+22+y-12=5
【详解】设圆的标准方程为 x-a2+y-b2=r2 ，
a2+b2=r2-1-a2+3-b2=r2-3-a2+-1-b2=r2 得 a-3b+5=0a+2b=0 ，得 a=-2b=1r2=5 ，
所以圆的标准方程是 x+22+y-12=5 .
14．【答案】25
【详解】同时抛掷5枚均匀的硬币一次，出现1枚正面向上， 4 枚正面向下的概率为 C51⋅12⋅124=532 ，
因为各次试验中事件是相互独立，所以 ξ 服从二项分布 ξ∼B160,532 ，
故其数学期望 Eξ=160×532=25 .
15．【答案】(1)分布列见解析， EX=1.19
(2) 10a9＜b＜12 ( 0⩽a⩽0.4 )
【详解】（1） X 的可能取值为 2.3 ， 0.8 ， 0.5 ，
PX=2.3=12×34×45=310 ； PX=0.8=1-12×34×45=12 ； PX=0.5=1-310-12=15 ；
所以 X 的分布列为
EX=2.3×310+0.8×12+0.5×15=1.19
（2）设升级后一件产品的利润为 Y ，则 Y 的可能取值为 2.3-a ， 0.8-a ， 0.5-a
PY=2.3-a=12+b×34×45=3+6b10 ；
PY=0.8-a=1-12+b×34×45=5-6b10 ；
PY=0.5-a=1-3+6b10-5-6b10=15 ；
所以 EY=2.3-a×3+6b10+0.8-a×5-6b10+0.5-a×15 =11.9-10a+9b10 ，
由 EY＞EX 得 11.9-10a+9b10＞1.19 ，解得 9b＞10a ，
所以 a 与 b 满足的关系为 10a9＜b＜12 ( 0⩽a⩽0.4 ).
16．【答案】(1)答案见详解；
(2) y=35.94+5.75t，110.69 万亿元．
【详解】（1）由题得 t=5,i=19ti-tyi-y=i=19iyi-9ty=344.750 ，
r≈≈0.997 ．
说明y与t的线性相关关系很强，可用一元线性回归模型拟合．
（2） i=19ti-t2=60 ，由 y≈64.668 可得 b=344.75060≈5.746 ．
â=64.668-5.746×5≈35.94 ，
所以y关于t的经验回归方程 y=35.94+5.75t
将 t=13 代入得 y=35.94+5.75×13=110.69 ．
所以预测2022年我国 GDP 总量为110.69万亿元．
17．【答案】(1)证明过程见解析
(2) 25π
【详解】（1）连接 B1D1 ，
因为底面 ABCD 是平行四边形， AB=AD ， ∠BAD=60 ，
所以 △ABD 为等边三角形，底面 ABCD 为菱形，则上底面 A1B1C1D1 也为菱形，
又 AB=AD=2A1B1 ，故 B1D1=12BD ，
又 B,D,B1,D1 四点共面，故 B1D1//BD ，
因为 BD=2OD ，所以 B1D1=OD ，
故四边形 B1D1DO 为平行四边形，
所以 DD1//B1O ，
因为 DD1⊥ 平面 ABCD ，所以 B1O⊥ 平面 ABCD ，
因为 AC⊂ 平面 ABCD ，所以 B1O⊥ AC ，

因为 △ABD 为等边三角形， O 为 BD 中点，故 BD⊥ AC ，
因为 B1O∩BD=O ， B1O,BD⊂ 平面 B1D1DB ，
所以 AC⊥ 平面 B1D1DB ，
因为 BB1⊂ 平面 B1D1DB ，
所以 BB1⊥AC ；
（2）以 O 为坐标原点， OB,OC,OB1 所在直线分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，
因为 AB=4 ，所以 BO=2,CO=23,A1B1=2 ，
故 A0,-23,0,B2,0,0,C0,23,0 ，设 B10,0,t ， t＞0 ，
设平面 B1AB 的法向量为 m=x,y,z ，
则 m⋅AB1=x,y,z⋅0,23,t=23y+tz=0m⋅AB=x,y,z⋅2,23,0=2x+23y=0 ，
令 y=1 得 x=-3 ， z=-23t ，
故 m=-3,1,-23t ，
平面 ABC 的法向量为 n=0,0,1 ，
故 csm,n=m⋅nm⋅n=-3,1,-23t⋅0,0,13+1+12t2=23t4+12t2=3t2+3 ，
二面角 B1-AB-C 大小为60°，
即 3t2+3=cs60=12 ，解得 t=3 ，

取 AB 的中点 E ，由于 AO⊥ BO ，
故三棱锥 B1-ABO 外接球的球心 W 在平面 AOB 的投影为 E ，
连接 EO ，过点 W 作 WR 平行 OE ，交 OB1 于 R ，
设 EW=h ，则 RO=h ， B1R=3-h ，
又 RW=OE=12AD=2 ，
由勾股定理得 WB1=WR2+B1R2=4+3-h2 ， WA=WE2+EA2=h2+4 ，
故 4+3-h2=h2+4 ，解得 h=32 ，
故三棱锥 B1-ABO 外接球的半径为 322+4=52 ，
故三棱锥 B1-ABO 外接球表面积为 4π×522=25π .
18．【答案】(1) x29+y25=1
(2) 9x-6y-8=0
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）椭圆E经过点 A2,53 ， e=23
可得 4a2+259b2=1a2=b2+c2e=ca=23 ，解得 a=3b=5c=2 ，
因此可得椭圆E的方程为 x29+y25=1 ；
（2）由（1）可知， F1-2,0 ， F22,0
思路一：
由题意可知 lAF1:5x-12y+10=0 ， lAF2:x=2 ，如下图所示：
设角平分线上任意一点为 Px,y ，则 5x-12y+1013=x-2
得 9x-6y-8=0 或 2x+3y-9=0
又易知其斜率为正，
∴ ∠F1AF2 的角平分线所在直线为 9x-6y-8=0
思路二：椭圆在点 A2,53 处的切线方程为 2x9+y3=1 ， k切=-23
根据椭圆的光学性质， ∠F1AF2 的角平分线所在直线 l 的斜率为 kl=32 ，
所以 ∠F1AF2 的角平分线所在直线 l:y=32x-43 ，
即 9x-6y-8=0
（3）思路一：假设存在关于直线 l 对称的相异两点 Bx1,y1,Cx2,y2 ，
设 lBC:y=-23x+m ，
联立 x29+y25=1y=-23x+m 可得 9x2-12mx+9m2-45=0 ，
∴线段 BC 中点为 M2m3,5m9 在 ∠F1AF2 的角平分线上，
即 6m-103m-8=0 ，解得 m=3 ；
因此 M2,53 与点A重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．
思路二：假设存在关于直线 l 对称的相异两点 Bx1,y1,Cx2,y2 ，线段 BC 中点 Mx0,y0 ，
由点差法可得 x129+y125=1x229+y225=1 ，即 x12-x229+y12-y225=0 ；
∴ kBC=y1-y2x1-x2=-59x1+x2y1+y2=-59x0y0=-23 ，
因此 kOM=y0x0=65 ，
联立 lAM:9x-6y-8=0lOM:y=65x 可得 M2,53 与点A重合，舍去，
故不存在满足题设条件的相异的两点．
19．【答案】(1) 1-ax-y+aπ2=0
(2)证明见解析
(3) 3π3,+∞
【详解】（1）由题意知， f′x=sinx+xcsx-asinx=1-asinx+xcsx ，
所以 f′π2=1-asinπ2+π2csπ2=1-a ，
又 fπ2=π2 ，
所以曲线在点 π2,fπ2 处的切线方程为 y-π2=1-ax-π2 ，即 1-ax-y+aπ2=0 .
（2）证明：由 f′x=1-asinx+xcsx ， a＜1 ，
①当 x∈0,π2 时， f′x＞xcsx⩾0 ，则 fx 在 0,π2 上单调递增，
②当 x∈π2,π 时，设 gx=1-asinx+xcsx ，则 g′x=1-acsx+csx-xsinx=2-acsx-xsinx ，
所以 g′x＜-xsinx＜0 ，故 gx 在 π2,π 上单调递减，
又 gπ2=1-a＞0 ， gπ=-π＜0 ，
所以由零点存在性定理可知，存在唯一 x0∈π2,π ，使得 gx0=0 ，即 f′x0=0 .
所以当 π2＜x＜x0 时， gx＞0 ，即 f′x＞0 ；当 x0＜x＜π 时， gx＜0 ，即 f′x＜0 ，
所以 fx 在 π2,x0 上单调递增，在 x0,π 上单调递减，
综述： fx 在 0,x0 上单调递增，在 x0,π 上单调递减，存在唯一 x0∈π2,π ，使得 f′x0=0 .
故 fx 存在唯一的极值点.
（3）由（2）可知， fx 在 0,x0 上单调递增，在 x0,π 上单调递减，
故 fxmax=fx0=x0sinx0+acsx0 ，
因为 f′x0=1-asinx0+x0csx0=0 ，所以 a=1+x0csx0sinx0 ，
由题意知， fxmax=fx0=x0sinx0+acsx0＜-12a+b ，
即 x0sinx0+1+x0csx0sinx0csx0＜-121+x0csx0sinx0+b ，
化简得 b＞x0sinx0+csx0+x0csx02sinx0+12 ， x0∈π2,π ，
设 gx=xsinx+csx+xcsx2sinx+12 ， x∈π2,π ，
由题存在 x0∈π2,π ，使得 gx0＜b ，
所以 gxmin＜b ， x∈π2,π .
又 g′x=sinx-xcsxsin2x-sinx+csx-xsinxsinx-xcs2x2sin2x =sinx1-sin2x-xcsxsin2x+sinxcsx-x2sin2x=sinxcs2x-xcsxsin2x+sinxcsx-x2sin2x =2csx+1sin2x-2x4sin2x
设 hx=sin2x-2x ， x∈π2,π ，则 h′x=2cs2x-2＜0 ，
所以 hx 在 π2,π 上单调递减，
故 hx＜hπ2＜0 ，
当 π2＜x＜2π3 时， 2csx+1＞0 ， g′x＜0 ；当 2π3＜x＜π 时， 2csx+1＜0 ， g′x＞0 ，
故 gx 在 π2,2π3 上单调递减，在 (2π3,π) 上单调递增，
所以 gxmin=g2π3= ，所以 b＞3π3 .
故 b 的取值范围为 3π3,+∞ .工序
A
B
C
概率
12
34
45
口罩等级
100等级
99等级
95等级
利润/元
2.3
0.8
0.5
X
2.3
0.8
0.5
P
310
12
15