云南省保山市腾冲市第八中学2024−2025学年高二下学期5月期中考试 数学试题（含解析）

这是一份云南省保山市腾冲市第八中学2024−2025学年高二下学期5月期中考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，集合，则（ ）
A．｛1，2｝B．｛（1，2）｝
C．（1，2）D．
2．已知是虚数单位，设复数，则（ ）
A． B．C．D．
3．若，则（ ）
A．B．41C．D．40
4．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.8B．0.6C．0.4D．0.2
5．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔的阶数是（ ）
A．10B．11C．12D．13
6．把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人最多得两张，甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有
A．90种B．120种C．180种D．240种
7．已知是正方体的棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察骰子两次出现的点数，下列说法正确的有（ ）
A．试验的样本空间中有36个基本事件
B．第一次投掷中，事件“出现偶数点”与事件“出现点数小于3”是互斥事件
C．试验中两次骰子点数和为7的概率是
D．试验中两次骰子点数之和最可能出现的是8
10．已知抛物线C：的焦点为F，点P在抛物线C上，，若为等腰三角形，则直线AP的斜率可能为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．的最大值为
C．的一个极大值点为
D．的一个减区间为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量的夹角为，，则 .
13．已知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为 ．
14．已知函数，且在区间上单调，若，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）求值:
（2）求不等式：的解集．
16．如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
17．已知椭圆C：（）的一个焦点为，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，若面积为，求直线的方程.
18．DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
19．如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线C：，其中点，依次为的左、右顶点，点B为的下顶点，点，依次为的左、右焦点.若点，分别为曲线，的圆心.
(1)求的方程；
(2)和D分别在曲线和曲线上.求出线段的最大值；
(3)若过点，作两条平行线，分别与，和，交与M，N和P，Q，求的最小值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由集合知集合中的元素为直线上的点，
集合知集合中的元素为的值域，显然集合为点构成的集合，集合为实数构成的集合，因此.


故选D
2．【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
故选A．
3．【答案】C
【详解】展开式的通项公式为，
令得，故，
令得，故，
所以.
故选C
4．【答案】C
【详解】因为随机变量服从正态分布，，所以，
故，
所以，
故选C.
5．【答案】C
【详解】由第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，则前四阶共12座.
则从第五阶后共有座.
设第五阶塔的数目为，则，设从第五阶开始自上而下，每一层的塔的数目为
由从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列.
所以
所以
所以由，解得或 （舍去）
所以该塔的阶数是
故选C
6．【答案】A
【详解】从6张电影票中任选2张给甲、乙两人，共种方法；再将剩余4张票平均分给丙丁2人，共有种方法；根据分步乘法计数原理即可求得结果.
【详解】分两步：先从6张电影票中任选2张给甲，乙两人，有种分法；
再分配剩余的4张，而每人最多两张，所以每人各得两张，有种分法，
由分步原理得，共有种分法．
故选A
7．【答案】A
【详解】如图，设是棱的中点，连接，
由是棱的中点，故 ,
则,故四边形为平行四边形，
故，所以是和所成的角或其补角．
设该正方体的棱长为2，则，
所以,
故异面直线和所成角的余弦值为，
故选A
8．【答案】C
【详解】由于恒成立，构造函数，则方程在上有两个不等的实数根等价于函数在上有两个不同的零点，
则 ，
（1）当时，则在上恒成立，即函数在上单调递增，
当时，，，根据零点定理可得只有唯一零点，不满足题意；
（2）当时，令，解得：，令，解得：或，
故的单调增区间为，的单调减区间为，
①当，即时，则在单调递增，当时，，，根据零点定理可得只有唯一零点，不满足题意；
②当 ，即时，则在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，， ，
故要使函数在上有两个不同的零点，
则 ，解得： ；
综上所述：方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为：
故答案选C
9．【答案】AC
【详解】解：对于A,由题意可知N=6=36,故正确；
对于B，第一次投掷时，当出现的点数为2时，事件“出现偶数点”与事件“出现点数小于3”同时发生了，不是互斥事件，故错误；
对于C,出现两次骰子点数和为7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6 个，所以事件发生的概率为：,故正确；
对于D,两次骰子点数之和为8的基本事件有：(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)小于和为7的概率，故错误.
故选AC.
10．【答案】AB
【详解】由题意知，设，
若，则，解得，
则点P的坐标为或，
所以或；
若，则.
因为，所以，解得或（舍去），
所以点P的坐标为或，
所以或.
故选AB
11．【答案】ABC
【详解】A选项，从图象上不能确定在上恒大于0，
故无法确定在上单调递增，A说法错误；
BD选项，从图象上可以得到在上大于0，在上小于0，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，不能确定为最大值，B说法错误，D说法正确；
C选项，从图象上可以得到，
在左侧小于0，在上大于0，故的一个极小值点为，C说法错误.
故选ABC
12．【答案】
【详解】.
13．【答案】.
【详解】试题分析：原题等价于方程有两个大于零实数根．
因为
所以
所以，即
设
要使方程有两个大于零实数根需要满足，即
解得
所以的取值范围为
考点：1．导函数的几何意义；2．二次函数的根的分布．
14．【答案】
【详解】由在区间上单调，所以最小正周期，
则，即，
又因为，所以图象的一条对称轴为，
即其在时取得最值，
所以，故，
当时，，由，无解；
当时，，由，则当时，，
则，此时，满足题意；
当时，，由，无解；
综上：.
15．【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）；
（2）因为，所以，化简可得，解得，所以不等式解集为．
16．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）证明：以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图空间直角坐标系.
则，，，，，
所以，，.
设是平面的一个法向量，
则令，得，，
所以.
因为，
所以，又因为平面，
所以平面.
（2）因为，，
设是平面的一个法向量，
则令，得，，所以.
所以点到平面的距离.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由焦点为得，又离心率，得到，
所以，所以椭圆C的方程为.
（2）设，，
联立，消y得，
，得到，
由韦达定理得，，，
又因为，
又原点到直线的距离为，
所以，
所以，所以，即，满足，
所以直线l的方程为.
18．【答案】（1）分布列见解析，1
（2）（ⅰ）；（ⅱ）1100
【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
的分布列为
的数学期望．
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
，
即每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
，则（万元），
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
19．【答案】(1)
(2)4
(3)5
【详解】（1）由两圆的方程知：圆心分别为，，即，，
，解得：，
（2）由题意易知当C与，D与同时重合时，
取得最大值为
（3）由题意知：；
，由对称性可知：为椭圆截直线的弦长，
设：，其与椭圆交于点和
由得：，则，
，，
，
当时，取得最小值，
的最小值为
0
1
2