四川省内江市第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省内江市第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集直接运算即可.
【详解】因为，，所以.
故选：A.
2. 命题 ，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题 ，为存在量词命题，
其否定为：，.
故选：C
3. 是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件举反例即可判断.
【详解】当时，，，不是的充分条件，
当时，，，也不是的必要条件，
所以是的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4. 函数的零点所在的大致区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用零点存在定理，计算求解即可
【详解】根据条件，，，，可得，
，所以，函数的零点所在的大致区间是
故选：B
【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函数的奇偶性以及在内函数值的变化情况，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为，
因为，即函数为奇函数，排除B选项，
当时，，排除C选项；
因为，，则，
所以，函数在上不是增函数，排除D选项.
故选：A.
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对数函数、指数函数、单调性，可以得到，可得到大小关系
【详解】，，，则，
所以，
故选：B
7. 已知函数，则函数单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求函数定义域，再结合复合函数单调性分析求解.
【详解】令，解得或，
可知的定义域为，
因为在定义域内单调递减，
且在内单调递减，在内单调递增，
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以函数单调递增区间为.
故选：D.
8. ，其中，若，则得取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出函数图像，结合对称性构造不等式即可求解；
【详解】
画出函数的图像，
当时，，
,
即，
同理：当时，也可得，
所以的图像的图像关于对称；
所以等价于，
即，
解得：或，
又，
所以得取值范围是，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 将的图象向右平移个单位，得到的图象
C. ，都有
D. 函数的单调递减区间为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解.
【详解】由图知，，即，
所以，由题意，结合图象解得，
又因为，
所以，
所以的解析式为：，
对A，，故A正确；
对B，将的图象向右平移个单位，得的图象，故B错误；
对C，由三角函数的性质知，，所以，都有，故C正确；
对D，由，得，所以函数的单调递减区间为，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知实数满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式性质，结合作差法、特例法比较大小即得.
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，所以，B错误；
对于C，由，得，所以，C正确；
对于D，当时，，D错误.
故选：AC
11. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 若在定义域上是增函数，则
C. 若的值域为.则
D. 当时，若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性、单调性、值域，将分段函数分情况讨论，逐一判断即可．
【详解】对于A，由题函数定义域为，关于原点对称，
当时，，，；
当时，，，，
则函数为奇函数，故A正确；
对于B，若在定义域上是增函数，则，即，故B正确；
对于C，当时，在区间上单调递增，此时值域为，
当时，在区间上单调递增，此时值域为.
要使的值域为，则，即，故C不正确；
对于D，当时，由于，则函数在定义域上是增函数，
又函数是奇函数，故由，得，
则，且，且，
解得，故D不正确.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______．
【答案】##
【解析】
【详解】将原式分母化，再利用正弦余弦齐次式，弦化切后即可代入求解.
【分析】
，
故答案为：.
13. 外在美加内容美才是真的美，重庆书法家庹纯双在一个扇环牌匾上模仿王羲之的《兰亭序》，在精美的牌匾上写上优美的诗句，书法家飘逸灵动的字体，真是美轮美奂，扇环牌匾的两条弧长分别为15，9，AD的长度为2，则扇环的面积为_______________

【答案】
【解析】
【分析】延长相交于点，由圆心角求得，再结合扇形面积公式即可求解；
【详解】延长相交于点，设，

则，解得，
所以扇环的面积为，
故答案为：
14. 定义：在某个区间内，如果一条直线的图象始终夹在与的图象之间，即在这个区间恒成立，则这条直线叫做与的隔离直线，现有两个定义在的函数，，则与的隔离直线为______________
【答案】
【解析】
【分析】根据隔离直线的概念结合恒成立可得结果.
【详解】由题设有在上恒成立，
故k−2x2+bx+2>0在上恒成立，
且2−kx2−bx+2>0在上恒成立，
若，则y=2−kx2−bx+2x>0为右侧向下的抛物线，
2−kx2−bx+2>0在上恒成立不成立，
若，同理k−2x2+bx+2>0在上恒成立也不成立，
故，故在上恒成立，
而在上恒成立，且在上恒成立，
故且，故，
所以与的隔离直线为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求出集合A，然后由并集运算可得；
（2）由先得出集合与集合的关系，再对集合进行分类讨论，
【小问1详解】
已知得，，
当时，，
【小问2详解】
，
，
当时，，即，
当时，，
综上所述，实数的取值范围为.
16. 在直角坐标系内，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点.
（1）求值：；
（2）先化简再求值：.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解，代入计算即可；
（2）结合弦切互化利用诱导公式化简，代入计算即可.
【小问1详解】
由三角函数的定义可得，
所以；
【小问2详解】
.
17. 已知函数（为实数）是奇函数.
（1）求的值；
（2）解不等式：；
（3）若实数满足，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）结合指数运算，根据奇函数的定义列式求解；
（2）将不等式等价化简得，然后结合对数概念利用指数函数单调性解不等式即可；
（3）由复合函数的单调性判断，并用定义证明，然后由奇偶性变形，由单调性化简，解一元二次不等式即可得解．
【小问1详解】
由题意函数是定义在上的奇函数，所以，
即，整理得恒成立，即．
所以；
【小问2详解】
由（1）知，则，
所以，由函数单调递增得，所以原不等式的解集为；
【小问3详解】
由（1）可得；
取任意，且，
则
，
因为，所以，又易知，
所以，即；
因此函数单调递减函数；
由可得；
由为单调递减可知，即，
解得，所以的取值范围为.
18. 已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）已知，且在上恒成立，求a的取值范围；
（3）若关于x的方程有两个不相等的正实数根，，求的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意得，求解即可得出答案；
（2）函数，可得二次函数图象的开口向上，且对称轴为，题意转化为，利用二次函数的图象与性质，即可得出答案；
（3）利用一元二次方程的根的判别式和韦达定理，即可得出答案．
【小问1详解】
当时，，
，即，解得或，
∴不等式的解集为或；
【小问2详解】
，
则二次函数图象的开口向上，且对称轴为，
∴在上单调递增，，
在上恒成立，转化为，
∴，解得，故实数的取值范围为；
【小问3详解】
关于x的方程有两个不相等的正实数根，
∵，，，
∴且，解得，
，
令（），
在上单调递减，
，，
故的取值范围为．
19. 已知函数与.
（1）请用定义法证明函数的单调性;
（2）当时,求在区间上的值域;
（3）对于函数和,设,若存在α,β,使得,则称函数和互为“零点相邻函数”.若函数与是“零点相邻函数”,求实数a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义直接证明即可；
（2）当时，令，，函数化为，结合二次函数的性质，即可求得值域；
（3）根据题中条件知，在上单调递增,且,据此可知，进而求得，又根据题意在上有解，换元后，根据对勾函数的性质即可求解.
【小问1详解】
任取,且,
则
,
因为,
所以,
所以即，
所以函数在上单调递增.
【小问2详解】
当时,.
又,令,则，
函数的图象开口向上且对称轴为直线,
由，
，
得，
故在区间上的值域为.
【小问3详解】
由(1)知函数在上单调递增,
且,据此可知.
结合“零点相邻函数”的定义可得，
据此可知函数在区间上存在零点,
即方程在区间上存在实数根,
整理得，
令,则，.
根据对勾函数的性质,
函数在区间上单调递减,在上单调递增,
又，
所以，即，
故实数a取值范围是.