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四川省内江市第一中学2024−2025学年高二上学期开学考试 数学试题（含解析）
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这是一份四川省内江市第一中学2024−2025学年高二上学期开学考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．样本数据24，13，14，18，12，14，20，16的75%分位数为（ ）
A．17B．18C．19D．20
2．设复数是虚数单位),则（ ）
A．B．C．D．
3．某射击运动员射击5次的成绩如下表：
下列结论正确的是（ ）
A．该射击运动员5次射击的平均环数为9.2
B．该射击运动员5次射击的平均环数为9.5
C．该射击运动员5次射击的环数的方差为1
D．该射击运动员5次射击的环数的方差为
4．已知向量，满足，，且，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为（ ）
A．B．C．D．
5．柜子里有双不同的鞋，分别用，，，，，表示只鞋，如果从中随机地取出只，则取出的鞋一只左脚一只右脚的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，中，为边的中点，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
7．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
8．某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知平面向量，，与的夹角为，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．在区间上单调递减
D．为偶函数
11．我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，，则的值为 .
13．为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子 只.
14．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角，，的对边分别为，，，，，
(1)求角；
(2)以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，若，求的面积.
16．2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持．下图是该地100家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图．
(1)确定的值，并估计这100家中小微企业的专项贷款金额的众数；
(2)从这100家中小微企业中按专项贷款金额分层抽样随机抽取20家，再从这20家专项贷款金额在内的企业中随机抽取3家，求这3家的专项贷款金额都在内的概率．
17．已知函数的最大值为3，
(1)若的定义域为，求的单调递增区间；
(2)若，，求的值.
18．如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
(1)若，，求的坐标；
(2)若，，且，求实数的值；
(3)若，，求向量的夹角的余弦值.
19．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若的内角，，的对应边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为，
(1)若，，，求面积；
(2)用“三斜求积”公式推导以下公式中的一个：①；②，其中；
(3)若，且，求面积的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】数据从小到大排序为12，13，14，14，16，18，20，24，则，
所以75%分位数为.
2．【答案】D
【详解】∵
∴===
故选D．
3．【答案】D
【详解】该射击运动员5次射击的平均环数为，
5次射击的环数的方差.
结合选项可知：ABC错误，D正确.
故选：D.
4．【答案】B
【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.
【详解】向量在向量方向上的投影向量的模为.
故选：B
5．【答案】C
【分析】根据古典概型的概率公式直接可得解.
【详解】设，，分别表示三双鞋的左只，，，分别表示三双鞋的右只，
则从中随机取出只的所有可能为，，，，，，，，，，，，，，，
共种，
其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚的有，，，，，，，，，共种，
所以概率为,
故选：C.
6．【答案】A
【分析】利用向量的基本定理与混合运算，结合图形即可得解.
【详解】在中，为边的中点，为的中点，
则.
故选A.
7．【答案】C
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数的的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选C.
8．【答案】C
【分析】设，利用三角函数分别表示，然后分别在中利用余弦定理表示，因为，所以可得,进而求解即可.
【详解】设，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：,
因为,所以，
即，解得，
所以该古建筑的高度为.
故选C.
9．【答案】BCD
【分析】利用向量平行的坐标公式判断A选项；利用向量的坐标求模长，从而判断B选项；
利用向量垂直的坐标公式判断C选项；利用向量数量积的坐标公式判断D选项.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，则，故，故B正确；
对于C，若，则，则，故C正确；
对于D，若，则，
解得，故D正确.
故选：BCD
10．【答案】AC
【分析】由图列方程组可判断A项，代入点可判断B项，结合图象及其周期可判断C项，令计算可判断D项.
【详解】由图可知，，
，
所以，
所以，
将点代入可得：，，
又因为，
所以，
所以，故A项正确，B项错误；
对于C项，因为，所以，
由图可知，在上单调递减，
即：在上单调递减，故C项正确；
对于D项，因为，
所以，
当时，，
所以不是偶函数，故D项错误.
故选：AC.
11．【答案】ABD
【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理和正弦的和差公式可判断B；利用特殊值可判断C错误；设，在两边同乘向量，根据数量积定义即可判断D.
【详解】对A，由余弦定理知，，
，
上述三个等式相加得，A正确；
对B，因为，
所以，B正确；
对C，当时，式子左边，右边，
由得，
此时，只有当时，等式才成立，由于角的任意性，所以等式不一定恒成立，C错误；
对D，设，则，
则，
因为，所以，
即，
整理得，D正确.
故选：ABD
12．【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系和余弦的两角和差公式求解即可.
【详解】，，故，
所以.
故答案为：
13．【答案】
【分析】利用简单随机抽样，结合样本估计总体可解.
【详解】假设草场约有n只兔子，则，则.
故答案为：600.
14．【答案】
【分析】利用相互独立事件以及对立事件的概率公式计算即可.
【详解】依题意，李华3道题都没有答对的概率为，
所以李华最终通过面试的概率为.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由边化角，再结合，即可求解；
（2）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可.
【详解】（1）由，
可得：，
，
，
又，，
所以，即.
（2）由题意得， ，，
则，即，
由余弦定理得，所以，
由，得，则.
16．【答案】(1)，万元
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，即可求出，再求出众数；
（2）首先求出、组中抽取的企业数，利用列举法列出所有可能得结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】（1）由频率分布直方图得，
解得，
因为专项贷款金额在的频率最大，所以估计这100家中小微企业的专项贷款金额的众数为万元
（2）由题意知分层抽样抽取比例为，
抽样的家中小微企业中专项贷款金额在内应抽取的企业有家．
在抽取的家中小微企业中，专项贷款金额在内的有家，记为，，，；
专项贷款金额在内的有家，记为．
从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为，，，，，，，，，共10种，
其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在内的情况为，，，共4种，
所以所求概率．
17．【答案】(1)和
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式将化简并利用最值可得，再由三角函数单调性解不等式即可求得单调递增区间；
（2）代入解析式可求得，再根据同角三角函数之间的基本关系以及二倍角等公式求，最后利用诱导公式可求.
【详解】（1）将化简可得，
因为，所以．
此时，
当时，
令．得；
令，得，
所以的单调递增区间为和．
（2）由（1）知．
由，得，
所以．又因为．所以，
所以．
所以，
所以.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用，表示，借助，的线性运算求解可得；
（2）用，表示，将转化为的运算，利用数量积的运算律求解可得；
（3）用，表示，利用，求及，再由两向量夹角公式可得.
【详解】（1）若，，则，
则
故的坐标为.
（2）若，，且，
则，，
由已知得，.
所以
，解得.
（3）若，，
则，
，
所以，
又，
向量，的夹角的余弦值为.
19．【答案】(1)；
(2)推导见详解；
(3).
【分析】（1）将所给边长代入公式直接计算即可；
（2）选①：利用余弦定理和同角三角函数的平方关系代入化简可得；选②：利用平方差公式因式分解，再结合完全平方公式可证；
（3）利用正弦定理边化角整理可得，根据两边和大于第三边求出的范围，然后根据面积公式和二次函数性质可解.
【详解】（1）因为，，，
所以.
（2）选①：
.
选②：
，
记，则.
（3）因为，所以，
由正弦定理边化角得，
所以，即，
由解得，所以，
因为
，
所以 当时，取得最大值.
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
9环
9环
10环
8环
9环
一、单选题（本大题共8小题）
1．样本数据24，13，14，18，12，14，20，16的75%分位数为（ ）
A．17B．18C．19D．20
2．设复数是虚数单位),则（ ）
A．B．C．D．
3．某射击运动员射击5次的成绩如下表：
下列结论正确的是（ ）
A．该射击运动员5次射击的平均环数为9.2
B．该射击运动员5次射击的平均环数为9.5
C．该射击运动员5次射击的环数的方差为1
D．该射击运动员5次射击的环数的方差为
4．已知向量，满足，，且，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为（ ）
A．B．C．D．
5．柜子里有双不同的鞋，分别用，，，，，表示只鞋，如果从中随机地取出只，则取出的鞋一只左脚一只右脚的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，中，为边的中点，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
7．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
8．某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知平面向量，，与的夹角为，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．在区间上单调递减
D．为偶函数
11．我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，，则的值为 .
13．为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子 只.
14．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角，，的对边分别为，，，，，
(1)求角；
(2)以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，若，求的面积.
16．2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持．下图是该地100家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图．
(1)确定的值，并估计这100家中小微企业的专项贷款金额的众数；
(2)从这100家中小微企业中按专项贷款金额分层抽样随机抽取20家，再从这20家专项贷款金额在内的企业中随机抽取3家，求这3家的专项贷款金额都在内的概率．
17．已知函数的最大值为3，
(1)若的定义域为，求的单调递增区间；
(2)若，，求的值.
18．如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
(1)若，，求的坐标；
(2)若，，且，求实数的值；
(3)若，，求向量的夹角的余弦值.
19．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若的内角，，的对应边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为，
(1)若，，，求面积；
(2)用“三斜求积”公式推导以下公式中的一个：①；②，其中；
(3)若，且，求面积的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】数据从小到大排序为12，13，14，14，16，18，20，24，则，
所以75%分位数为.
2．【答案】D
【详解】∵
∴===
故选D．
3．【答案】D
【详解】该射击运动员5次射击的平均环数为，
5次射击的环数的方差.
结合选项可知：ABC错误，D正确.
故选：D.
4．【答案】B
【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.
【详解】向量在向量方向上的投影向量的模为.
故选：B
5．【答案】C
【分析】根据古典概型的概率公式直接可得解.
【详解】设，，分别表示三双鞋的左只，，，分别表示三双鞋的右只，
则从中随机取出只的所有可能为，，，，，，，，，，，，，，，
共种，
其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚的有，，，，，，，，，共种，
所以概率为,
故选：C.
6．【答案】A
【分析】利用向量的基本定理与混合运算，结合图形即可得解.
【详解】在中，为边的中点，为的中点，
则.
故选A.
7．【答案】C
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数的的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选C.
8．【答案】C
【分析】设，利用三角函数分别表示，然后分别在中利用余弦定理表示，因为，所以可得,进而求解即可.
【详解】设，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：,
因为,所以，
即，解得，
所以该古建筑的高度为.
故选C.
9．【答案】BCD
【分析】利用向量平行的坐标公式判断A选项；利用向量的坐标求模长，从而判断B选项；
利用向量垂直的坐标公式判断C选项；利用向量数量积的坐标公式判断D选项.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，则，故，故B正确；
对于C，若，则，则，故C正确；
对于D，若，则，
解得，故D正确.
故选：BCD
10．【答案】AC
【分析】由图列方程组可判断A项，代入点可判断B项，结合图象及其周期可判断C项，令计算可判断D项.
【详解】由图可知，，
，
所以，
所以，
将点代入可得：，，
又因为，
所以，
所以，故A项正确，B项错误；
对于C项，因为，所以，
由图可知，在上单调递减，
即：在上单调递减，故C项正确；
对于D项，因为，
所以，
当时，，
所以不是偶函数，故D项错误.
故选：AC.
11．【答案】ABD
【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理和正弦的和差公式可判断B；利用特殊值可判断C错误；设，在两边同乘向量，根据数量积定义即可判断D.
【详解】对A，由余弦定理知，，
，
上述三个等式相加得，A正确；
对B，因为，
所以，B正确；
对C，当时，式子左边，右边，
由得，
此时，只有当时，等式才成立，由于角的任意性，所以等式不一定恒成立，C错误；
对D，设，则，
则，
因为，所以，
即，
整理得，D正确.
故选：ABD
12．【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系和余弦的两角和差公式求解即可.
【详解】，，故，
所以.
故答案为：
13．【答案】
【分析】利用简单随机抽样，结合样本估计总体可解.
【详解】假设草场约有n只兔子，则，则.
故答案为：600.
14．【答案】
【分析】利用相互独立事件以及对立事件的概率公式计算即可.
【详解】依题意，李华3道题都没有答对的概率为，
所以李华最终通过面试的概率为.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由边化角，再结合，即可求解；
（2）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可.
【详解】（1）由，
可得：，
，
，
又，，
所以，即.
（2）由题意得， ，，
则，即，
由余弦定理得，所以，
由，得，则.
16．【答案】(1)，万元
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，即可求出，再求出众数；
（2）首先求出、组中抽取的企业数，利用列举法列出所有可能得结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】（1）由频率分布直方图得，
解得，
因为专项贷款金额在的频率最大，所以估计这100家中小微企业的专项贷款金额的众数为万元
（2）由题意知分层抽样抽取比例为，
抽样的家中小微企业中专项贷款金额在内应抽取的企业有家．
在抽取的家中小微企业中，专项贷款金额在内的有家，记为，，，；
专项贷款金额在内的有家，记为．
从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为，，，，，，，，，共10种，
其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在内的情况为，，，共4种，
所以所求概率．
17．【答案】(1)和
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式将化简并利用最值可得，再由三角函数单调性解不等式即可求得单调递增区间；
（2）代入解析式可求得，再根据同角三角函数之间的基本关系以及二倍角等公式求，最后利用诱导公式可求.
【详解】（1）将化简可得，
因为，所以．
此时，
当时，
令．得；
令，得，
所以的单调递增区间为和．
（2）由（1）知．
由，得，
所以．又因为．所以，
所以．
所以，
所以.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用，表示，借助，的线性运算求解可得；
（2）用，表示，将转化为的运算，利用数量积的运算律求解可得；
（3）用，表示，利用，求及，再由两向量夹角公式可得.
【详解】（1）若，，则，
则
故的坐标为.
（2）若，，且，
则，，
由已知得，.
所以
，解得.
（3）若，，
则，
，
所以，
又，
向量，的夹角的余弦值为.
19．【答案】(1)；
(2)推导见详解；
(3).
【分析】（1）将所给边长代入公式直接计算即可；
（2）选①：利用余弦定理和同角三角函数的平方关系代入化简可得；选②：利用平方差公式因式分解，再结合完全平方公式可证；
（3）利用正弦定理边化角整理可得，根据两边和大于第三边求出的范围，然后根据面积公式和二次函数性质可解.
【详解】（1）因为，，，
所以.
（2）选①：
.
选②：
，
记，则.
（3）因为，所以，
由正弦定理边化角得，
所以，即，
由解得，所以，
因为
，
所以 当时，取得最大值.
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
9环
9环
10环
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