四川省内江市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

这是一份四川省内江市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题，共5页。试卷主要包含了本试卷包括第Ⅰ卷两部分，考试结束后，监考人将答题卡收回，当时，曲线与的交点个数为，已知平面向量，，与的夹角为，则等内容，欢迎下载使用。
数 学
1、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间120分钟。
2、答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上。
3、考试结束后，监考人将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案.
1、样本数据12，13，14，14，16，18，20，24的75%分位数为
（A）17（B）18（C）19（D）20
2、设复数（是虚数单位），则
（A）（B）（C）（D）
3、某射击运动员射击5次的成绩如下表：
（A）该射击运动员5次射击的平均环数为9.2
（B）该射击运动员5次射击的平均环数为9.5
（C）该射击运动员5次射击的环数的方差为1
（D）该射击运动员5次射击的环数的方差为
4、已知向量，满足，，且，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为
（A）（B）（C）（D）
5、柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，表示2只鞋，如果从中随机地取出2只，则取出的鞋一只左脚一只右脚的概率为
（A）（B）（C）（D）
6、如图，中，为边的中点，为的中点，则
（A）（B）
（C）（D）
7、当时，曲线与的交点个数为
（A）8（B）6（C）4（D）3
8、某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．
如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点，，处测
得其顶点的仰角分别为，，，，
则该古建筑的高度为
（A）（B）
（C）（D）
二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分
9、已知平面向量，，与的夹角为，则（ ）
（A）若，则（B）若，则
（C）若，则（D）若，则
10、函数（，，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有
（A），
（B）
（C）在区间上单调递减
（D）为偶函数
11、我们知道正、余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12、已知，，则的值为 .
13、为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内兔子的数量为 只.
14、某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为 .
四、解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15、（本小题满分13分）
在中，内角，，的对边分别为，，，，，
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，若，求的面积.
16、（本小题满分15分）
2024年中国经济将会进一步发展，但也会面临一些挑战.某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.如图是该地120家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图：
（Ⅰ）确定的值，并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数）；
（Ⅱ）按专项贷款金额进行分层抽样，从这120家中小微企业中随机抽取20家，记专项贷款金额在[200,300]内应抽取的中小微企业数为，
（i）求的值；
（ii）从这家中小微企业中随机抽取3家，求这3家中小微企业的专项贷款金额都在
[200,250)内的概率.
17、（本小题满分15分）
已知函数的最大值为3，
（Ⅰ）若的定义域为，求的单调递增区间；
（Ⅱ）若，，求的值.
18、（本小题满分17分）
如图，在斜坐标系中，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
（Ⅰ）若，，求的坐标；
（Ⅱ）若，，且，求实数的值；
（Ⅲ）若，，求向量，的夹角的余弦值.
19、（本小题满分17分）
我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.
若的内角，，的对应边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为
，
（Ⅰ）若，，，求面积；
（Ⅱ）用“三斜求积”公式推导以下公式中的一个：
①；②，其中；
（Ⅲ）若，且，求面积的最大值.第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
9环
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