上海市南洋模范中学2024-2025学年高一下学期开学摸底考试 数学试题（含解析）

这是一份上海市南洋模范中学2024-2025学年高一下学期开学摸底考试 数学试题（含解析），共15页。
考生注意：
1． 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具．
2． 本试卷共3页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟
3． 请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分
一．填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1. ___．
【答案】
【解析】
【分析】根据极限的运算法则， 利用 ，直接可求得结果.
【详解】,
故答案为：
2. 函数的单调递增区间为______.
【答案】(或也正确)
【解析】
【分析】根据函数解析式直接得出单调区间.
【详解】,
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：(或也正确)
3. 函数，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】先计算，再计算即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分段函数求函数值，属于基础题.
4. 知，且，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，再结合两角和的余弦公式，即可求解.
【详解】因，可得，
又因为，所以，
则.
故答案为：.
5. 方程的解集为__．
【答案】
【解析】
【分析】根据辅助角公式和余弦型函数图象及性质即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
又，
所以
所以或或
解得或或.
故解集为．
故答案为：．
6. 要使有意义，的取值范围是________.
【答案】；
【解析】
【分析】利用正弦函数的性质求出范围，列出不等式求解作答.
【详解】因，因此，
所以，
所以，
或且
解得，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：
7. 已知，，则___________.
【答案】-7
【解析】
【分析】根据，，利用两角和与差的余弦公式展开，再两式相加 、相减分别得到、，然后利用商数关系求解.
【详解】因为，，
所以，
两式相加得：，
两式相减得：，
所以，
故答案为：-7
【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及同角三角函数的基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8. 若函数是偶函数，则该函数的定义域是_______________．
【答案】
【解析】
【详解】因为函数是偶函数，则函数的定义域 解得 故函数的定义域为.
及答案为.
9. 已知,,且,则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：，所以当时，取最大值1；当 时，取最小值.因此的取值范围为.
【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.
10. 已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，推得，再结合余弦定理，即可求解．
【详解】在中，，，
则，即，
，，，
则角为钝角或角为钝角，
若角是钝角，
则，即，
故，
若角钝角，
则，即，解得．
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先求角，再结合基本不等式和余弦定理可求三角形周长的取值范围.
【详解】由，
因为为三角形内角，所以，所以，所以.
由余弦定理：，即.
所以，所以，所以.
又，所以.
故答案为：
12. 设函数，其中，如果不等式在区间有解，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将原不等式等价变形为：，再变量分离得到，原不等式在区间，上有解，即小于右边的最大值．根据指数函数的单调性得到右边的最大值即可得到实数的取值范围．
【详解】不等式，即，
原不等式可化为，
移项得，
两边都除以，得
不等式在区间有解，即式的右边的最大值大于
在上是一个减函数
当时，的最大值为
因此，得实数的取值范围是，
故答案为：
二．选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）
13. 若终边不在坐标轴上，且，则在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系及任意角三角函数判断象限即可.
【详解】因为,
所以
所以终边不在坐标轴上
所以在第三象限.
故选：C.
14. 若，则的值是（ ）
A. 1B. C. 0D. 不存在
【答案】D
【解析】
【分析】将已知条件两边平方，求得，由此求得的取值范围，从而判断出的值不存在.
【详解】由两边平方得，即，所以，所以的值不存在.
故选：D
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
15. 在中，若，则一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状.
【详解】由,
所以：.
因为为三角形内角，所以.
所以为等腰三角形.
故选：A
16. 已知函数为偶函数，则函数，的奇偶性为（ ）
A. 均为偶函数B. 至少有1个为偶函数C. 均为奇函数D. 至少有1个为奇函数
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据函数，的奇偶性，判断函数的奇偶性，进行判断.
【详解】若函数，均为偶函数，则，所以为偶函数；
若函数为偶函数，为奇函数，则，所以为偶函数；
若函数为奇函数，为偶函数，则，所以为偶函数；
若函数为奇函数，为奇函数，则，所以为奇函数.
所以函数为偶函数，则函数，至少有1个为偶函数.
故选：B
三．解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）
17. 已知定义域为R的函数
（1）判断函数的奇偶性并求其最小正周期
（2）若，．求：的值．
【答案】（1）奇函数，最小正周期为；
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据诱导公式和二倍角公式化简函数的解析式，再分析函数的性质.
（2）根据和角公式求值.
【小问1详解】
因为.
由，所以，所以函数为奇函数.
且函数的最小正周期为：.
【小问2详解】
由，所以，
且，所以，
若，则；
若，则，故不合题意，舍去.
所以.
所以.
所以.
18. 设函数，其中.
（1）若函数是偶函数，求实数的值；
（2）若，记，求证：函数在上有零点.
【答案】（1）0 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据求出，在验证时，为偶函数即可；
（2）利用结合零点存在性定理即可证明.
【小问1详解】
若函数是偶函数，则，即，
所以或，所以，
此时，，满足为偶函数，
所以.
【小问2详解】
因为,
所以，，
因为，所以，，
所以，，
所以当时，恒成立，
故函数在上有零点.
19. 某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券.已知每投放亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比随着时间（天）的变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.
（1）若第一次投放亿元消费券，则接下来哪段时间内能使消费总额至少提高？
（2）政府第一次投放亿元消费券，天后准备再次投放亿元的消费券，将第二次投放消费券后过了天时全市消费总额提高的百分比记为.若存在，使得，试求的最小值.
【答案】（1）接下来的天内，能使消费总额至少提高
（2）
【解析】
【分析】（1）将问题转化为，分别在各段区间内解不等式即可求得结果；
（2）分别表示出第一次投入和第二次投入带来的消费总额提高的百分比，由此可得，由可分离变量得到有解，令，，结合对勾函数单调性可确定的最小值，即的最小值，进而得到结果.
【小问1详解】
当时，；若，则；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
当时，不成立；
综上所述：，即接下来的天内，能使消费总额至少提高.
【小问2详解】
记第一次投放亿元优惠券对全市消费总额提高的百分比，第二次投放亿元对对全市消费总额提高的百分比为，
当时，，，
则有解，
即有解；
令，则，，
令，
在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递增，在上单调递减，
又，，，即，
，则的最小值为.
20. 设，已知函数.
（1）当时，用定义证明是上的严格增函数；
（2）若定义在上的奇函数满足当时，，求在区间上的反函数；
（3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；
（2）根据奇函数的定义可以求出参数，从而根据反函数的定义即可求出反函数解析式；
（3）将不等式的右侧转化为特殊的函数值，再利用已经证明的函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
当时，.
任取，则，
因为，所以，
即，.
所以，即，
故是上的严格增函数.
【小问2详解】
由题意得当时，，
又是定义在上的奇函数，即，得.
所以当时，，
由得当时，，
而，则，在上单调递增，
令，则，得，
故在区间上的反函数，.
【小问3详解】
由于时，，在上单调递增，；
时，，在上单调递增，；
则在上单调递增，
关于的不等式在上恒成立，
又，所以，
即在上恒成立，令，
得恒成立，即，
故实数的取值范围是.
21. 若函数，则称为的“对一函数”.
（1）求证：“对一函数”的总数为偶数；
（2）设“对一函数”为，定义域为且严格增的幂函数，其中，为正整数.求：的整数零点；
（3）若奇函数为在上的严格增,，且为的“对一函数”，求解不等式：.
【答案】（1）证明见解析
（2）0 （3）
【解析】
【分析】（1）分函数是不是自身的“对一函数”讨论.
（2）先根据条件确定函数的解析式，再求函数的整数零点.
（3）先分析函数的性质得到，从而不等式化简为，进一步转化为关于的不等式，利用已知条件研究函数的单调性和取值范围，从而求解.
【小问1详解】
当不为自身的“对一函数”时
∵，反解可得：，则为的“对一函数”.
∴此时和成对出现.
当为自身的“对一函数”时，，
∴ 或 有2种情况.
∴ 的总数为偶数.
【小问2详解】
由“对一函数”定义可得：，
由幂函数定义可得，且，
又∵在上严格增，m为正整数，得.
∴，
由，
，
由函数的图象可知，显然没有除原点以外的公共点.
对于的图象：
，
只有两个公共点，
又因为得.
所以函数的整数零点为0.
【小问3详解】
因为为奇函数，所以.
所以 ，
所以，
原不等式等价于，亦即，
移项通分化简得，
∵函数为奇函数，且在上的严格递增，所以在上也严格递增，
因为，所以，
所以 ,
所以，
所以
所以，
所以原不等式的解集为.