2021-2022学年上海市南洋模范中学高一下学期开学考试数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市南洋模范中学高一下学期开学考试数学试题

一、填空题

1．已知集合A={x|-2<x<1}，B={x|-1<x<3}，则A∪B=_________.

【答案】

【解析】直接利用并集的运算求解.

【详解】因为集合A={x|-2<x<1}，B={x|-1<x<3}，

所以A∪B={x|-2<x<3}，

故答案为：

2．函数的定义域是___________

【答案】（-1，1）

【分析】解不等式即得函数的定义域.

【详解】由题得，所以.

所以函数的定义域为（-1，1）.

故答案为：（-1，1）

【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查分式不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

3．化简__．

【答案】

【分析】依据诱导公式对原式进行化简计算.

【详解】．

故答案为：.

4．设，其中，若，则__．

【答案】1

【分析】直接代入，结合诱导公式即可得到答案.

【详解】，

即，

则．

故答案为：1.

5．若，则__．

【答案】1或

【分析】运用倍角公式计算.

【详解】由题意 ，所以或，

所以或；

故答案为：1或 .

6．若不等式对任意实数x恒成立，则实数的取值范围是_____．

【答案】[﹣1，]

【详解】因为 ，所以 ，因此

点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．

7．设为实数，函数是奇函数，则__．

【答案】

【分析】根据可求，再由时可求解.

【详解】因为是奇函数，所以，所以.

当时，．

故答案为:.

8．已知函数，若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________.

【答案】

【解析】作出函数f(x)，的图象，将函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，转化为y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点求解.

【详解】函数的图象如图所示：

若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，等价于y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点，

由图知：

故答案为：

【点睛】方法点睛：由函数零点或个数求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．

9．对任意实数的最小值为____．

【答案】4

【分析】利用基本不等式与绝对值三角不等式求解即可，另外要特别注意等号成立的条件。

【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立，

所以，

当且仅当且，即或且时，等号成立，

因为当时，，当且仅当，即时，等号成立，

当时，，当且仅当，即时，等号成立，

所以，

所以，

当且仅当且，即或且时，等号成立，

综上：，当且仅当或且时，等号成立，

所以所求最小值为4．

故答案为：4.

10．将写成一个关于的一元二次式和一个关于的一元二次式的乘积，则可表示为__．

【答案】

【分析】，根据平方差公式及即可求解.

【详解】

．

故答案为:.

11．设函数满足，且在上的值域为，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】利用换元法，可得，然后采用等价转换的方法，可得在的值域为，最后根据二次函数的性质，可得结果.

【详解】由

令，

所以

则令

由在上的值域为

等价为在的值域为

的对称轴为，且

所以

可得或

所以

故答案为：

【点睛】本题主要考查函数值域的应用，难点在于使用等价转换思想，使问题化繁为简，属中档题.

12．设曲线与函数的图像关于直线对称，若曲线仍然为某函数的图像，则实数的取值范围为____________

【答案】

【分析】设是在点处的切线，进而根据题意得直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，进而得的方程为，再联立方程即可得，进而得答案.

【详解】解：设是在点处的切线，

因为曲线与函数的图像关于直线 对称，

所以直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，

如图所示直线与的角为，所以的倾斜角为，

所以的方程为

故联立方程得，即，

所以，解得

所以的取值范围为

故答案为：.

二、单选题

13．若，，则下列不等式一定成立的是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由，然后利用绝对值三角不等式可得出正确选项.

【详解】由绝对值三角不等式可得，

故选A.

【点睛】本题考查绝对值不等式的应用，解题的关键就是将所求代数式利用已知的代数式加以表示，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

14．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】解方程，根据充分条件和必要条件的定义可得出结论.

【详解】由可得或，

因为“”“或”，

“”“或”

因此，“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

15．扇子文化在中国源远流长.如图所示的扇面的外环弧长为60cm，内环弧长为15cm，径长（外环半径与内环半径之差）28cm，则该扇面的面积为（    ）

A．1050cm2 B．840cm2 C．630cm2 D．210cm2

【答案】A

【分析】首先，由条件可知，再列出关于弧长的公式，利用扇形面积求解.

【详解】设外环圆的半径为，内环圆的半径为，圆心角为，则，，，则，所以该扇面的面积（cm2）.

故选：A

16．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】运用辅助角公式计算.

【详解】 ，

所以 ，；

故选：C．

三、解答题

17．设是第三象限角，问是否存在实数，使得、是关于的方程的两个根？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由.

【答案】不存在，理由见解析

【解析】由是第三象限角，得出，，列出韦达定理，结合以及进行求解，可得出满足条件的实数不存在，进而得出结论.

【详解】倘若存在实数满足条件，由题设得，，①

由是第三象限角，得出，，

，②，，③

又，.

把②③代入上式得，

即，解得，.

不满足条件①，舍去；不满足条件③，舍去.

故满足题意的实数不存在.

【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求参数，在涉及的相关计算时，一般利用平方关系来计算，考查计算能力，属于中等题.

18．已知，，且.

（1）求的值；

（2）求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先根据，且，求出，则可求，再求；

（2）先根据，，求出，再根据求解即可.

【详解】（1）∵且，

∴，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，

又∵，

∴，

，

所以.

【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题.

19．已知函数；

（1）当时，求该函数的定义域和值域；

（2）如果在区间上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）定义域，值域；（2）．

【分析】（1）代入的值，结合对数函数的性质，解不等式，求出函数的定义域，根据函数的单调性求出函数的值域即可；

（2）问题转化为在，上恒成立，令，，根据函数的单调性求出的范围即可．

【详解】（1）当时，，

令，解得，

所以函数的定义域为，

令，则，

所以，

因此函数的值域为，；

（2）如果在区间，上恒成立，

即在，上恒成立，

即在，上恒成立，

令，，

显然在，递减，（3），

故．

【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.

20．已知函数，的图像为曲线，两端点、，点为线段上一点，其中，，，点、均在曲线上，且点的横坐标等于，点的纵坐标为.

（1）设，，，求点、的坐标；

（2）设，，求的面积的最大值及相应的值；

（3）设，，求证：点始终在点的上方.

【答案】（1），；（2），；（3）见解析

【分析】(1)由题意可得,再计算对应的横纵坐标即可.

(2)根据题意求得的面积表达式,再利用基本不等式求解即可.

(3)根据凸函数的性质可得.

【详解】(1)设则,,

,,,,

所以,.

(2)当,时,,,

故,,

所以.

因为.

当且仅当时取等号.令,.

因为在上为增函数,故当时,

取最大值.此时

(3) 设,,因为为上的凸函数,所以根据凸函数的性质得,故点始终在点的上方.

【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,同时也考查了基本不等式与函数的运用.需要根据题意列出对应的关系式,再化简运用即可.属于难题.

21．已知实数不全为0，给定函数，．记方程的解集为，方程的解集为，若满足，则称为一对“太极函数”．问：

(1)当，时，验证是否为一对“太极函救”；

(2)若为一对“太极函数”，求的值；

(3)已知为一对“太极函数”，若，，方程存在正根，求的取值范围（用含有的代数式表示）．

【答案】(1)不是一对“太极函救”

(2)

(3)时，，时，．

【分析】（1）根据新定义检验；

（2）利用新定义计算求解；

（3）设，由新定义得关于的方程无实根，记，由二次函数性质求得的范围，由可得的范围．

【详解】（1）若是否为一对“太极函救”，由，得，

所以，不是的零点，

所以不是一对太极函救；

（2）设为方程的一个根，即，由题设，

所以；

（3）因为，由，得，所以，

，

由得或，易得，

据题意，的零点均为的零点，

故无实数根，

设，则无实根，记

时，，，

，即时，，解得，

，即时，，．

综上，时，，时，．

【点睛】本题考查函数新定义，解题关键是正确理解新定义并能应用，由新定义判断，求值等，难点是第（3）小问的范围问题，解题关键是引入变量，利用新定义确定关于的方程无实根，记，只要即可得结论．