上海市南洋模范中学2023届高三下学期3月模拟1数学试题（含解析）

上海市南洋模范中学2023届高三下学期3月模拟1数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．假如女儿的身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的线性回归方程是，已知父亲身高为175cm，则估计女儿的身高为______cm．（结果精确到整数）

2．某产品长度合格的概率为，重量合格的概率为，长度、重量合格的概率为，任取一件产品，已知其重量合格，则它的长度也合格的概率为______．

3．函数的单调增区间为______．

4．已知函数，则____________．

5．已知函数，其中，若曲线在处的切线斜率为1，则的最小值为______．

6．已知函数，其中，则曲线在点处的切线方程为______．

7．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为．曲线在点处的曲率为____________．

8．已知随机变量满足，其中．若，则________．

9．下列说法中正确的有______（填正确说法的序号）．

①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4；

②已知随机变量，且，则；

③若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱；

④若事件A，B满足，，，则有．

10．若已知30个数的平均数为6，方差为9；现从原30个数中剔除这10个数，且剔除的这10个数的平均数为8，方差为5，则剩余的20个数的方差为___________.

11．每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h，这些人的近视率约为50%，现从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为__________.

12．已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则的取值范围是_____．

二、单选题

13．已知A，B为两个随机事件，，，则“A，B相互独立”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

14．某地为响应“扶贫必扶智，扶智就扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅．现收集了该图书馆五年的借阅数据如下表：

根据上表，可得y关于x的线性回归方程为，则下列说法中错误的是（    ）．

A．

B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的第75百分位数为5.7

C．y与x的线性相关系数

D．2021年的借阅量一定少于6.12万册

15．若直线是曲线与的公切线，则（    ）

A． B．1 C． D．2022

16．设函数，其中.若对，都，使得不等式成立，则的最大值为（    ）

A．0 B． C．1 D．

三、解答题

17．根据北京冬奥组委会与特许生产商的特许经营协议，从7月1日开始，包括冰墩墩公仔等在内的2022北京冬奥会各种特许商品将停止生产．现给出某零售店在某日（7月1日前）上午的两种颜色冰墩墩的销售数据统计表（假定每人限购一个冰墩墩）：

(1)若有99%的把握认为顾客购买的冰墩墩颜色与其性别有关，求a的最小值；

(2)在（1）中a取得最小值的条件下，现从所有顾客中选出9人，记选到的人中女顾客人数为X，求X的分布及数学期望．

附：

18．进入冬季，某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为，且每人是否感染这种病毒相互独立．

(1)记100个人中恰有5人感染病毒的概率是，求的最大值点；

(2)为确保校园安全，某校组织该校的6000名师生做病毒检测，如果对每一名师生逐一检测，就需要检测6000次，但实际上在检测时都是按人一组分组，然后将各组k个人的检测样本混合再检测．如果混合样本呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次．当p取时，求k的值，使得总检测次数的期望最少．

19．已知函数，其中．

(1)若函数定义域内的任意x使恒成立，求实数a的取值范围；

(2)讨论函数的单调性．

20．甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率为（）．

(1)若比赛采用五局三胜制，则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；

(2)若比赛采用三局两胜制，且，则比赛结束时，求甲获胜局数的期望；

(3)结合（1）（2），比较甲在两种赛制中获胜的概率，谈谈赛制对甲获得比赛胜利的影响．

21．已知数列为数列的前n项和，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)求证：；

(3)证明：．

参考答案：

1．

【分析】根据回归方程代入数据计算即得.

【详解】因为女儿身高为(单位：)关于父亲身高(单位：)的经验回归方程是，

所以当父亲的身高为时，.

故答案为：.

2．

【分析】根据题意结合条件概率运算求解.

【详解】记“长度合格”为事件A，“重量合格”为事件B，

由题意可得：，

则，

所以已知其重量合格，则它的长度也合格的概率为.

故答案为：.

3．

【分析】先对求导，再令导数大于0，从而求得函数的单调增区间.

【详解】因为，所以，

令，解得，

所以的单调增区间为.

故答案为：.

4．

【分析】求出，代入即可求解.

【详解】,

故，解得.

故答案为:.

5．/

【分析】根据导数的几何意义可得，再结合基本不等式运算求解.

【详解】因为的定义域为，且，

由题意可得：，

又因为，当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

6．

【分析】根据导数的几何意义，求出，即可得出切线方程.

【详解】因为，所以，

则，，

所以所求切线的方程为.

故答案为：.

7．

【分析】求出原函数的导函数与导函数的导函数，然后代入题中公式即可求出答案.

【详解】因为，

所以，，

则，，

所以曲线在点处的曲率为.

故答案为：.

8．

【分析】根据 分布列的性质以及期望公式求出的值，再由此求出方差.

【详解】由可得

，，

所以，则，

又，则

所以随机变量的分布列:

所以

故答案为：

9．①②④

【分析】对于①，利用方差的性质求解判断，对于②，根据正态分布的性质计算，

对于③，根据相关系数的性质判断，对于④，利用独立事件和条件概率公式求解判断.

【详解】由于，所以数据，，…，的方差为16，

故标准差为4，因此①正确；

根据正态分布，，故，即，

故.3，因此②正确；

线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故③错误；

由于等价于“事件A与事件B相互独立，即，

故必有，因此④正确.

故答案为：①②④

10．

【分析】根据方差定义结合已知条件分析求解

【详解】由题意得，，

，，

所以剩余的20个数的平均数为，

，

所以剩余的20个数的方差为，

故答案为：8

11．

【分析】利用全概率公式列方程求解即可.

【详解】从某高校中任意调查一名学生，记该学生近视为事件A，记该学生每天操作电子产品超过1h为事件B，则从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为.

由题可知，，.

由全概率公式得

即

解得，

即从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为.

故答案为：.

12．

【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义得到，然后将经过且与曲线相切的直线有三条转化为与的图象有三个交点，求导，利用函数单调性画出大致图象，然后列不等式求解.

【详解】，设切点坐标为，切线斜率为，

当时，明显只有一条切线，故 ，

则，整理得，

经过且与曲线相切的直线有三条，即方程有三个解，即与的图象有三个交点，

，当或时，，所以在，上单调递增，当时，，所以在上单调递减，

因为，所以，又，，所以的大致图象如下：

所以，解得.

故答案为：.

13．C

【分析】转化，根据充分性必要性的定义，以及独立性的定义，分析即得解

【详解】由题意，

若A，B相互独立，则

，故，故充分性成立；

若，即，则

即，故，即相互独立，故A，B相互独立，故必要性成立

故“A，B相互独立”是“”的充分必要条件

故选：C

14．D

【分析】对于A：根据线性回归方程必过样本中心点运算求解；对于B：根据百分位的定义运算求解；对于C：根据相关系数的定义分析判断；对于D：根据回归方程的进行预测.

【详解】对于选项A：年份代码x的平均数，

年借阅量y的平均数（万册），

则，解得，故A正确；

对于选项B：因为，所以借阅量的第75百分位数为5.7，故B正确；

对于选项C： 因为，所以y与x的线性相关系数，故C正确；

对于选项D：由选项A可得：，

令，可得，

预计2021年的借阅量为6.12万册，但并不能确定具体结果，故D错误；

故选：D.

15．A

【分析】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求出，，由点、点在切线上，得切线方程，联立切线方程可得答案..

【详解】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，，所以，，

由点在切线上，得切线方程为；

由点在切线上，得切线方程为，

故，解得，

故.

故选：A.

16．C

【分析】由题意易知恒成立，则可等价为对，恒成立，利用参变分离，可变形为恒成立，易证，则可得，即可选出答案.

【详解】对，都，使得不等式成立，

等价于,

当时，，所以，

当时，，所以，

所以恒成立，当且仅当时，，

所以对，恒成立，即，

当，成立，

当时，恒成立.

记,

因为恒成立，

所以在上单调递增，且，

所以恒成立，即

所以.

所以的最大值为1.

故选：C.

【点睛】本题考查导数在不等式的恒成立与有解问题的应用，属于难题，

此类问题可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有成立，故；

（5）若，，有，则的值域是值域的子集．

17．(1)12

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据独立性检验，计算卡方值，与临界值比较即可求解，

（2）根据超几何分布即可求解分布列，以及用超几何的期望公式即可求解.

【详解】（1）因为有的把握认为顾客购买的冰墩墩颜色与其性别有关，

不妨给出零假设：顾客购买的冰墩墩颜色与其性别无关，

且该假设成立概率小于等于，且由表知，

则，即，

又，

所以的最小值为12；

（2）由（1）知，的最小值为12，

此时女顾客一共有人，男顾客一共有人，

又从所有顾客中选出9人，所以的所有可能取值是，

所以的分布列为，

且，其中，

所以.

18．(1)

(2)

【分析】（1）根据二项分布求，在结合导数求最大值点；

（2）根据题意分析可得每组检测次数的期望为，进而可得总检验次数的期望，再代入检验即可.

【详解】（1）由题意可知：100个人中恰有5人感染病毒的概率，

则，

令，解得；令，解得；

可知在上单调递增，在上单调递减，

所以的最大值点.

（2）若，

按人一组分组，共有组，每组阳性的概率为，

可得每组检测次数的期望为，

设总检验次数为，则，

因为，则有：

当时，可得；

当时，可得；

当时，可得；

当时，可得；

当时，可得；

可知，当时，总检测次数的期望最少.

19．(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求导得因式分解，根据对数函数的性质，分类讨论得到的恒成立问题，从而得解；

（2）分类讨论导函数的正负即可得函数的单调性.

【详解】（1）因为，显然，

则，

因为恒成立，则，对恒成立，

当时，，则恒成立，故；

当时，，则恒成立，故；

综上，．

（2）由（1）知，，

①当时，，

当时，，则，单调递减，

当时，，则单调递增，

即当时，在上单调递减，上单调递增；

②当时，

当时，由（1）知在单调递增；

当时，当时，；

当时，；

当时，；

故当和时，；当时，；

因此在上单调递增，在上单调递减；

当时，当时，；

当时，；

当时，；

故当和时，；当时，；

因此在上单调递增，在上单调递减；

综上：当时，在上单调递减，上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

20．(1)；

(2)；

(3)答案见解析.

【分析】（1）利用条件概率公式进行求解即可；

（2）根据数学期望公式进行求解即可；

（3）利用差比进行求解即可.

【详解】（1）表示甲在第一局失利，表示甲获得了比赛胜利，则

（2）的可能取值为0，1，2，

，

，

，

故；

（3）在五局三胜制中甲获胜的概率为：

在三局两胜制中甲获胜的概率为：

，于是

当时，采用5局3胜制对甲更有利；时，采用3局2胜制对甲更有利，

当时，两种赛制对甲的影响一样.

21．(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）利用得到，变形后求出通项公式；

（2）构造，利用导函数得到其单调性，得到，再令，则证明出结论；

（3）先不等式两边取对数，再构造，，利用导函数得到其单调性，得到，从而对不等式放缩得到，利用累加法和放缩法证明出不等式.

【详解】（1）

当时，

得：

，，即，

变形为，

，经检验时也适合．

.

（2）构造函数，，

在上递减，

，

时．

∵，

∴令，则有

（3），，原不等式等价于证明：

，

令，，

则，

所以在上单调递减，

所以，

所以，

令，然后累加得：

．原不等式得证．

【点睛】利用导函数证明数列相关的不等式，要结合不等式特点，构造相关的函数，再将数列代入即可，本题第三问要构造，，得到，再进行相应的放缩.