高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教案，共7页。


课题
6.4.1平面几何中的向量方法
课型
新授课
课时
1
学习目标
初步掌握以向量和向量的运算为工具研究几何元素及其关系的方法（常用的是基向 量法和坐标法），体会向量方法的优越性；
通过用向量方法解决平面几何问题的探索，加深对向量知识的理解，感悟其中蕴含 的等价转化与化归的思想方法，发展学生提出问题、分析问题和解决问题的能力.
会用向量方法解决平面几何问题，提升学生数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养.
学习重点
用向量方法解决平面几何问题
学习难点
向量方法的具体步骤
学情分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用，本节课主要学习用向量解决平面几何问题，进一步加深对向量工具性的理解。
本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.
核心知识
用向量方法解决平面几何问题
教学内容及教师活动设计
（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）
教师个人复备
前言
平面几何经常涉及距离（线段长度）和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积，主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题.用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，从而得到几何问题的结论.
情景引入
问题 1：如图 1，在等腰 ABC 中，D 、E 分别是两腰 AB 、AC 的中点，且 CD 丄 BE ， 问角 A大小是否为定值？试证明你的结论.
师生活动：学生尝试从平面几何的角度进行思考，但一时无法找到思路，此时教师指 出：“几何中的线段，一旦有了方向，它就成为一个向量；我们可以用向量的眼光去看待几 何元素，用向量方法处理几何问题.”
设计意图：从一道平面几何问题引入，学生难以用传统的几何方法解决. 当学生感觉到困难时， 自然点明本节课的教学主题.
初识向量法
在解决问题 1 之前，我们不妨来回顾一下初中学过的重要定理.
问题 2：（三角形中位线定理）如图 2 ， ABC 中，点D 、 E分别是边 AB 、 AC的中点，求证： DE // BC, 且DE .
师生活动：课件出示问题 2 ，教师在带领学生回顾三角形中位线定理之后，可提问学 生“你能借助向量知识证明这个定理吗？”若学生不知如何下手，教师可适时进行引导：
你能用向量把这个定理的条件和结论分别表示出来吗？
（2）仔细观察结论中的向量与条件中的向量之间的内在联系，借助向量运算证明定理.
师生活动：对学生的证明过程进行点评，并展示完整的证明过程，证明过程如下： 证明：如图2，因为DE是ABC的中位线，所以
问题 3：比较定理的几何证法与向量证法，你有什么体会？
师生活动：学生小组讨论，选择代表发言，说说向量法与几何法的优劣，教师作总结点评。
设计意图：学生一开始对向量工具较为陌生，因此，需要降低起点通过学生熟悉的“三角形中位线定理” ，初步感知向量法的使用，为问题 1的解决奠定基础.
层层引导、解决问题
问题 4 ：现在，你能向量法解决问题 1 吗？
师生活动： 由学生生自主解题，教师巡视，并展示学生解答情况.
师生活动：
学生计算得出：
由 = 0 ，即 展开整理得 2 = 4t 2 ，即 t 2 ，从而cs A = .
当问题中涉及向量较多时，除了用基向量法，还可以考虑什么方法呢？（坐标法）， 尝试解决本题.
师生活动： 由学生生自主解题，教师巡视，并展示学生解答情况.
如图3，以BC所在直线为x轴，以BC垂直平分线所在直线为y轴建立坐标系
设点坐标为A(0, a)，B(—b,0)，C(b,0)，则
因为BE CD, 所以 ● 带入坐标计算得：3b = ，
cs A = 带入式运算得：cs A = .
问题 5 ：用向量法求解平面几何问题，通常有哪些步骤、方法？
师生活动：师生共同归纳，得出：（1）向量法解决平面几何问题的“三步曲” ：几何元 素向量化→ 向量运算关系化→运算结果几何化；（2）几何元素转化为向量的途径：基向量法和坐标法.
设计意图：通过“问题串”有层次性引导，使学生经历一次完整的用向量法求解几何问题的思维过程，初步掌握用向量法求解几何问题的方法程序，体会到向量作为一种工具的应用 价值以及其中所蕴含的数学思想.
课堂随练
课堂练习1如图，在平行四边形 ABCD 中，你能发现对角线 AC 和 BD 的长度与两条 邻边 AB 和 AD 长度之间满足什么样的关系吗？
课堂练习2如图所示，正方形 ABCD 的边长为 a ，E 是 AB 中点，F 是 BC 边上靠近点 B 的三等分点，AF 与DE 交于点 M ，求 ∠EMF 的余弦值
设计意图：两道题均为课本习题，一道为例题，一道为课后习题，放在此处，旨在让学 生巩固向量法应用.变式 2 在求解时既可以用基底法，也可用坐标法，综合运用向量知识， 提升学生分析解决问题的能力。
课堂小结
向量法解觉平面几何问题的步骤
板书设计
用向量法解觉平面几何问题
问题1
问题2
总结归纳
练习1
练习2
作业设计
6.4.1平面几何中的向量方法作业
教学反思
在整个教学过程中,首先检查学生对学案的完成程度,大部分学生基本能按要求完成,少部分基础较弱的没有完成紧接着提出向量的几何背景,提出平面几何问题是否可用向量知识来处理.在这一背景下提出了对这个问题的解决，我的做法是充分让学生分析用向量方法解决这一几何问题的过程,并归纳出用向量方法解决平面几何问题的一般步骤,当然在探究过程中学生可能会分析得不到位和归纳不全面,教师应适当引导和完善问题的解答,在这一问题的设计上,以分析几个小问题的形式完成整个探究过程,把一个大问题分解成几个小问题来引导,那学生探究起来会更容易一些,并且从中都是以学生为主开展的,体现了以学生为主体，教师为主导的教学理念。