数学必修 第二册6.4 平面向量的应用教学设计

 教学环节：新课引入

教学内容

师生活动

设计意图

问题：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等 、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决.

问题1：平面几何问题与平面向量之间的对应关系如何？完成下表.

学生思考问题，引出本节新课内容。

设置问题情境，回顾旧知，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。从向量的线性运算和数量积运算具有的几何背景出发，建立平面几何元素与平面向量之间的对应关系。

教学环节：新知探究

教学内容

师生活动

设计意图

问题1：如图6.4-1，DE是的中位线，用向量方法证明：

问题2：如图，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系吗？

证明：不妨设a，b，则

a+b，a-b，|a|2，|b|2．

得 ( a+b)·( a+b)

=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2．           ①|a|2-2a·b+|b|2．                        ②

①+②得   2(|a|2+|b|2)

=2()．

所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

用向量方法解决平面几何问题的基本思路和步骤是什么？

方法总结
用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。

师提问：如果两个向量共线，那么向量所在直线的位置关系是怎样的？向量共线与线段平行、重合的关系是什么？

生：向量共线证明线段平行的方法，先证，再说明没有公共点.

师：如何利用平面向量证明线段（直线）平行？长度关系？

生：利用向量共线关系，特别是向量的倍数关系既能说明平行还可以说明长度关系。

师引导学生分析问题，如何将长度问题转为向量问题。

生：选则基底法或坐标法探究长度关系。

创设数学情境，通过线段（直线）平行与向量共线关系的实例，启发学生初步感知用平面向量表示几何图形中的元素，并借助向量运算研究图形中的几何元素之间的关系.

让学生感受在数学学习中，利用平面向量研究平面几何中平行关系这一类问题.

利用向量方法探究平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系，意图之一仍是体会基底思想，用基底建立的联系，意图之二是体会涉及两个向量的和或差的模的问题时，只需对向量的和或差的模平方.通过例题让学生了解用向量方法证明几何问题，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过思考，总结用向量方法做几何问题的步骤，提高学生分析问题、概括问题的能力

教学环节：例题解析

教学内容

师生活动

设计意图

例1： 如图所示，在正方形中，，分别是,的中点，求证：.

例2： 如图，在中，,,点在线段上，且.求：（1）的长；（2）的大小.

解析　(1)设=a,=b,则=+=+=+(-)=+=a+b.

∴||2===a2+2×a·b+b2=×9+2××3×3×cos 120°+×9=3,∴AD=(负值舍去).

(2)设∠DAC=θ(0°<θ<120°),则θ为与的夹角.

∴cos θ=====0,∴θ=90°,即∠DAC=90°.

方法一：

基底法，            方法二：

坐标法，.

生将几何关系转为向量关系

体会利用向量的方法解决直线垂直关系的问题.

体会利用向量的方法解决长度和角度的问题.

教学环节：小结思考    布置作业

用向量方法解决几何问题的“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

向量在平面几何中常见的应用

(1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理

a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))

(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：

a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))

(3)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a|=＝ (a＝(x，y))或AB＝||＝ (A(x1，y1)，B(x2，y2))

1．已知平面内四边形和点，若，，，，且，则四边形为(　　)

A．菱形　B．梯形  C．矩形D．平行四边形 D．平行四边形

2．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．

3．(多选)在中，下列命题正确的是(　　)

A.

B.

C．若, 则为等腰三角形

D．若 ，则为锐角三角形

生回忆总结，师适时引导

教学环节：板书设计

平面几何中的向量方法

问1                        例1                   三部曲：

问2                        例2