高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教案

《6.4.1平面几何中的向量方法》

  教学设计

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第四节《平面向量的应用》。以下是本节的课时安排：

前面学生学习了平面向量的运算，初中就已经有了平面几何的知识，本节课是探讨平面几何中的向量方法，让学生学会用向量的方法去解决几何问题。

 1.会用向量方法解决简单的几何问题,培养数学抽象的核心素养；

2.体会向量在解决几何问题中的作用，提升数学建模的核心素养。

1.重点：用向量方法解决几何问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”。

2.难点：能够将几何问题转化为平面向量问题。

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

向量理论的发展有着深刻的几何背景.这一源泉最早可追溯到莱布尼兹的位置几何的概念.莱布尼兹认为代数仅仅能表达未定的数或量值，不能直接表达位置、角度和运动，利用代数运算来分析一个图形的特点、寻找方便的几何证明和构造有时是很困难的.鉴于此，他提出了一个“新代数”，其中几何实体可以用符号来表示，并且这些符号可以直接进行运算，它不需要大量的乘法，不需要添加令人困惑的太多点和线.这就是向量.

2.探索交流，解决问题

【问题1】要判断AB⊥CD,从向量的角度如何证明?

[提示]证明 ,即=0即可.

【问题2】怎样用向量的方法证明AB∥CD?

[提示]要证明AB∥CD,证明  即可,同时注意AB,CD是否共线.

【问题3】如何利用向量方法求直线AB与CD所成角?

[提示]根据数量积公式先求出 与所成角,若是锐角或直角即为直线AB,CD所成角,若是钝角,其补角即为直线AB,CD所成角.

【问题4】如何利用向量的方法求线段的长度?

【提示】根据向量的有关运算,求出对应向量的模,即为线段的长度.

（二）平面向量在几何中的应用

1.用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”：

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

③把运算结果“翻译”成几何关系．

2.用向量方法解决平面几何问题的两个基本方法：

①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．

②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算．

【做一做】1．已知A(－1，－)，B(1，)，C(－，2)，D(－，－2)，则直线AB与直线CD(　　)

A．垂直     B．平行      C．相交 D．重合

2.已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则四边形ABCD为(　　)

A．梯形    B．菱形      C．矩形 D．正方形

答案：（1）B  （2）A

（三）典型例题

1.利用平面向量证明垂直问题

【例1】　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，

求证：AF⊥DE.

证明：法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0.

又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，

所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.

故⊥，即AF⊥DE.

法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，

则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，

则＝(2，1)，＝(1，－2).

因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0.

所以⊥，即AF⊥DE.

【类题通法】利用向量解决垂直问题的方法和途径

方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.

途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式.

【巩固练习1】在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，

求证：AC⊥BC.

证明：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝AB，

故可设＝e1，＝e2，|e1|＝|e2|，则＝2e2，∴＝＋＝e1＋e2，

＝－＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2，而·＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝|e1|2－|e2|2＝0，∴⊥，即AC⊥BC.

2.利用平面向量求几何中的长度、角度问题

【例2】（1）　如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.　

(2)已知矩形ABCD，AB＝，AD＝1，E为DC上靠近D的三等分点，求∠EAC的大小．

解：（1）　设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，

而||＝|a－b|＝＝＝＝2，

∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，

又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝，即AC＝.

（2）如图，建立平面直角坐标系．则A(0,0)，C(，1)，E(，1)，

＝(，1)，＝(，1)，·＝2.

cos∠EAC＝＝＝.

∵0<∠EAC<，∴∠EAC＝.

【类题通法】用向量法求长度、角度的策略

(1)利用图形特点选择基底，用公式|a|＝求解.

(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标a＝(x，y)，则|a|＝.

（3）用夹角公式先求向量的夹角，在根据实际情况得到角的大小。

【巩固练习2】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC中点，则cos ∠BDC＝(　　)

A．－          B.        C．0 D.

解析：如图建立平面直角坐标系，则B(0,0)，A(0,8)，C(6,0)，D(3,4)，

∴＝(－3，－4)，＝(3，－4)．

又∠BDC为，的夹角，∴cos ∠BDC＝＝＝.

答案：B

3.平面几何中的平行(或共线)问题

【例3】　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.

求证：点E，O，F在同一直线上.

证明：设＝m，＝n，

由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，

∴＝＋＝＋＝－m＋(m＋n)＝m＋n，

＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n.

∴＝.又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上.

【类题通法】用向量解决平面几何中的平行问题，首先想到的应该是平面向量共线定理。

【巩固练习3】在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC.

求证：MN∥BC.

证明：设＝a，＝b，则＝－＝b－a.

又AM＝2MB，AN＝2NC.所以＝a，＝b.

在△AMN中，＝－＝(b－a)，

所以＝，即与共线，故MN∥BC.

（四）操作演练  素养提升

1.在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为(　　)

A.平行四边形    B.矩形

C.等腰梯形    D.菱形

解析：由＋＝0，得＝－＝，∴四边形ABCD为平行四边形.又·＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形，故选D.

答案：D

2.在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于(　　)

A.2   B.1   C.   D.4

解析：∵＝＋(＋)，

∴－＝(＋)，＝(＋)，

∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线.∴||＝1.

答案：B

3.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长为________.

解析：BC中点为D，＝，

∴||＝ .

答案：

4.正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值.

解：以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：

＝，＝，

故cos∠DOE＝＝＝.即cos∠DOE的值为.

答案：1.D       2.B      3.       4. 

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第39页  练习     第1，2，3题

         第52 页   习题6.4  第1,2,3,12题