高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教学设计及反思

 第六章 平面向量及其应用

6.4 平面向量的应用

6.4.1 平面几何中的向量方法

教学设计

一、教学目标

1.   掌握用向量方法解决平面几何问题；
2.   体会向量在解决数学和实际问题中的作用.

二、教学重难点

1.   教学重点

用向量方法解决实际问题的基本方法，向量法解决几何问题的“三步曲”.

2.   教学难点

将实际问题转化为向量问题.

三、教学过程

（一）        新课导入

复习：（1）向量加法的三角形法则、平行四边形法则；

（2）向量平行、垂直的判断方法；

在之前向量的学习中，我们发现，平面几何图形的很多性质都可以用向量表示出来.因此平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决.下面我们通过例题，探究向量方法在平面几何中的应用.

（二）探索新知

例1 如图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：，

证明：如图，因为DE是△ABC的中位线，

所以，.

从而

又，

所以.

于是，

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（3）把运算结果“翻译”成几何关系.

例2 如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？

解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：

如图，取为基底，设，则

，.

第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：

，

.

上面两式相加，得.

第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：

.

（三）课堂练习

1.       已知P是内的一点，，则的面积与的面积的比值为(   )

A.   B.2       C.3        D.6

答案：C

解析：在中，设边的中点为D，则.

因为，所以，所以.故选C.

2.       在中，，且，则的形状是___________.

答案：等边三角形

解析：因为，所以，

又为的内角，所以.

又，所以为等边三角形.

3.       已知菱形的边长为，，点分别在边上，，若，则的值为__________.

答案：2

解析：

如图， ，

，

由题意知，

所以

，
解得.

（四）        小结作业

小结：

1. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”；
2. 用向量方法解决平面几何问题的应用.

作业：

四、板书设计

6.4.1 平面几何中的向量方法

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.