浙江省中考数学一轮复习第7章 图形的变化特训卷（含答案）

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一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B)
2．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则tan ∠CAB的值为(C)
A． eq \f(3,5) B． eq \f(4,5) C． eq \f(3,4) D． eq \f(4,3)
eq \(\s\up7(),\s\d5(第2题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第3题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第4题图))
3．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转66°，得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是(C)
A．53° B．55° C．57° D．58°
4．如图，已知A，B的坐标分别为(1，2)，(3，0).将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到△DCE.若OE＝4，则点C的坐标为(A)
A．(2，2) B．(3，2) C．(1，3) D．(1，4)
5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(3，0).若△ABC与△DEF是位似图形，则 eq \f(AC,DF) 的值是(B)
A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,3) C． eq \f(2,3) D． eq \f(1,4)
eq \(\s\up7(),\s\d5(第5题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第7题图))
6．对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ＝P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”．下列变换中不一定是等距变换的是(D)
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
7．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图．现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为(A)
A．60sin 50° B． eq \f(60,sin 50°) C．60cs 50° D．60tan 50°
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上(不与点A，C重合)，点E在线段BC的延长线上，且BD＝DE.设 eq \f(AD,AC) ＝x， eq \f(CE,BC) ＝y，则(A)
A．y＝x B．y＝2x C．y＝ eq \f(1,x) D．y＝x2
eq \(\s\up7(),\s\d5(第8题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第9题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第10题图))
9．第14届国际数学教育大会(ICME－14)会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF∶AH＝1∶3，则sin ∠ABE＝(C)
A. eq \f(\r(5),5) B． eq \f(3,5) C． eq \f(4,5) D． eq \f(2\r(5),5)
10．如图，在△ABC中，D是AB上一点(不与点A，B重合).过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F.G是线段DE上一点，EG＝2DG.点H是线段CF上一点，CH＝2HF.连结AG，AH，GH，HE.若已知△AGH的面积，则一定能求出(B)
A．△ABC的面积 B．△ADE的面积
C．四边形DBFE的面积 D．△EFC的面积
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A(2，－1)，B(1，0).将线段AB平移后，点A的对应点A′的坐标为(2，1).则点B的对应点B′的坐标为__(1，2)__．
12．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′.设AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm.则小孔O到A′B′的距离为__20__ cm.
eq \(\s\up7(),\s\d5(第12题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第13题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第14题图))
13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O.若 eq \f(S△ABD,S△BCD) ＝ eq \f(1,3) ，则 eq \f(S△AOD,S△BOC) ＝__ eq \f(1,9) __．
14．如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°.则重合部分构成的四边形ABCD的周长为__8 eq \r(3) __ cm.
15．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P.则cs ∠APC的值为__ eq \f(2,5) eq \r(5) __．
eq \(\s\up7(),\s\d5(第15题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第16题图))
16．如图1所示为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.现将△BCG向左平移，相应的△CDH和△ABF进行相似变换，如图2.当GE∥AD时，已知AE＝a，DE＝b，则EF＝__ eq \f(ab2－a3,a2＋b2) __．(结果用含a，b的代数式表示)
三、解答题(共72分)
17．(8分)书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m，b m，c m，d m.若装裱后AB与AD的比是16∶10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度．
解：由题意，得AB＝(1.2＋c＋d) m，AD＝(0.8＋a＋b) m，
∵a＝b，c＝d，c＝2a，
∴AB＝(1.2＋c＋d) m＝(1.2＋4a) m，AD＝(0.8＋a＋b) m＝(0.8＋2a) m.
∵AB与AD的比是16∶10，
∴(1.2＋4a)∶(0.8＋2a)＝16∶10，∴a＝0.1，∴b＝0.1，c＝d＝0.2.
答：上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1 m，0.1 m，0.2 m，0.2 m.
18．(8分)如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的点A测得小岛C位于东北方向上．该渔船由西向东航行一段时间后到达点B，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达点D，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30 nmile.求C，D间的距离．(结果保留根号)

解：过点C作CH⊥AB于点H，∵∠CAB＝45°，AC＝30 nmile，
∴AH＝CH＝15 eq \r(2) nmile.∵∠CBH＝60°，∴BC＝ eq \f(CH,sin 60°) ＝ eq \f(15\r(2),\f(\r(3),2)) ＝
10 eq \r(6) (nmile).过点D作DG⊥AB于点G，∴∠DBG＝180°－60°－30°－60°＝30°，∴∠BDG＝60°，∴∠CDB＝60°，∴CD＝ eq \f(BC,sin 60°) ＝ eq \f(10\r(6),\f(\r(3),2)) ＝20 eq \r(2) (nmile).
答：C，D间的距离为20 eq \r(2) nmile.
19．(8分)如图，在▱ABCD中，点M，N在边AD上，AM＝DN.连结CM并延长交BA的延长线于点E，连结BN并延长交CD的延长线于点F.求证：AE＝DF.
小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
证明：∵AM＝DN，∴AM＋MN＝DN＋MN，∴AN＝DM，
∴ eq \f(AM,DM) ＝ eq \f(DN,AN) .∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC.
∵AE∥DC，DF∥AB，∴△AME∽△DMC，△DNF∽△ANB，
∴ eq \f(AE,DC) ＝ eq \f(AM,DM) ， eq \f(DF,AB) ＝ eq \f(DN,AN) ，∴ eq \f(AE,DC) ＝ eq \f(DF,AB) ，∴ eq \f(AE,DF) ＝ eq \f(DC,AB) ＝1，∴AE＝DF.
20．(8分)“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要的运输及交通工具，在农村发展，甚至城市建设过程中，曾发挥过重要的作用．如图2是板车侧面部分的示意图，AB是车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连结AD，BD.
(1)求证：∠ADC＝∠DBC.
(2)若CD＝2 eq \r(3) ，CB＝2，求车轮的半径长．
(1)证明：如图，连结OD，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠OBD＝90°.
∵CD与⊙O相切于点D，∴CD⊥OD，∴∠ODC＝90°，
∴∠CDB＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠CDB，
又∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDB，∴∠ADC＝∠DBC.
(2)解：∵△CAD∽△CDB，CD＝2 eq \r(3) ，
CB＝2，∴ eq \f(AD,BD) ＝ eq \f(AC,CD) ＝ eq \f(CD,BC) ＝ eq \f(2\r(3),2) ＝ eq \r(3) ，
∴AD＝ eq \r(3) BD，AC＝ eq \r(3) CD＝ eq \r(3) ×2 eq \r(3) ＝6，∴AB＝CA－CB＝6－2＝4，∴车轮的半径长为2.
21．(8分)如图，在Rt△ABC中，D是BC的中点，点E在AB上．将△BDE沿DE翻折至△FDE，使点F落在AC上，延长EF与BC的延长线交于点G.
(1)求证：DE∥AC.
(2)若BC＝10， eq \f(EF,FG) ＝ eq \f(5,8) ，求AC的长．
(1)证明：∵△BDE沿DE翻折至△FDE，D是BC的中点，∴∠BDE＝∠EDF，BD＝DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF.
又∵∠BDE＋∠EDF＝∠DFC＋∠DCF，
∴∠EDF＝∠DFC，∴DE∥AC.
(2)解：∵DE∥AC，∴ eq \f(EF,FG) ＝ eq \f(DC,CG) ＝ eq \f(5,8) .
∵BC＝10，∴BD＝DF＝DC＝5，CG＝8.
∵∠DFG＝∠DFE＝∠B＝90°，∴FG＝ eq \r(132－52) ＝12，
∴BE＝BG·tan G＝18× eq \f(5,12) ＝ eq \f(15,2) .
∵DE∥AC，且D是BC的中点，
∴E是AB的中点，∴AB＝15，∴AC＝ eq \r(102＋152) ＝5 eq \r(13) .
22．(10分)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝90°.
(1)求证：AC＝BD.
(2)点E在BC边上，满足∠CEO＝∠COE.若AB＝6，BC＝8，求CE的长及tan ∠CEO的值．

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD.
(2)解：作OH⊥BC于点H，则∠OHE＝∠OHC＝90°.
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝ eq \r(AB2＋BC2) ＝ eq \r(62＋82) ＝10，∴OC＝OA＝ eq \f(1,2) AC＝5.
∵∠CEO＝∠COE，∴CE＝OC＝5.∵OC＝OA＝ eq \f(1,2) AC，OB＝OD＝ eq \f(1,2) BD，且AC＝BD，∴OC＝OB，∴HC＝HB＝ eq \f(1,2) BC＝4，
∴EH＝CE－HC＝5－4＝1.
∵ eq \f(OH,HC) ＝ eq \f(AB,BC) ＝tan ∠ACB，∴OH＝ eq \f(AB,BC) ·HC＝ eq \f(6,8) ×4＝3，
∴tan ∠CEO＝ eq \f(OH,EH) ＝ eq \f(3,1) ＝3.∴CE的长为5，tan ∠CEO的值为3.
23．(10分)已知D为∠CAB内一点，∠CAD＝α，∠BAD＝β.
(1)如图1，α＝β，DB⊥AB于点B，DC⊥AC于点C，直接写出CD和BD的数量关系．
(2)将图1中的∠CDB绕顶点D旋转一定的角度，如图2，请判断CD和BD的数量关系并证明．
(3)改变图2中点D的位置，保持∠CDB的大小不变，如图3，试用α，β的三角函数表示 eq \f(CD,BD) .并说明理由．
解：(1)∵α＝β，∴∠CAD＝∠BAD.∵DB⊥AB于点B，DC⊥AC于点C，∴∠DCA＝∠DBA＝90°，∵AD＝AD，∴△DCA≌△DBA(AAS)，
∴CD＝BD.
(2)BD＝CD.证明如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，如图1，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.同(1)可知DE＝DF，根据旋转角相等可得∠EDB＝∠FDC，∴△EDB≌△FDC(ASA)，∴BD＝CD.
(3)如图2，过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC于点G，∴∠DHB＝∠DGC＝90°.∵保持∠CDB的大小不变，∴∠HDB＝∠GDC，
∴△HDB∽△GDC，∴ eq \f(CD,BD) ＝ eq \f(DG,DH) .在Rt△ADG中，DG＝AD·sin α.
在Rt△ADH中，DH＝AD·sin β，∴ eq \f(CD,BD) ＝ eq \f(AD·sin α,AD·sin β) ＝ eq \f(sin α,sin β) .
24．(12分)如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD(不计折射)，AB∥CD.
(1)在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变．
(2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝36 cm，PA＝18 cm，AB＝18 cm，桌面的高度为60 cm.在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．
①画出此时AB所在位置的示意图；
②求CD的长度的最大值．
解：(1)如图1，设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN.∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，△OEF∽△OMN，△OEB∽△OMD，∴ eq \f(AB,CD) ＝ eq \f(OB,OD) ， eq \f(EF,MN) ＝ eq \f(OE,OM) ， eq \f(OB,OD) ＝ eq \f(OE,OM) ，∴ eq \f(EF,MN) ＝ eq \f(AB,CD) .
∵EF＝AB，∴MN＝CD，∴沿着AB方向平移时，CD长度不变．
(2)①以A为圆心，AB长为半径画圆，当OQ与⊙A相切于点H时，此时CD最大为CQ.此时AB所在位置为AH.
②∵∠HGA＝∠PGO，∠AHG＝∠OPG＝90°，∴△GHA∽△GPO，
∴ eq \f(GA,GO) ＝ eq \f(AH,OP) ＝ eq \f(18,36) ＝ eq \f(1,2) .∴设GA＝x，则GO＝2x，
在Rt△OPG中，OP2＋PG2＝OG2，∴362＋(18＋x)2＝(2x)2，
∴x2－12x－540＝0，∴x1＝30，x2＝－18(舍去)，∴AG＝30.
由①得 eq \f(OP,OR) ＝ eq \f(AG,CQ) ，∴ eq \f(36,36＋60) ＝ eq \f(30,CQ) ，
∴CQ＝80，即CD的长度的最大值为80 cm.